2022版新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 本章复习提升（含解析）新人教A版必修第一册.docx

1、本章复习提升易混易错练易错点1不能正确进行指数、对数的相关运算1.(2021山东师大附中高一上期中,)求下列各式的值:(1)4114-4+1649-12+823;(2)(lg2)2+lg2lg5+12lg25;(3)12lg3249-43lg8+lg245.2.()已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求log2y-log2x的值.易错点2忽视对参数取值范围的讨论导致错误3.()若loga120,且a1)在0,1上的最大值和最小值之和为a,则a的值为.5.(2020黑龙江哈三中高一上期中,)设函数f(x)=loga(x2-ax+20)在(1,4)上单调递减,则a的取值范围是.6.(2020天

2、津滨海新区高一上期末,)已知函数f(x)=loga(2+x)(a0,a1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)若f(2)=2,判断函数f(x)的单调性,并用单调性定义证明;(3)解关于x的不等式f(x)0.易错点3研究函数时忽视定义域与值域导致错误7.(2020河北唐山一中高一期中,)若函数f(x)=log12(x2-ax+3a)在区间(2,+)上是减函数,则a的取值范围为()A.(-,4B.(-4,4C.-4,4)D.-4,48.(2020安徽合肥一六八中学高一上期中,)函数f(x)=|log2x|,04,若a,b,c,d互不相同,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值

3、范围是()A.(32,34)B.(32,34C.(32,35)D.(32,36)9.(2020山东枣庄高一上期末,)已知f(x)=3x-4,x1,3x,x1,若a0,b0)的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字,故被称为“囧函数”.若函数f(x)=ax2+x+1(a0且a1)有最小值,则当c=1,b=1时的“囧函数”与函数y=loga|x|的图象的交点个数为()A.1B.2C.4D.64.(2020山西长治二中高一上期末,)已知函数f(x)=2x+22,x1,|ln(x-1)|,x1,若F(x)=f(x)2-af(x)+23的零点个数为4,则实数a的取值范围为()A.263,5373,+B.

4、263,73C.53,2D.(2,+)三、分类讨论思想在解决函数问题中的运用5.(2020浙江嘉兴一中高一上期中,)设函数f(x)=e|lnx|(e为自然对数的底数),若x1x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是()A.x2f(x1)1B.x2f(x1)1C.x2f(x1)=1D.x2f(x1)0,且a1).(1)当a=12时,若方程f(x)=log12(p-x)在(2,3)上有解,求实数p的取值范围;(2)若f(x)1在a+3,a+4上恒成立,求实数a的取值范围.四、转化与化归思想在解决函数问题中的运用7.(2020安徽安庆高一上期末质量调研监测,)已知函数f(x)是定义在R

5、上的函数,f(1)=1.若对任意的x1,x2R且x1-3,则不等式flog2(3x-2)0且a1)的图象经过的定点坐标为.10.(2021山东师大附中高一上期中,)已知定义域为R的函数f(x)=-2x+1+b2x+a是奇函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知g(x)=|x|,若对任意的tR,mR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0,y0,x-2y0,因此0yx1,且nN*)有意义的条件是na有意义,当n为偶数时,nan=|a|,当n为奇数时,nan=a;对数式中真数大于0,底数大于0且不等于1等.3.D当a1时,由loga122,得loga1212,所以a22或a1,所以a1;

6、当0a1时,由loga122,得loga12logaa2,因此0a212,所以-22a22且a0.又0a1,所以0a1时,y=ax与y=loga(x+1)在0,1上是增函数,f(x)=ax+loga(x+1)在0,1上是增函数,f(x)max=f(1)=a+loga2,f(x)min=f(0)=a0+loga1=1,a+loga2+1=a,loga2=-1=loga1a,解得a=12(舍去);当0a1,还是0a1,题中函数f(x)在0,1上都是单调函数,所以f(x)max+f(x)min=f(0)+f(1)=1+a+loga2=a,从而解得a=12.5.答案(0,1)8,9解析令u=x2-ax

