数学人教B版必修4示范教案：1.2.1　三角函数的定义 WORD版含解析.doc

1、示范教案教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念教材中是分三步引入三角函数的定义的首先以锐角三角函数为引子，即当象限角为锐角时，复习直角三角形中的边、角关系，锐角三角函数；接着推广锐角三角函数，即在象限角的终边上任取一点，启发学生研讨这一点的坐标与象限角大小的关系，进而证明三个比值，与点在终边上的位置无关；最后根据判断函数的标准(函数值是否唯一，是否给出定义域)

2、，定义正弦、余弦和正切三个三角函数本小节的第二个内容是判断三个三角函数在各象限的符号，为进一步研究三角函数作好准备例题1、2的作用是学会由已知条件求三角函数值，掌握终边在坐标轴上的角的三角函数值三维目标1理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号2通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等3能根据三角函数的符号，确定角所在的象限重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点：用角的终边上的点的坐标

3、来刻画三角函数，三角函数符号课时安排1课时导入新课思路1.我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180，那么sin200的值还是三角形中200的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择思路2.引导学生回忆锐角三角函数概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义，从而为定义任意角的三角函数奠定基础推进新课定义1活动：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础

4、上，我们来研究任意角的三角函数教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数如图1所示，以角的顶点O为坐标原点，以角的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy，并且使xOy90.图1如图1(1)，为锐角，记MOP，P(x，y)是终边上不同于坐标原点的任意一点，MPOx于点M，则OMx，MPy，rOP0，根据锐角三角函数的定义知sin，cos，tan，cot.讨论结果：(1)锐角三角函数是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数(2)略定义2活动：教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画画图形，看看从图形中是否能找出某种关系来然

5、后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角，这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改变在任意角的终边上取点A(图1(2)，使OA1，设点A的坐标为(l，m)，再任取一点P(x，y)，设OPr(r0)，由相似三角形对应边成比例，得|l|，|m|，.因为A，P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同因此得l，m，.不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于的大小，与点P在终边上的位置无关即当点P在的终边上变化时，这三个比值始终等于定值因此我们可定义叫做角的余弦，记

6、作cos，即cos；叫做角的正弦，记作sin，即sin；叫做角的正切，记作tan，即tan.依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当2k(kZ)时，它有唯一的正切值与之对应因此这三个对应法则都是以为自变量的函数，分别叫做角的余弦函数、正弦函数和正切函数由图1(1)可以看出，当为锐角时，上述所定义的三角函数与在直角三角形中所定义的三角函数是一致的有时我们还用到下面三个函数角的正割：sec；角的余割：csc；角的余切：cot.这就是说，sec，csc，cot分别是的余弦、正弦和正切的倒数教师出示定义后，可让学生解释一下定义中的对应关系教师应指出任意角的正弦、余

7、弦、正切的定义是本节教学的重点教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上，先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系，在直角坐标系中考查锐角三角函数，得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论在此基础上，再定义任意角的三角函数教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么特别注意既表示一个角，又是一个实数(弧度数)从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数值得注意的是：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数sin不是sin与的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin

8、”“tan”等是没有意义的当的终边在y轴上，即2k(kZ)时，tan，sec没有意义；当的终边在x轴上，即k(kZ)时，cot，csc没有意义讨论结果：(1)略(2)略三角函数在各象限的符号活动：请根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图2中的括号内三角函数定义域sincostan图2教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论对于正弦函数siny，因为y恒有意义，即取任意实数，y恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切

9、函数tan，因为x0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是k(kZ)(由学生填写下表)三角函数定义域sinRcosRtan|k，kZ三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y0，点P在第三、四象限时，纵坐标y0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的从而完成上面探究问题即“

10、一全正，二正弦，三正切，四余弦”讨论结果：(1)定义域、值域、单调性等(2)ysin与ycos的定义域都是全体实数R，值域都是1,1ytan的定义域是|k(kZ)，值域是R.(3)由三角函数定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号思路1例 1已知角的终边经过点P(2，3)，求角的六个三角函数值活动：教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答明确可以用角终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数教师要点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意角的任意性解：如图3，因为x2，y3，图3所以r.于是sin，cos，tan，cot，sec，csc.例 2求下列各角的六个三

11、角函数值：(1)0；(2)；(3).活动：教师引导学生充分利用三角函数定义，必要时也可画出图形，通过本例进一步理解三角函数定义中比值与点P的位置没有关系解：(1)因为当0时，xr，y0，所以sin00，cos01，tan00，csc0不存在，sec01，cot0不存在；(2)因为当时，xr，y0，所以sin0，cos1，tan0，cot不存在，sec1，csc不存在；(3)因为当时，x0，yr，所以sin1，cos0，tan不存在，cot0，sec不存在，csc1.变式训练1若角的终边经过点(，)，则sincos的值是()A. B.C. D.答案：A2求的正弦、余弦和正切值图4解：在平面直角坐

12、标系中，设点P到原点的距离为r，作AOB，如图4.易知AOB的终边上的任意点P的点坐标为(r，r)，所以sin，cos，tan.例 3若sin0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案：C活动：教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系可以知道：三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y0，点P在第三、四象限时，纵坐标y0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、

13、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的解析：我们证明如果式都成立，那么为第三象限角因为sin0成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限因为式都成立，所以角的终边只能位于第三象限答案选C.反过来，请同学们自己证明点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.变式训练已知costan0，那么角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角答案：C例 4确定下列各三角函数值的符号：(1)cos260；(

14、2)sin()；(3)tan(67220)；(4)tan.活动：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等由此得到一组公式(公式一这也是我们下一步要归纳总结的)：解：(1)因为260是第三象限的角，所以cos2600；(2)因为是第四象限的角，所以sin()0；(4)因为tantan(2)，而是第三象限的角，所以tan0.变式训练sin330等于()ABC.D.答案：B思路2例 1已知角的终边在直线y3x上，则10sin3sec_.解析：设角终边上任一点为P(k，3k)(k0)，则xk，y3k，r|k|.(1)当k0时，rk，是第四象限角，sin，sec，10sin3sec

15、10()3330.(2)当k0时，P(k，3k)是第四象限内的点，角的终边在第四象限；当k0时，P(k，3k)是第二象限内的点，角的终边在第二象限内，这与角的终边在y3x上是一致的.变式训练设f(x)sinx，求f(1)f(2)f(3)f(72)的值解：f(1)sin，f(2)sin，f(3)sin0，f(4)sin，f(5)sin，f(6)sin20，f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0.而f(7)sinsin，f(8)sinsin，f(12)sinsin2，f(7)f(8)f(9)f(10)f(11)f(12)0.同理，f(13)f(14)f(15)f(16)f(17)f(1

16、8)0，f(67)f(68)f(72)0，f(1)f(2)f(3)f(72)0.例 2求函数ytan的定义域活动：让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应引起注意这种情况同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示解：要使函数ytan有意义，则sin0且k(kZ)由正弦函数的定义知道，sin0.角的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上，即2k2k(kZ)函数的定义域是|2k2k或2k(2k1)，kZ.变式训练求下列函数的

17、定义域：(1)ysinxcosx；(2)ysinxtanx；(3)y.解：(1)使sinx，cosx有意义的xR，ysinxcosx的定义域为R.(2)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义有函数ysinxtanx的定义域为x|xk，kZ(3)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx0.有(kZ)函数y的定义域为x|x，kZ.本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得

18、到本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0到360角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础，经常要用，请同学们熟记课本本节练习A组4；练习B组4、5.关于三角函数定义法，总的说来有两种：“单位圆定义法”(以后讲到)与“终边定义法”这两种方法本质上是一致的正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解