数学人教B版必修4学案：2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式 WORD版含解析.doc

1、2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式基础知识基本能力1掌握数量积的坐标表达式(重点)2熟记与数量积有关的一些常用度量公式(重点、易混点)1能熟练地求解具有坐标的两个向量的数量积(重点)2能运用数量积来表示两个向量的夹角，并会用数量积来判断两个平面向量的垂直关系(重点、难点)3能够运用坐标表达式解决与长度、夹角、垂直、正投影等有关的实际问题(难点)1向量内积的坐标运算已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b2.知识拓展非零向量a(x1，y1)与b(x2，y2)夹角的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)为锐角或零角x1x2y1y20；(2)为直角x1x2y1y20；(3)

2、为钝角或平角x1x2y1y20.【自主测试1】若a(2，3)，b(x,2x)，且ab，则x等于()A3 B C D3解析：由题意，得2x6x，解得x.答案：C2用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab a1b1a2b20.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a(m，n)与bk(n，m)总是垂直的，当两向量的长度相等时，k取1.【自主测试2】已知a(2,5)，b(，3)，且ab，则_.解析：ab，ab0，即2150，.答案：3向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a(a1，a2)，则|a|，即向量的长度等于它的坐标平方和的

3、算术平方根(2)两点之间的距离公式：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)向量的夹角的余弦公式：已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，则两个向量a，b的夹角的余弦为cosa，b.你会求出与向量a(m，n)同向的单位向量a0的坐标吗？答：a0(m，n).【自主测试31】已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，则ABC为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D无法判断解析：由(1,1)，(4,2)，(3，3)，得22，220，218.222，即AB2AC2BC2，ABC为直角三角形答案：B【自主测试32】已知m(3，1)，n(x，2)，且m，n，则x等于()A1 B1

4、C4 D4解析：cos，解得x1.答案：A【自主测试33】已知a(3，x)，|a|5，则x_.解析：由|a|29x225，解得x4.答案：41向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得a(x，y)，|a|，即|a|为点A到原点的距离；同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算2用向量的数量积的坐标运算来分析“(ab)ca(bc)”不恒成立剖析：设a(x

5、1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，则abx1x2y1y2, bc x3x2y3y2.(ab)c(x1x2y1y2)(x3，y3)(x1x2x3y1y2x3，x1x2y3y1y2y3)，a(bc)(x1，y1)(x3x2y3y2)(x1x3x2x1y2y3，x2x3 y1 y1y2y3)假设(ab)ca(bc)成立，则有(x1x2x3y1y2x3，x1x2y3y1y2y3)(x1x3x2x1y2y3，x2x3 y1 y1y2y3)，x1x2x3y1y2x3x1x3x2x1y2y3，x1x2y3y1y2y3x2x3 y1y1y2y3.y1y2x3x1y2y3，x1x2y3x2x3 y

6、1.y2(y1x3x1y3)0，x2(x1y3x3y1)0. b是任意向量，x2和y2是任意实数y1x3x1y30.ac.这与a，c是任意向量，即a，c不一定共线相矛盾假设不成立(ab)ca(bc )不恒成立3教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy中，任作一单位向量旋转90到向量的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(90)sin ，sin(90)cos .反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究剖析：如图所示，在平面直

7、角坐标系中，画出一单位圆，有A(cos ，sin )，B(cos ，sin )，且90，也就是90.过点A作AMx轴于点M，过点B作BNx轴于点N，则BNOOMA|，|.当点A在第一象限时，点B在第二象限，|cos ，|sin ，|cos ，|sin ，从而有cos cos(90)sin ，sin sin(90)cos ，即cos(90)sin ，sin(90)cos .题型一 向量数量积的坐标运算【例题1】已知a(6,2)，b(2,4)，求ab，|a|，|b|，a，b分析：直接套用基本公式abx1x2y1y2，|a|，cosa，b即可解：ab(6,2)(2,4)12820.|a|2，|b|2

