数学人教A版选修4-5素材：教材梳理 3.doc

1、庖丁巧解牛知识巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a1，a2，b1，b2R，则(a1b1+a2b2)2(a12+a22)2(b12+b22)2，当且仅当a1b2-a2b1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式：对于任何实数a1，a2，b1，b2,以下不等式成立：|a1b1+a2b2|;|a1b1|+|a2b2|. 联想发散 不等式中等号成立a1b2-a2b1=0.这时我们称(a1,a2),(b1,b2)成比例,如果b10,b20,那么a1b2-a2b1=0.若b1b2=0,我们分情况说明：b1=b2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;b1=

2、0,b20,原不等式化为(a12+a22)b22a22b22,也是自然成立的;b10,b2=0,原不等式和的道理一样,自然成立.正是因为b1b2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b1b20,等号成立的条件可以写成,这种写法在表示一般形式(n维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设,是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使=k时，等号成立. 学法一得 定理2 中等号成立的充分必要条件是向量和平行（如,为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量与的夹角为0或，即与对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成

3、立的充分必要条件为（bi为零时，ai为零，i=1，2）.定理3 （二维形式的三角不等式）设x1,x2,y1,y2R，那么.二维形式的三角不等式的变式：用x1-x3代替x1，用y1-y3代替y1，用x2-x3代替x2，用y2-y3代替y2，代入定理3，得二、一般形式的柯西不等式定理 设ai,biR(i=1,2, ,n),则(.当数组a1，a2，an,b1，b2，bn不全为0时，等号成立当且仅当bi=ai(1in).即(a1b1+a2b2+anbn)2(a12+a22+an2)2(b12+b22+bn2)2（ai,biR,i=1,2,n）中等号成立的条件是=. 记忆要诀 这个式子在竞赛中极为常用，

4、只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设aiR，bc0(i=1,2, ,n),则,等号成立当且仅当bi=ai(1in).变式2 设ai,bi同号且不为0（i=1，2，n），则,等号成立当且仅当b1=b2=bn. 深化升华 要求ai，bi均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a1, ,an;b1,

5、 ,bn都表示实数）是：（1）a12+a22+an2=1,b12+b22+bn2=1,则|a1b1+a2b2+anbn|1;（2）a1a2+a2a3+a3a1a12+a22+a32;（3）(a1+a2+an)2n(a12+a22+an2);（4）(a+b)(+)4=(1+1)2，其中a、bR+;（5）(a+b+c)(+)9=(1+1+1)2,其中a、b、cR+. 柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位.典题热题知识点一： 用柯西不等式证明不等式例1 设a1a2anan+1,求证：0.思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不

6、等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证：(a1-an+1)1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a1-an+1写成a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+ +(an-an+1),于是(a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1)（）n21.即(a1-an+1)（）1,故0.方法归纳 我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明.知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式例2 （经典回放）设x1,x2, ,xnR+,求证：x1+x2

7、+xn.思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x2+x3+xn+x1)，也即嵌以因式(x1+x2+xn)，由柯西不等式即可得证.证明：()(x2+x3+xn+x1)=()2+()2+()2+()2()2+()2+()2+()2(+)=(x1+x2+xn)2,于是x1+x2+xn.巧解提示 柯西不等式中有三个因式，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三： 用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5,试求a的最值.思路分析：本题

8、求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解.解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)()(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2(b+c+d)2.由条件可得，5-a2(3-a)2.解得，1a2,当且仅当时等号成立.代入b=1,c=,d=时，amax=2;b=1,c=,d=时,amin=1.巧妙变式 为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程

9、中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.如：已知a,b为正常数，且0x9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2. 人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a、b为非负数，a+b=1,x1,x2R+,求证(ax1+bx2)(bx1+ax2)x1x2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b-,x1,x2R+，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了. 人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若abc，求证.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.a-c=(a-b)+(b-c),ac,a-c0,结论改为(a-c)()4. 人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,cR+，求证.我们可以如此分析：左端变形+1+1+1=(a+b+c)(),只需证此式即可.探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.