7、+20.当0a1时,y=logau在(0,+)上是减函数,u=x2-ax+20=x-a22+20-a24在a2,+上是增函数,又0a1,0a20,f(x)在(1,4)上是减函数.当a1时,y=logau在(0,+)上单调递增,u=x2-ax+20=x-a22+20-a24,若f(x)在(1,4)上单调递减,则a24,42-4a+200,解得a8,a9,即8a9.综上所述,a的取值范围是(0,1)8,9.6.解析(1)由题意知2+x0,解得x-2,则函数f(x)的定义域为x|x-2.(2)f(2)=2,2=loga4,a=2,f(x)=log2(2+x),函数f(x)在(-2,+)上单调递增.证

8、明如下:任取x1,x2(-2,+),且-2x1x2,则f(x1)-f(x2)=log2(2+x1)-log2(2+x2)=log22+x12+x2.-2x1x2,02+x12+x2,2+x12+x21,log22+x12+x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0,即loga(2+x)0,即loga(2+x)loga1.当0a-2,2+x1,解得-2x1时,x-2,2+x1,解得x-1.综上所述,当0a1时,不等式的解集为x|-2x1时,不等式的解集为x|x-1.易错警示在研究指数函数、对数函数有关问题时,若底数中含有参数,其单调性不能确定,应分a1,0a0,所以当x=2时,u=4-2a

9、+3a0,解得a-4.所以-4a4.故选D.易错警示在研究形如y=logaf(x)(a0且a1)型函数的性质时,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)0这一隐含条件.8.C作出函数f(x)的图象如图所示,不妨设abcd,f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=t(0t2).f(a)=|log2a|=tlog2a=-t,f(b)=|log2b|=tlog2b=t,log2a+log2b=log2(ab)=-t+t=0,即ab=1.又c,d是方程23x2-8x+703=t的两个根,cd=703-t23=70-3t2(0t2),32cd35,32abcd35,故选C.9.答案(-,8解析依题

10、意得a1b,由f(a)=f(b)得3a=3b-4,即3b=3a+4.令S=a+3b=a+3a+4.函数S=a+3a+4在(-,1上单调递增,S1+31+4=8,因此S的取值范围是(-,8.易错警示求某个式子的最大(小)值,关键是选一个自变量,建立这个式子与此自变量的函数关系,利用函数知识求解,本题中若找不准自变量的取值范围则易导致解题错误.思想方法练1.B由f(x)=0,得|log2x|=e-x,在同一平面直角坐标系中作出函数y=|log2x|与y=e-x的图象,如图所示.由图象知f(x)=0有两个实数解x1,x2,且0x11x2,-log2x1=e-x1,log2x2=e-x2,由函数的零点

11、就是方程的解,列出关于x1,x2的方程.log2x1+log2x2=e-x2-e-x1,log2(x1x2)=1ex2-1ex10,0x1x21,即0m0.因为h(x)具有性质M,所以在R上存在x0,使h(x0+1)=h(x0)+h(1),利用新定义列出关于x0的方程.代入得lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2,即2(x02+1)=a(x0+1)2+a,整理得(a-2)x02+2ax0+2a-2=0.若a=2,则x0=-12;若a2,则0,即a2-6a+40,解得3-5a3+5,所以a3-5,2)(2,3+5.利用一元二次方程解的情况求解.综上可得a3-5,3+5.思想方法方程

12、思想在指数函数与对数函数中,常利用条件得到等式,运用代数手段构造方程(组),通过解方程(组)解决相关问题.3.Cf(x)=ax2+x+1=ax+122+34,且f(x)有最小值,a1.在同一平面直角坐标系中作出函数y=1|x|-1与y=loga|x|的图象,如图所示.作出函数图象,得出交点个数.由图象知,当c=1,b=1时的“囧函数”与函数y=loga|x|的图象有4个交点,故选C.4.A作出函数f(x)=2x+22,x1,|ln(x-1)|,x1的图象,如图.设t=f(x),根据函数图象有:当t2时,方程t=f(x)有2个实数根;当1t2时,方程t=f(x)有3个实数根;当0t1时,方程t=

13、f(x)有2个实数根;当t=0时,方程t=f(x)有1个实数根;当t0时,方程t=f(x)没有实数根.由函数f(x)的图象与直线y=t的交点个数,得到方程f(x)=t的实数解的个数.因为F(x)=f(x)2-af(x)+23的零点个数为4,所以方程t2-at+23=0(t0)有两个不相等的实数根t1,t2,不妨设t1t2,则0t1t12或02.设函数h(t)=t2-at+23.则h(0)0,0,0a20,h(2)0,a22或h(0)0,h(1)0,h(2)0,解得26373.故选A.思想方法在解决指数函数与对数函数的问题时要注意数形结合,利用图象可简化思维过程,使问题变得形象直观,数形结合的思

