数学人教A版选修4-5学案：知识导学 2.2综合法与分析法 WORD版含解析.doc

1、二 综合法与分析法知识梳理1.综合法 一般地,从已知条件出发,利用定义,公理,定理,性质等,经过一系列的推理,论证而得出命题成立,这种证明方法叫做_,又叫_或_.2.分析法 证明命题时,我们还常常从要证的_出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为_或_(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做_,这是一种_的思考和证明方法. 分析法是探求命题结论成立的_条件,用分析法证明不等式的逻辑关系是(_)BB1B2B3B4A(_).知识导学 综合法一般利用题设已知条件和基本不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式. 使用分析法通常采用“欲证只需

2、已知”的格式,在表达中一定要十分重视符号“”的方向,使用规范的表述方式. 综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单,条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思想,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转换,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.有时解题需要一边分析,一边综合,称之为分析综合法,或称为两头挤法.两头挤法充分表明分析与综合的相互关系,分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.疑难突破1.综合法在应用中的有关问题 用综合法证明不等式时,

3、主要利用重要不等式,函数的单调性以及不等式的性质,在严密的演绎推理下推导出结论. 首先是综合法证明问题的“入手处”是题设中的已知条件或某些重要不等式.比如下面的几个,是经常使用到的:若a,b,cR+,则有;若a,b,cR,则有a2+b2+c2ab+bc+ca;若,bR+,则有(a+b)(+)4. 选择使用哪个重要不等式作为证题的“原始出发点”或对已知条件的转化是证题的关键,这要求对要证明的结果有充分的分析过程,可以联系平时学习过程中积累下来的数学结论或知识作出判断.比如证明sinx+5,x(0,并不是使用重要不等式a+2(aR+)的,而是利用到了正弦sinx的有界性,以及形如y=x+的结构,联

4、想函数y=x+的单调性,利用其单调性求证的.这些说明,使用综合法证题,必须积累一定的证题经验,还要记忆一些数学式子的独特结构,以便在证明过程中使我们能联想起一些证题的“蛛丝马迹”或“指路明灯”.2.“”“”“”符号的使用 “”往往在综合法中使用这种符号,是由“已知”推出“结论”的意思.而“”是逆向过程,是分析法中使用的符号,但为书写清晰起见,多用语言“要证”,“只需证”来叙述.“”是分析综合法的符号,即把要解的结论或结果采取等价变形的处理手段,变形出证明的依据或已知条件,这种证法简洁易于掌握,但往往只适用于证明一些明确告诉了的不等式.因此,我们可以借助符号“”的意义来解题,即用分析法分析,用综

5、合法写解答过程.典题精讲【例1】 已知a,bR+且a+b=1,求证:(a+)2+(b+)2.思路分析：证明不等式类似于证明等式那样,通常从较繁的一边向另一边化简,变形中要巧用已知条件,由于a,b的和为定值.因而可应用基本不等式去证明,首先应对不等式的左边变形和整理.证明：a,bR+且a+b=1,ab()2=,(a+)2+(b+)2=4+(a2+b2)+()=4+(a+b)2-2ab+=4+(1-2ab)+4+(1-2)+.(a+)2+(b+)2. 绿色通道：本题中条件a+b=1是解题的重点,由基本不等式的知识可联想知应由重要不等式来变形出要证明的结论,本题a+b=1,也可以视为是“1”的代换问

6、题,如下面的证法:左边=(a+)2+(b+)2=a2+b2+4+()=4+a2+b2+=4+a2+b2+1+1=4+(a2+b2)+2+2(+)+()4+2+2+2=4+2+4+2=. 因此,抓住“1”的代换,作为证明的一条线索也可以证明这个问题,即在综合法中,每一个题设条件所反馈出来的“信息”,都是至关重要的,也都有可能成为解题的突破口.【变式训练】 已知a,b,cR+,且互不相等,且abc=1,求证: +.思路分析：本题中abc=1,是“1”的代换,但又理解为a,b,c之间的替换关系,因而解法不唯一.证法一:a,b,cR+,且互不相等，且abc=1，.【例2】 设a,b,c为ABC的三条边

