数学人教B版必修1教案：2-4-2　求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 WORD版含解析.doc

1、示范教案教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步三维目标1让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法2了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想3回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣重点难点教学重点：用二分法求方程的近似

2、解教学难点：二分法课时安排1课时导入新课思路1.(情境导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价师：在现实生活中我们也常常利用这种方法譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线

3、路出了故障(相距大约3 500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法

4、呢？推进新课解方程2x160.解方程x2x20.解方程x32x2x20.解方程(x22)(x23x2)0.我们知道，函数f(x)lnx2x6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？什么叫二分法？试求函数f(x)lnx2x6在区间(2，3)内零点的近似值.总结用二分法求函数零点近似值的步骤.,思考用二分法求函数零点近似值的特点.讨论结果：x8.x1，x2.x1，x1，x2x，x，x1，x2.如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围“

5、取中点”，一般地，我们把x称为区间(a，b)的中点比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)0，因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法因为函数f(x)lnx2x6，用计算器或计算机作出函数f(x)lnx2x6的对应值表x123456789f(x)41.306 91.098 63.386 35.609 47.791 89

6、.945 912.079 414.197 2由表可知，f(2)0，f(3)0，则f(2)f(3)0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x0，取区间(2,3)的中点x12.5，用计算器算得f(2.5)0.084，因为f(2.5)f(3)0，所以x0(2.5,3)同理，可得表(下表)与图象(如下图)区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.562 50.066(2.5,2.562 5)2.531 250.009(2.531 25,2.562 5)2.546 8750.029(2.531

7、25,2.546 875)2.539 062 50.010(2.531 25,2.539 062 5)2.535 156 250.001由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 52.531 25|0.007 812 50.01，所以，我们可以将x2.531 25作为函数f(x)lnx2x6零点

8、的近似值用二分法求函数零点的一般步骤如下：第一步在D内取一个闭区间a0，b0 D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)0.零点位于区间a0，b0中第二步取区间a0，b0的中点(如下图)，则此中点对应的坐标为x0a0(b0a0)(a0b0)计算f(x0)和f(a0)，并判断：(1)如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间a0，x0中，令a1a0，b1x0；(3)如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.第三步取区间a1，b1的中点，则此中点对应的坐标为x1a1(b1a1)(a1b1)

9、计算f(x1)和f(a1)，并判断：(1)如果f(x1)0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间a1，x1上，令a2a1，b2x1；(3)如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间x1，b1上，令a2x1，b2b1.继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yf(x)的近似零点，计算终止这时函数yf(x)的近似零点满足给定的精确度由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设

10、计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算思路1例1求函数f(x)x3x22x2的一个正实数零点(精确到0.1)解：由于f(1)20，f(2)60，可以确定区间1,2作为计算的初始区间用二法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a01，b02f(1)2，f(2)61,2x0(12)/21.5f(x0)0.62501,1.5x1(11.5)/21.25f(x1)0.98401.25,1.5x2(1.251.5)/21.375f(x2)0.26001.375,1.5x3(1.3751.5)/21.437 5f(x3)0.16201.375,1.437 5由上表的计算可知

11、，区间1.375,1.437 5的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，因此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值函数f(x)x3x22x2的图象如下图实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值点评：以上求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效如果一种计算方法对某一类问题(不是个别问题)都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果算法更大的优点是，它可以让计算机来实现

12、例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点有兴趣的同学，可以在“Scilab”界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值本套书的一个重要特点是，引导同学们认识算法思想的重要性，并希望同学们在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法在数学3中，我们还要系统地学习算法.变式训练若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.054那么方程x3x22x20的一个近似根(精确到0.1)为()A.1.

13、2B1.3C1.4D1.5解析：f(1.437 5)f(1.406 25)0，方程x3x22x20的一个正根位于区间(1.437 5,1.406 25)内，1.437 5与1.406 25精确到0.1的近似值都是1.4.答案：C思路2例1求方程2x33x30的一个实数解(精确到0.01)解：考察函数f(x)2x33x3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间经试算，f(0)30，f(2)190，所以函数f(x)2x33x3在0,2内存在零点，即方程2x33x30在0,2内有解取0,2的中点1，经计算，f(1)20，又f(0)0，所以方程2x33x30在0,1内有解

14、如此下去，得到方程2x33x30的实数解所在区间的表如下左端点右端点第1次02第2次01第3次0.51第4次0.50.75第5次0.6250.75第6次0.687 50.75第7次0.718 750.75第8次0.734 3750.75第9次0.742 187 50.75第10次0.742 187 50.746 093 75第11次0.742 187 50.744 140 625至此，可以看出，区间0.742 187 5,0.744 140 625内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x33x30精确到0.01的实数解点评：利用二分法求方程近似解的步骤：确定函数f(x

15、)的零点所在区间(a，b)，通常令ba1；利用二分法求近似解.变式训练利用计算器，求方程x22x10的一个近似解(精确到0.1)活动：教师帮助学生分析：画出函数f(x)x22x1的图象，如图所示从图象上可以发现，方程x22x10的一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(1,0)内根据图象，我们发现f(2)10，f(3)20，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，即方程f(x)0在区间(2,3)上有唯一解计算得f()0，发现x1(2,2.5)(如上图)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.解：设f(x)x22x1，先画出函数图象的简图，如上图因为f(2)10，f(3)20，所以

16、在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)0.250，所以2x12.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)0.437 50，所以2.25x12.5.如此继续下去，得f(2)0，f(3)0 x1(2,3)，f(2)0，f(2.5)0 x1(2,2.5)，f(2.25)0，f(2.5)0 x1(2.25,2.5)，f(2.375)0，f(2.5)0 x1(2.375,2.5)，f(2.375)0，f(2.437 5)0 x1(2.375,2.437 5)因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的一个

17、近似解为2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.1函数f(x)x32x2x2的零点个数是()A0 B1 C2 D3答案：D2在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：应用二分法的思想，最多称_次就可以发现这枚假币？解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上

18、，若平衡，则剩下的那一枚就是假币，若不平衡，则轻的那一枚就是假币综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币答案：43求方程x33x10的一个正的近似解(精确到0.1)解：设f(x)x33x1，设x1为函数的零点，即方程x33x10的解作出函数f(x)x33x1的图象如下图因为f(1)30，f(2)10，所以在区间(1,2)内方程x33x10有一个解，记为x1.取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)2.1250，所以1.5x12.再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)0.890 6250，所以1.75x12.如此继续下去，得f(1)0，f(2)0 x1(1,2)，f(1.5)0，f(2

19、)0 x1(1.5,2)，f(1.75)0，f(2)0 x1(1.75,2)，f(1.875)0，f(2)0 x1(1.875,2)，f(1.875)0，f(1.937 5)0 x1(1.875,1.937 5)，因为区间1.875,1.937 5内的所有值，如精确到0.1都是1.9，所以1.9是方程x33x1的实数解从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)答案：至少需要检查接点的个数为4.掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用思想方法

20、：函数方程思想、数形结合思想课本习题24 A7.“猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性基本初等函数的零点个数结合基本初等函数的图象得：正比例函数ykx(k0)仅有一个零点0；反比例函数y(k0)没有零点；一次函数ykxb(k0)仅有一个零点；二次函数yax2bxc(a0)，当0时，二次函数有两个零点；当0时，二次函数仅有一个零点；当0时，二次函数无零点(设计者：张新军)