2022版新教材高中数学 第4章 数列 2.docx

1、等差数列的概念 等差数列的通项公式基础过关练题组一等差数列的概念及其应用1.下列数列中,不是等差数列的是()A.1,4,7,10B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16C.25,24,23,22D.10,8,6,4,22.(2020江苏江都邵伯高级中学月考)在等差数列an中,若a3=-1,a4=1,则a7=()A.7B.9C.11D.133.(2021江苏盐城伍佑中学高二期初调研)已知等差数列an中,a1=3,a6=13,则an的公差为()A.53B.2C.10D.134.已知数列an,bn满足bn=an+an+1,则“数列an为等差数列”是“数列bn为等差数列”的()A.充分不必要条件B

2、.必要不充分条件C.必要条件D.既不充分又不必要条件5.已知数列an中,点(an,an+1)(nN*)在直线x-y+1=0上,且a2=2.求证:数列an是等差数列.题组二等差数列的通项公式及其应用6.在数列an中,若a1=1,a2=12,2an+1=1an+1an+2(nN*),则该数列的一个通项公式为()A.an=1nB.an=2n+1C.an=2n+2D.an=3n7.(2021浙江台州书生中学高二月考)已知等差数列an的前3项依次是-1,a-1,1,则a=,通项公式为an=.8.已知数列an满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=1an-1.(1)证明:

3、数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式.题组三等差中项9.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.910.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为()A.26B.29C.39D.5211.下列命题中正确的个数是()(1)若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;(2)若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列;(3)若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;(4)若a,b,c成等差数列,则1a,1b,1c可能成等差数列.A.4B.3C.2D.112.已知等差数

4、列an的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的首项a1=.题组四等差数列的性质13.(2021江苏无锡第一中学高二期中)在等差数列an中,a3+a4+a5=6,则a1+a7=()A.2B.3C.4D.514.(2021江苏苏州吴江汾湖高级中学高二月考)在等差数列an中,a1+a3+a5=9,a4+a5+a6=21,则a7的值是()A.9B.11C.13D.1515.若an是公差为d的等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有()|an|;an+1-an;pan+q(p,q为常数);2an+n.A.1个B.2个C.3个D.4个16.(2021江苏无锡锡山高级中学高二期中)已知单调递增的等差

5、数列an满足a2+a4=12,a1a5=20,则a4=.能力提升练题组一等差数列通项公式的应用1.(2020广东深圳宝安高二期末,)等差数列的首项为125,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围是()A.d875B.d325C.875d325D.8750B.a2+a100=0C.a3+a1000D.a51=08.(2020上海实验学校高三月考,)已知等差数列an是递增数列,且a1+a2+a33,a7-3a38,则a4的取值范围为.9.(2020河南濮阳高二上期末,)已知各项都为正数的等差数列an中,a5=3,则a3a7的最大值为.10.(2021江苏盐城伍佑中学高二调研考试,)若数列

6、an满足a1=15,3an+1=3an-2(nN*),则使akak+10的k值为.题组三等差数列的综合应用11.(2021湖南长沙麓山国际实验学校高三月考,)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1tanA,1tanB,1tanC依次成等差数列,则下列结论中一定成立的是()A.a,b,c依次成等差数列B.a,b,c依次成等差数列C.a2,b2,c2依次成等差数列D.a3,b3,c3依次成等差数列12.(2020重庆八中高二月考,)已知两点F1(-2,0),F2(2,0),且F1F2是PF1与PF2的等差中项,则动点P的轨迹方程是()A.x216-y212=1B.x216+y21

7、2=1C.x24+y23=1D.x23+y24=113.()已知数列an中,a1=35,an=2-1an-1(n2,nN*),数列bn满足bn=1an-1(nN*).(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列an中的最大项和最小项.14.()数列an的通项公式是an=5n+4.(1)求证:an是等差数列,并求出其公差;(2)104、110是不是数列an中的项?如果是,是第几项?15.()设等差数列an的首项为0,公差为a,aN*;等差数列bn的首项为0,公差为b,bN*.由数列an和bn构造数表M与数表M*.记数表M中位于第i行第j列的元素为ci,j,其中ci,j=ai+bj(i,j=1,2

8、,3,).记数表M*中位于第i行第j列的元素为di,j,其中di,j=ai-bj+1(1ib,iN*,jN*).如:c1,2=a1+b2,d1,2=a1-b3.(1)设a=5,b=9,请计算c2,6,c396,6,d2,6;(2)设a=6,b=7,试求ci,j,di,j的表达式(用i,j表示),并证明:对于整数t,若t不属于数表M,则t属于数表M*;(3)设a=6,b=7,对于整数t,t不属于数表M,求t的最大值.答案全解全析基础过关练1.CA中,满足an+1-an=3(常数),所以是等差数列;B中,lg4-lg2=lg8-lg4=lg16-lg8=lg2(常数),所以是等差数列;C中,因为2

