数学北师大版必修4课前导引：2.doc

1、4 平面向量的坐标课前导引问题导入【问题1】 如何理解向量的坐标?思路分析:（1）i=(1,0)，j=(0,1),0=(0，0).（2）在直角坐标系内，以原点为起点作向量=a，则点A的位置由向量a唯一确定.（3）设=xi+yj，则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x,y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示.即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.（4）两向量相等的充分必要条件是它们对应的坐标相等.(5)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同.例：点A(3,5),B(6,

2、8),C(-5,3),D(-2,6)，向量=(3,3).两向量的坐标相同，但起点、终点坐标不同.【问题2】 如何用坐标表示两个向量共线的条件?思路分析：（1）设a=(x1,y1)，b=（x2,y2)(b0）.要使向量a、b共线，当且仅当存在实数，使a=b即(x1,y1)=(x2,y2)，消去后得x1y2-x2y1=0.所以当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b(b0)共线.（2）当b=0时，a与b自然共线.（3）例：若a=(x,1)，b=(4,x)，则当x=_时，a与b共线且方向相同.a=(x,1),b=(4,x),要使ab，当且仅当xx-14=0，即x2=4，x=2.当x=-2时，a与

3、b方向相反.当x=2时，a与b方向相同.应填2.知识预览一、平面向量的正交分解、向量的坐标及坐标运算1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.向量的坐标 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面上的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj.这样，平面内的任意向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标，记作a=（x、y），其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标.3.和与差的坐标运算 已知向量a=(x1,y1),b=(x2

4、,y2)，则两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).a+b=（x1+x2,y1+y2）,a-b=（x1-x2,y1-y2）. 公式推导：a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=（x1+x2）i+（y1+y2）j, 即a+b=（x1+x2,y1+y2）.同理a-b=（x1-x2,y1-y2）.4.实数与向量积的运算 实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.a=(x1,x2). 公式推导a=(x1i+y1j)=x1i+y1j，即a=(x1,x2).5.向量的坐标与端点坐标的换算 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.已知A(x1,y1),B(x2,y2),因为=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),所以=(x2-x1,y2-y1).二、平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)（b0），当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b共线.