8、.cosa，b，且a，b0，a，b.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化互动探究设平面向量a(3,5)，b(2,1)，(1)求a2b的坐标表示和模的大小；(2)若ca(ab)b，求|c|.解：(1)a(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，|a2b|.(2)ab651，cab(1,6)，|c|.题型二 平面向量垂直的坐标运算【例题2】在ABC中，(2,3)，(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k的值分析：对ABC的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系解：当A9

9、0时，0，213k0.k.当B90时，0，(12，k3)(1，k3)，2(1)3(k3)0.k.当C90时，0，1k(k3)0，k.因此，ABC有一个角为直角时，k，或k，或k.反思(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a0，则向量a与b垂直ab0x1x2y1y20.(2)向量垂直的坐标表示x1x2y1y20与向量共线的坐标表示x1y2x2y10很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是ab0，而共线是方向相同或相反题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用【例题3】已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)若四边形ABCD为矩形，

10、求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值解：(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)1(3)130，即ABAD(2)若四边形ABCD为矩形，则，.设C点的坐标为(x，y)，则(1,1)，(x1，y4)，解得C点的坐标为(0,5)从而(2,4)，(4,2), |2，|2，8816.设与的夹角为，则cos ，矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不

11、等式【例题4】证明：对于任意的a，b，c，dR，恒有不等式(acbd)2(a2b2)(c2d2)分析：设m(a，b)，n(c，d)，用mn|m|n|即可，要注意等号成立的条件证明：设m(a，b)，n(c，d)，两向量夹角为，则mn|m|n|cos ，acbdcos ，(acbd)2(a2b2)(c2d2)cos2(a2b2)(c2d2)，当且仅当m与n共线时等号成立(acbd)2(a2b2)(c2d2)得证反思本题直接利用代数方法也易得证若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性题型五 易错辨析【例题5】设平面向量a(2,1)，b(，1)(R

12、)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是()A(2，) B(2，)C D错解：由a与b的夹角为钝角，得ab0，即210，解得.故选C错因分析：ab0a与b的夹角为钝角或平角因此上述解法中需要对结论进行检验，把a与b的夹角为平角的情况舍去正解：ab0(2,1)(，1)0.又设bta(t0)，则(，1)(2t，t)，所以t1，2，即2时，a和b反向，且共线，所以(2，)故选A1设m，n是两个非零向量，且m(x1，y1)，n(x2，y2)，则以下等式中，与mn等价的个数为()mn0；x1x2y1y2；|mn|mn|；|mn|.A1 B2 C3 D4解析：中的等式显然与mn等价；对中的等式的两边平方，

13、化简，得mn0，因此也是与mn等价的，故选D答案：D2已知向量a(2,1)，b(2，3)，则向量a在向量b方向上的投影的数量为()A BC0 D1答案：B3(2012广东广州测试)已知向量a(1，n)，b(n,1)，其中n1，则下列结论正确的是()A(ab)(ab)B(ab)bC(ab)(ab)D(ab)b解析：ab(1n，n1)，ab(1n，n1)，(ab)(ab)0，(ab)(ab)答案：C4已知a(1,2)，b(1,1)，cbka，若ca，则c_.解析：根据a和b的坐标，求c的坐标，再利用垂直建立关于k的方程，求出k后可得向量c.答案：5已知i(1,0)，j(0,1)，ai2j，bimj，给出下列命题：若a与b的夹角为锐角，则m；当且仅当m时，a与b互相垂直；a与b不可能是方向相反的向量；若|a|b|，则m2.其中正确的命题的序号是_答案：6设向量a(1，1)，b(3，4)，xab，为实数，证明：使|x|最小的向量x垂直于向量b.证明：因为|x|2xx|a|22|b|22ab，所以x22521422.当50，即时，|x|最小此时xab.又340，所以向量x与b垂直