7、,求证:a2+b2+c22ab+2bc+2ac.思路分析：本题看似是一道与公式a2+b22ab(a,bR)有关的题目, 又似与二次函数有关,但实际上这两种思路都达不到目的.其实本题的关键在于ABC中隐含的a,b,c的关系.证法一：在ABC中,ab+c,ba+c,cb+a,则a2a(b+c),b2b(a+c),c2c(b+a).a2+b2+c2a(b+c)+b(a+c)+c(a+b),即a2+b2+c2bc,0a-bc,0b-ca,0a-cb.(a-b)2c2,(b-c)2a2,(a-c)2b2.(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2c2+a2+b2.即a2+b2+c22ab+2bc+2ac.

8、证法三:在ABC中,设a,b,c三边所对的角分别为A,B,C,则由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.则a2+b2+c2=(b2+c2-2bccosA)+(a2+c2-2accosB)+(a2+b2-2abcosC),即a2+b2+c2=2abcosC+2bccosA+2accosB.又在ABC中,cosA1,cosB1,cosC1,2abcosC+2bccosA+2accosB2ab+2bc+2ca.a2+b2+c20. 则f(a)的值可正,可负,可为零,无法确定. 因此,分析题目时,对条件要看清,尤其要探寻条件间

9、的限制关系,以免受到某些思维定式的影响.【变式训练】 已知abc,求证:a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2.思路分析：本题可以用作差法进行推理证明,但也可以打破思维定式,从二次函数及方程这个角度来证明.证法一:a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(b-c)a2+(c2-b2)a+bc(b-c)=(b-c)a2-(b+c)a+bc=(a-b)(b-c)(a-c)0(abc)，a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2. 证法二:令f(a)=(b-c)a2+(c2-b2)a+bc(b-a)=(b-c)a2-(c+b)a+bc. 方程f(a)=0的两根为b,c,又b-c0,且

10、abc.结合图象,知f(a)0. 所以原不等式成立.【例3】 已知ab0,求证:.思路分析：本题要证明的不等式显得较为复杂,不易观察出怎样由ab0得到要证式,因而可以用分析法先变形要证明的不等式,从中找到证法的线索.证明：要证原不等式成立,只需证,即证.只需证,即,.只需证1b0,1bc,且a+b+c=0,则”是真命题还是假命题?试证明你的结论.思路分析：由题设abc,且a+b+c=0,易知a0,否则a0时,cba0,这时a+b+c0与已知a+b+c=0矛盾.采用等价转化法.证明：ab2-ac03a2-(a+c)2+ac=2a2-ac-c20(a-c)(2a+c)0.abc,a+b+c=0,a

11、-c0,2a+c=a+(a+c)=a-b0.即知(a-c)(2a+c)0.故. 绿色通道：分析法与综合法往往是割裂不开的,即使不用分析法,用综合法证明也是需要进行分析过程的,而只要有分析,就可算是在使用分析法,因此,我们可以借助“”进行等价转化,就可把分析与综合法看作一种方法了分析综合法.对于本题还可有如下证明:a+2ca+b+c=0,其中a0,-2.令=x,则f(x)=在(-2,)上是减函数.0,b0,2ca+b,求证:c-ac+.思路分析：用等价变形的方法进行转化,再结合不等式的性质可以得到结论.证明:c-ac+-a-c|a-c|(a-c)2c2-aba2-2ac-aba(a+b)0,b0

12、,2ca+b,上式成立.原不等式成立.问题探究 在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低,反之将提高,这两个事实用数学语言如何描述?说明理由.导思：平均分的问题实质是一种分数值比较大小的问题,因此可以视为证明一个分式不等式成立与否的问题,结合证明不等式的方法,采取分析与综合等方法来说明.探究：描述:若有限数列a1,a2, ,an满足a1a2an,则和 (1mn).m(a1+a2+an)=m(a1+a2+am)+m(am+1+am+2+am)m(a1+a2+am)+m(n-m)amm(a1+a2+am)+(n-m)(a1+a2+am)=n(a1+a2+am),.同理可证另一个不等式.