数学人教B版必修4知识导航：3.3三角函数的积化和差与和差化积 WORD版含解析.doc

1、3.3三角函数的积化和差与和差化积知识梳理1.积化和差公式sincos=sin(+)+sin(-);cossin=sin(+)-sin(-);coscos=cos(+)+cos(-);sinsin=-cos(+)-cos(-). 特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角、，等式右边为它们的和差角.2.和差化积公式sinx+siny=2sincos;sinx-siny=2cossin;cosx+cosy=2coscos;cosx-cosy=-2sinsin.3.常用到的三角恒等变换f(x)=asinx+bcosx=sin

2、(x+)(ab0)，其中tan=,由a和b的符号确定所在的象限.知识导学 复习两角和与差的正弦、余弦公式.本节重点是公式的推导与应用，难点是公式的灵活应用.和差化积公式和积化和差公式不要求记忆.疑难突破1.如何推导出三角函数的和差化积公式与积化和差公式？剖析:难点是面对两角和与差的正弦或余弦公式，不知道从何处入手.其突破口是：利用方程的思想推导积化和差公式，利用“换元”思想推导和差化积公式.(1)积化和差公式的推导sin(+)=sincos+cossin，sin(-)=sincos-cossin，+，得sin(+)+sin(-)=2sincos， 即sincos=sin(+)+sin(-).-

3、得sin(+)-sin(-)=2cossin， 即cossin=sin(+)-sin(-).cos(+)=coscos-sinsin，cos(-)=coscos+sinsin，+得cos(+)+cos(-)=2coscos. 即coscos=cos(+)+cos(-).-得cos(+)-cos(-)=-2sinsin， 即sinsin=-cos(+)-cos(-).(2)和差化积公式的推导 令+=，-=，则=，=， 代入sincos=sin(+)+sin(-), 得sincos=sin(+)+sin(-)，sincos=(sin+sin). 整理得sin+sin=2sincos. 同理可得si

4、n-sin=2cossin；cos+cos=2coscos；cos-cos=-2sinsin.2.和差化积与积化和差公式有什么作用？剖析:难点是推导出了公式，但不会应用.其突破方法是分析和理解公式的特点，还要依赖于平时经验的积累. 可从以下几方面来理解这两组公式：(1)这些公式都是指三角函数值间的关系而言，并不是指角的关系；(2)只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差，才能直接应用公式化为积的形式.如sin+cos就不能直接化积，应先化成同名函数后，再用公式化成积的形式；(3)三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，则因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式就起什么作用. 积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算. 和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此,“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式,往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.