9、4-2523-2422-23,不满足等差数列的概念,所以不是等差数列;D中,满足an+1-an=-2(常数),所以是等差数列.故选C.2.A因为在等差数列an中,a3=-1,a4=1,所以公差d=2,所以a7=a4+3d=7.故选A.3.B设an的公差为d,因为a1=3,a6=13,所以5d=a6-a1=13-3=10,解得d=2.故选B.4.A充分性:若数列an是等差数列,设其公差为d1,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d1,所以数列bn是等差数列.必要性:若数列bn是等差数列,设其公差为d2,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+

10、an+1)=an+2-an=d2,不能推出数列an是等差数列.所以“数列an为等差数列”是“数列bn为等差数列”的充分不必要条件,故选A.5.证明由题意知点(an,an+1)(nN*)在直线x-y+1=0上,an-an+1+1=0,即an+1-an=1(nN*),又a2=2,a1=1.数列an是公差、首项均为1的等差数列.6.A由2an+1=1an+1an+2,得1an+1-1an=1an+2-1an+1,则数列1an是首项为1a1=1,公差为1a2-1a1=2-1=1的等差数列,所以1an=n,即an=1n.7.答案1;n-2解析因为-1,a-1,1构成等差数列,所以2(a-1)=-1+1=

11、0,解得a=1,所以公差d=1,因为a1=-1,所以an=n-2.8.解析(1)证明:(an+1-1)(an-1)=3(an-1)-(an+1-1),1an+1-1-1an-1=13,即bn+1-bn=13,又a1=2,b1=1.bn是以1为首项,13为公差的等差数列.(2)由(1)得bn=13n+23=n+23,an-1=3n+2,an=n+5n+2.解题模板求等差数列的通项公式的两种思路:(1)设出基本量a1,d,利用条件构建方程组,求出a1,d,即可写出等差数列an的通项公式;(2)已知等差数列中的两项an,am(n,mN*,nm)时,an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)dd

12、=am-anm-n,an=am+(n-m)d,可不必求a1而直接写出等差数列an的通项公式.9.B由已知得m+2n=8,2m+n=10,解得m=4,n=2,所以m和n的等差中项为m+n2=3.10.C5,x,y,z,21成等差数列,y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项.5+21=2y,x+z=2y,y=13,x+z=26,x+y+z=39.11.B对于(1),取a=1,b=2,c=3a2=1,b2=4,c2=9,(1)错; 对于(2),a=b=c2a=2b=2c,(2)正确;对于(3),a,b,c成等差数列,a+c=2b,(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),

13、(3)正确;对于(4),a=b=c01a=1b=1c,(4)正确.综上正确的个数是3,故选B.12.答案-1解析依题意可得(a-1)+(2a+3)=2(a+1),解得a=0,故等差数列an的前三项依次为-1,1,3,所以a1=-1.13.C因为在等差数列an中,a3+a4+a5=6,所以3a4=6,即a4=2,所以a1+a7=2a4=4.故选C.14.B因为an是等差数列,所以a1+a3+a5=3a3=9,a4+a5+a6=3a5=21,解得a3=3,a5=7,所以a7=2a5-a3=27-3=11.故选B.15.C数列-1,1,3是等差数列,取绝对值后为1,1,3,不是等差数列,不符合;若a

14、n是等差数列,则利用等差数列的定义,知an+1-an为常数列,故an+1-an是公差为0的等差数列,符合;设an的公差为d,则(pan+q)-(pan-1+q)=p(an-an-1)=pd(n2),为常数,故pan+q是等差数列,符合;(2an+n)-(2an-1+n-1)=2(an-an-1)+1=2d+1(n2),为常数,故2an+n是等差数列,符合.故选C.16.答案8解析因为数列an是单调递增的等差数列,所以a1+a5=a2+a4=12,所以a1+a5=12,a1a5=20,a11,a91,125+9d1,125+8d1,8750,等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,且a1

15、+a101=a2+a100=a50+a52=2a51,a1+a2+a3+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+(a50+a52)+a51=101a51=0,a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故A错误,B,D正确.又a51=a1+50d=0,a1=-50d,a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2(-50d)+101d=d0,故C错误.故选BD.8.答案(-4,11解析等差数列an是递增数列,且a1+a2+a33,a21,d0,又a7-3a3=a1+6d-3(a1+2d)=-2a18,a1-4,0-4,a4=a2+2d1+10=1