14、想是解决函数零点问题的重要手段.5.Bf(x)=e|lnx|=x,x1,1x,0x1,利用绝对值的定义,把f(x)化为分段函数.当x1时,f(x)=x是增函数;当0x1时,f(x)=1x是减函数.由f(x1)=f(x2)可知0x11x2,或0x21x1.当0x111,x1f(x2)=x1x2=1.从而x2f(x1)x1f(x2),此时A成立.当0x211.从而x2f(x1)x1f(x2),此时C、D成立.而B无论何种情况都不成立,故选B.6.解析(1)当a=12时,f(x)=log12(x-1)+log12x-32=log12(x-1)x-32,故函数f(x)的定义域为32,+.f(x)=lo

15、g12(p-x),(x-1)x-32=p-x,即x2-32x+32-p=0,令g(x)=x2-32x+32-p=x-342+1516-p,342,g(x)在(2,3)上单调递增,f(x)=log12(p-x)在(2,3)上有解,g(2)0,52p3a,a5a2.函数u=x-5a22-a24在区间a+3,a+4上单调递增.与对数有关的函数的单调性利用底数与1的大小关系进行分类讨论.若0a1,则f(x)在a+3,a+4上单调递减,f(x)在a+3,a+4上的最大值为f(a+3)=loga(2a2-9a+9).f(x)1在a+3,a+4上恒成立,loga(2a2-9a+9)1,2a2-10a+90,

16、解得a5+72或a5-72,0a1.若1a32,不存在a满足题意.综上,实数a的取值范围为(0,1).思想方法在指数、对数函数的问题中,底数对函数的图象和性质有影响,解题时要对底数进行分类讨论.7.C由x1x2知x1-x2-3可化为f(x1)-f(x2)-3(x1-x2),即f(x1)+3x1f(x2)+3x2,设F(x)=f(x)+3x,则函数F(x)=f(x)+3x是R上的增函数,构造函数,利用函数的单调性解题.又F(1)=4,所以不等式flog2(3x-2)log216-3log2(3x-2)可化为Flog2(3x-2)F(1),所以log2(3x-2)1,根据函数的单调性将函数值问题转

17、化为自变量问题.即03x-22,解得23x0,a3t-t2.设g(t)=-t2+3t=-t-322+94,则当t=32时,g(t)max=94,又不等式a3t-t2恒成立,所以a94,将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.故a的取值范围是94,+.解题模板不等式恒成立问题转化为函数的最大(小)值问题是常见的思路,解题时要注意函数的定义域.思想方法转化与化归思想在研究指数函数与对数函数中常见的运用:利用函数奇偶性对原点两侧函数值进行转化;构造函数将复杂的问题转化为简单的问题等.9.答案(-2,2)解析因为loga1=0(a0且a1),所以在y=loga2x+3x+1+2中,取2x+3x+1=1

18、,解得x=-2,故函数的图象过定点(-2,2).利用对数特殊值解决过定点问题.10.解析(1)因为f(x)=-2x+1+b2x+a是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),即-2+b1+a=0,-1+b2-1+a=-22+b2+a,解得b=2,a=1,已知函数的奇偶性,先用特殊值确定参数的值,再验证.此时f(x)=-2x+1+22x+1,f(-x)+f(x)=-2-x+1+22-x+1+-2x+1+22x+1=22x-22x+1+-2x+1+22x+1=0,符合题意,所以f(x)=-2x+1+22x+1.(2)因为g(x)=|x|,所以g(x)min=0,因为对任意的tR,mR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)g(m)恒成立,所以对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,所以对任意的tR,不等式f(t2-2t)-2t2+k,即3t2-2t-k0,所以=4+12k0,解得k-13.思想方法由特殊到一般,再由一般到特殊,这种反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一,对数学而言,这就是我们常说的特殊与一般的数学思想.有时用这种思想解决选择题特别有效,这是因为一个命题在普遍意义上成立时,在其特殊情况下也必然成立,根据这一点,我们可以直接确定选择题中的正确选项.不仅如此,用这种思想方法去探求主观题的求解策略,也同样精彩.