2022版新教材高中数学 第二章 平面解析几何 加练课6 抛物线焦点弦的性质及应用（含解析）新人教B版选择性必修第一册.docx

1、加练课6 抛物线焦点弦的性质及应用基础达标练1.过抛物线y=2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )A.2B.1C.14 D.12答案：D2.直线l过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8 ,则直线l的方程为( )A.y=-x+1 B.y=x-1C.y=-x+1或y=x-1 D.以上均不对答案：C解析：由焦点弦长|AB|=2psin2（为直线AB的倾斜角）,得8=4sin2,sin2=12,则tan=1 ,又直线过抛物线的焦点,直线l的方程为y=-x+1或y=x-1 .故选C.3.直线l过抛物线y2=-2px(p0)的焦点,且与该抛物线交于A,B

2、两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则抛物线的方程是( )A.y2=-12x B.y2=-8xC.y2=-6x D.y2=-4x答案：B解析：设A(x1,y1),B(x2,y2) ,根据抛物线的焦点弦性质可知|AB|=-(x1+x2)+p=8 .又线段AB的中点到y轴的距离为2,-x1+x22=2,x1+x2=-4,p=4,所求抛物线的方程为y2=-8x .故选B.4.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且|AF|=3|BF|=3 ,则抛物线的方程为( )A.y2=32x B.y2=3xC.y2=92x D.y2=9x答案：B解析：依题意得,|A

3、F|=3,|BF|=1 ,由1|AF|+1|BF|=2p ,知13+11=2p,p=32 .抛物线的方程为y2=3x .5.经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F ,且倾斜角为30的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,则p=答案： 2解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M的横坐标为7,x1+x2=14 ,由抛物线焦点弦的性质可得,14+p=2psin230,p=2 .6.（2021天津红桥高二月考）已知抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,抛物线C过点A(4,4) ,过抛物线C的焦点F作倾斜角为45的直线l ,直线l交抛物线C于M,N两点.（1

4、）求抛物线C的方程;（2）求线段MN的长.答案：（1）依题意设抛物线C的方程为y2=2px(p0) ,因为抛物线C过点A（4,4）,所以42=8p ,解得p=2 ,所以抛物线C的方程为y2=4x .（2）解法一：由（1）可得抛物线的焦点为F（1,0）,则直线l的方程为y=x-1 ,联立y=x-1,y2=4x得x2-6x+1=0 ,设M(x1,y1),N(x2,y2) ,则x1+x2=6 ,根据抛物线的定义可得|MN|=x1+x2+p=6+2=8 .解法二：设M(x1,y1),N(x2,y2),则|MN|=x1+x2+p=2psin2=4(22)2=8 .7.（2021山东青岛高二期末）设点O为

5、坐标原点,抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F ,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点,若|AB|=8 ,求：（1）抛物线C的标准方程;（2）AOB的面积答案：（1）解法一：由题意可知F（p2,0） ,则直线AB的方程为y=x-p2 ,代入y2=2px(p0)中,化简可得x2-3px+p24=0设A(x1,y1),B(x2,y2) ,则有x1+x2=3p|AB|=8,x1+x2+p=8,解得p=2,抛物线的方程为y2=4x .解法二：直线AB的斜率为1,其倾斜角为45,|AB|=x1+x2+p=2psin2=2p12=8 ,解得p=2,抛物线的方程为y2=4x .（2）解法一：易

6、知直线AB的方程为y=x-1联立y=x-1,y2=4x可得y2-4y-4=0 ,则y1+y2=4,y1y2=-4 .AOB的面积S=121(y1+y2)2-4y1y2=22解法二：直线AB的斜率为1,其倾斜角为45 ,运用焦点弦与倾斜角相关的面积公式,则SAOB=p22sin=42sin45=42=22 .8.已知抛物线C的顶点为原点,焦点F与圆x2+y2-2x=0的圆心重合.（1）求抛物线C的标准方程;（2）设定点A（3,2）,当P点在C上何处时,|PA|+|PF|的值最小？并求最小值及点P的坐标;（3）若弦MN过焦点F ,求证：1|FM|+1|FN|为定值.答案：（1）由已知易得F(1,0

7、),p=2 ,则抛物线C的标准方程为y2=4x .（2）设点P在抛物线C的准线上的射影为点B ,根据抛物线的定义知|PF|=|PB| ,要使|PA|+|PF|=|PA|+|PB|的值最小,则P、A、B三点共线.所以P(x1,2) ,代入椭圆方程中得22=4x1x1=1 .即P(1,2) ,此时|PA|+|PF|=2+2=4 .（3）证明：由抛物线焦点弦的性质可得|FM|=p1-cos ,|FN|=p1+cos .则1|FM|+1|FN|=1-cosp+1+cosp=2p=1 .素养提升练9.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2 ,直线l1与C交于A,B两点,

8、直线l2与C交于D,E两点,求|AB|+|DE|的最小值.答案：解法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1,0）,由题意可知l1,l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k,则l1：y=k(x-1),l2：y=-1k(x-1),由y2=4x,y=k(x-1),消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0 ,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+2=2+4k2+2=4+4k2 .同理得|DE|=4+4k2 ,|AB|+|DE|=4+4k2+4+4k2=8+4(1k2+k2)8+8=16,当且仅当1k2=k2,即k=1时取等号,故|AB|+|DE|的最小值为16.解法二：设l1的倾斜角为 ,因为两条直线互相垂直,所以|AB|+|DE|=2psin2+2psin2(2+)=4sin2+4cos2=4sin2cos2=16sin2216 ,所以|AB|+|DE|的最小值为16.