2022版新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题强化练1 利用基本不等式求最值（含解析）新人教A版必修第一册.docx

1、专题强化练1利用基本不等式求最值一、选择题1.(2020山东聊城文苑中学高二月考,)将一根铁丝切割成三段,做一个面积为2m2,形状为直角三角形的框架,在下列4种长度的铁丝中,选用最合适(够用且浪费最少)的是()A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m2.()若正数a,b满足1a+1b=1,则1a-1+4b-1的最小值为()A.3B.4C.5D.63.()设ab0,则a2+1ab+1a(a-b)的最小值是()A.1B.2C.3D.44.(2020陕西吴起高中高二期末,)设x,y都是正数,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y2(2+1)B.xy2+1C.x+y(2+1)2D.xy2(2+1

2、)5.(2021江苏苏州新草桥中学高二月考,)正数a,b满足9a+b=ab,若不等式a+b-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是()A.m3B.m3C.m6D.m66.(2021山东新高考联盟高一联考,)已知1m0,y0,2x-1x=8y-y,则2x+y的最小值为()A.2B.22C.32D.48.(2019广东茂名化州高三第一次模拟,)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为()A.245B.2C.285D.59.(多选)(2020山东莒县第一中学高一月考,)已知x+y=1,y0,x0,则12|x|+|x|y+1的值可能是()A.12

3、B.14C.34D.54二、填空题10.(2021山东济宁兖州高一上期中,)已知ab0,且ab=4,则a2+b2a-b的最小值为.11.(2021湖南长沙长郡中学高二上入学考试,)已知a,b为正实数,且a+b+ab=3,则2a+b的最小值为.12.(2020浙江浙南名校联盟高一期末,)若实数a1,b2,且满足2a+b-6=0,则1a-1+2b-2的最小值为.三、解答题13.(2021安徽安庆一中高一上期中,)已知实数x0,y0,且2xy=x+y+a(x2+y2)(aR).(1)当a=0时,求x+4y的最小值,并指出取最小值时x,y的值;(2)当a=12时,求x+y的最小值,并指出取最小值时x,

4、y的值.14.()(1)设abc,且1a-b+1b-cma-c恒成立,求m的取值范围;(2)记F=x+y-a(x+22xy),x0,y0,若对任意的x0,y0,恒有F0,请求出a的取值范围.答案全解全析一、选择题1.C设直角三角形的框架的两条直角边长分别为xm,ym(x0,y0),则xy=4,设三角形框架的周长为C,则C=x+y+x2+y2=x+y+(x+y)2-8,x+y2xy=4,C=x+y+x2+y24+226.83,当且仅当x=y=2时,等号成立,故用7m长的铁丝最合适.故选C.2.Ba0,b0,1a+1b=1,a1,b1,a+b=ab,1a-10,4b-10,1a-1+4b-124(

5、a-1)(b-1)=24ab-(a+b)+1=4,当且仅当1a-1=4b-1,即a=32,b=3时,等号成立.故选B.3. Dab0,a-b0,a2+1ab+1a(a-b)=a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=a(a-b)+1a(a-b)+ab+1ab2a(a-b)1a(a-b)+2ab1ab=4,当且仅当a(a-b)=1a(a-b)且ab=1ab,即a=2b=2时,等号成立.故选D.4.Ax0,y0,且xy-(x+y)=1,xy=1+(x+y)1+2xy(当且仅当x=y=1+2时,等号成立),即(xy)2-2xy-10,解得xy1+2,即xy(1+2)2.xy=1+(x+y)(x+y)

6、24(当且仅当x=y=1+2时,等号成立),即(x+y)2-4(x+y)-40,解得x+y2(2+1).故选A.5.A因为9a+b=ab,所以1a+9b=1,且a,b均为正数,所以a+b=(a+b)1a+9b=10+ba+9ab10+2ba9ab=16,当且仅当ba=9ab,即a=4,b=12时取等号,所以(a+b)min=16,若不等式a+b-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,则16-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,即m-x2+2x+2对任意实数x恒成立,因为-x2+2x+2=-(x-1)2+33,所以m3,故选A.6.C1m0,4-3m0,2m-1+34-3m=63m-3+3

7、4-3m(3m-3)+(4-3m)=9+6(4-3m)3m-3+3(3m-3)4-3m9+62,当且仅当6(4-3m)3m-3=3(3m-3)4-3m,且1m0,y0,15y+35x=1,3x+4y=(3x+4y)15y+35x=135+3x5y+12y5x135+23x5y12y5x=5,当且仅当3x5y=12y5x,即x=2y=1时等号成立,此时x+2y=2.故选B.9.CD由x+y=1,y0,x0,得y=1-x0,则x1且x0.当0x1时,12|x|+|x|y+1=12x+x2-x=x+2-x4x+x2-x=14+2-x4x+x2-x14+22-x4xx2-x=54,当且仅当2-x4x=

8、x2-x,即x=23时取等号.当xb0,a-b0,又ab=4,a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=a-b+2aba-b=a-b+8a-b2(a-b)8a-b=42,即a2+b2a-b42,当且仅当a-b=8a-b,即a=6+2,b=6-2时取等号.故答案为42.11.答案42-3解析由a+b+ab=3可得(a+1)(b+1)=4,则2a+b=2(a+1)+(b+1)-322(a+1)(b+1)-3=42-3,当且仅当(a+1)(b+1)=4,2(a+1)=b+1,即a=2-1,b=22-1时等号成立.故答案为42-3.12.答案4解析a1,b2,且满足2a+b-6=0,2(a-1)+

9、b-2=2,a-10,b-20,则1a-1+2b-2=1a-1+2b-22(a-1)+b-212=124+b-2a-1+4(a-1)b-2124+2b-2a-14(a-1)b-2=12(4+4)=4,当且仅当b-2a-1=4(a-1)b-2,且2a+b-6=0,即a=32,b=3时,等号成立,则1a-1+2b-2的最小值为4.故答案为4.三、解答题13.解析(1)当a=0时,2xy=x+y,1x+1y=2,x+4y=(x+4y)1x+1y12=125+4yx+xy125+24yxxy=92,当且仅当4yx=xy且1x+1y=2,即y=34,x=32时取等号,故x+4y的最小值为92,此时x=3

10、2,y=34.(2)当a=12时,2xy=x+y+12(x2+y2)=x+y+12(x+y)2-xy,3xy=x+y+12(x+y)23x+y22,解得x+y4,当且仅当x=y且2xy=x+y+12(x2+y2),即x=y=2时取等号,故x+y的最小值为4,此时x=2,y=2.14.解析(1)由abc,知a-b0,b-c0,a-c0,所以原不等式等价于a-ca-b+a-cb-cm.要使原不等式恒成立,只需a-ca-b+a-cb-c的最小值不小于m即可.因为a-ca-b+a-cb-c=(a-b)+(b-c)a-b+(a-b)+(b-c)b-c=2+b-ca-b+a-bb-c2+2b-ca-ba-bb-c=4,当且仅当b-ca-b=a-bb-c,即2b=a+c时,等号成立,所以m4.(2)由F0,得x+ya(x+22xy).因为x0,y0,所以ax+yx+22xy恒成立,所以a小于或等于x+yx+22xy的最小值.又x+yx+22xyx+yx+(x+2y)=12,当且仅当x=2y时,等号成立,所以a12.