数学北师大版必修4课前导引：2.5从力做的功到向量的数量积 WORD版含解析.doc

1、5 从力做的功到向量的数量积课前导引问题导入【问题】 向量的数量积与向量的加法、减法，实数与向量的积之间有何区别?思路分析:两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，其结果是数量(而不是向量)；前面学习的向量的加法、减法，实数与向量的积，其结果仍然是向量，这个区别应引起重视.知识预览一、两平面向量的夹角 两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角.1.如右图，已知两个向量a、b，作,=a,=b，则AOB叫做向量a、b的夹角.2.两个向量a、b的夹角0,.当=0时，a、b同向；当=时，a、b反向；当=90时，两向量a与b垂直，并记作ab.二、平面向量数量积的含义 已知两个非零

2、向量a与b，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（linner product）（或内积），记作ab，即规定ab=|a|b|cos. 其中是a与b的夹角，|a|cos(|b|cos)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影（projection）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.三、平面向量数量积的运算律1.已知向量a、b、c和实数，则有：(1)ab=ba；(2)(a)b=(ab)=a(b)；(3)(a+b)c=ac+bc.2.运算律的证明：(1)ab=|a|b|cos=|b|a|cos=ba.(2)(a)b=|a|b|cos=(|b|a|cos)=ab，又|a|b|cos=abcos=a(b)，(a)b=(ab)=a(b).(3)如右图所示，任取一点O，作=a，=b，=c.因为a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2，|c|a+b|cos=|c|a|cos1+|c|b|cos2.c(a+b)=ca+cb.(a+b)c=ac+bc. 说明：两个向量的数量积是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定.两个向量a、b的数量积ab与代数中a、b的乘积ab不同，书写时要严格区分开.