16、1,即a4的取值范围为(-4,11,故答案为(-4,11.9.答案9解析因为等差数列an的各项都为正数,所以a30,a70,所以a3a7a3+a722=a52=9,当且仅当a3=a7=3时,等号成立.所以a3a7的最大值为9.10.答案23解析因为数列an满足a1=15,3an+1=3an-2(nN*),所以数列an是以a1=15为首项,-23为公差的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=-23n+473,且数列an是递减数列,因为akak+10,-23k+150,解得k452,因为kN*,所以k=23,故答案为23.11.CABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1tanA,1

17、tanB,1tanC依次成等差数列,则2tanB=1tanA+1tanC,所以2cosBsinB=cosAsinA+cosCsinC,利用正弦定理及余弦定理得2a2+c2-b22abc=b2+c2-a22abc+a2+b2-c22abc,即2b2=a2+c2,即a2,b2,c2依次成等差数列.此时对等差数列a2,b2,c2的每一项取相同的运算得到数列a,b,c或a,b,c或a3,b3,c3,这些数列一般都不可能是等差数列,除非a=b=c,但题目中没有说ABC是等边三角形,故选C.12.BF1(-2,0),F2(2,0),F1F2=4.F1F2是PF1与PF2的等差中项,2F1F2=PF1+PF

18、2,即PF1+PF2=8F1F2=4,根据椭圆的定义可知动点P的轨迹曲线的形状为椭圆,F1,F2为椭圆的两个焦点.设该椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则2a=8,解得a=4,又c=2,b2=12,椭圆的方程是x216+y212=1.13.解析(1)证明:因为an=2-1an-1(n2,nN*),bn=1an-1(nN*),所以bn+1-bn=1an+1-1-1an-1=12-1an-1-1an-1=anan-1-1an-1=1,又b1=1a1-1=-52,所以数列bn是以-52为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知bn=n-72,则an=1+1bn=1+22n-7.设f(x)

19、=1+22x-7,则f(x)在区间-,72和72,+上为减函数.所以当n=3时,an取得最小值,最小值为-1,当n=4时,an取得最大值,最大值为3.故数列an中的最小项为a3且a3=-1,最大项为a4且a4=3.14.解析(1)an=5n+4,an+1=5(n+1)+4=5n+9,an+1-an=(5n+9)-(5n+4)=5,所以数列an是等差数列,且公差为5.(2)令an=104,即5n+4=104,解得n=20;令an=110,即5n+4=110,解得n=1065.所以104是该数列的第20项,110不是该数列中的项.15.解析(1)由题意知等差数列an的通项公式为an=5n-5;等差

20、数列bn的通项公式为bn=9n-9.所以ci,j=ai+bj=(5i-5)+(9j-9)=5i+9j-14(i,j=1,2,3,),di,j=ai-bj+1=(5i-5)-9(j+1)-9=5i-9j-5(1i9,iN*,jN*),故c2,6=50,c396,6=2020,d2,6=-49.(2)已知a=6,b=7,由题意知等差数列an的通项公式为an=6n-6,等差数列bn的通项公式为bn=7n-7,所以ci,j=ai+bj=(6i-6)+(7j-7)=6i+7j-13(i,j=1,2,3,),di,j=ai-bj+1=(6i-6)-7(j+1)-7=6i-7j-6(1i7,iN*,jN*)

21、.所以若tM,则存在uN,vN,使t=6u+7v,若tM*,则存在uN,u6,vN*,使t=6u-7v,因此,对于正整数t,考虑集合M0=x|x=t-6u,uN,u6,即t,t-6,t-12,t-18,t-24,t-30,t-36.下面证明:集合M0中至少有一个元素是7的倍数.假设集合M0中任何一个元素都不是7的倍数,则集合M0中每一个元素除以7的余数可以为1,2,3,4,5,6,又因为集合M0中共有7个元素,所以集合M0中至少存在两个元素除以7的余数相同,不妨设为t-6u1,t-u2,其中u1,u2N,u1u26,则这两个元素的差为7的倍数,即(t-u2)-(t-6u1)=6(u1-u2),所以u1-u2=0,与u10且u-n是7的倍数,因为uN,u6,所以u-n6,所以矛盾,即假设不成立.所以对于整数t,若tM*,则tM,又由(2)知,对于整数tM,则tM*,所以t的最大值,就是集合M*中元素的最大值,又因为t=6u-7v,uN,vN*,u6,所以tmax=(M*)max=66-71=29.