数学必修四北师大版 3.2　两角和与差的三角函数教案.doc

1、两角差的余弦函数教案三维目标1.知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与差角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学

2、习兴趣,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和善于运用数形结合等数学思想方法的能力.教学重点探索两角差的余弦公式,理解其推导过程,并会用两角差的公式进行化简、求值等.教学难点两角差的余弦公式的探索与证明教学方法启发式，讲练结合式教具准备多媒体课件教学过程主要教学内容及步骤设计思路创设情境我们在初中时就知道cos45=,cos30=,由此我们猜想:能否得到cos15=cos(45-30)=?这里是不是等于cos45-cos30呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的！那么究竟是个什么关系呢?cos(-)=?这时学生急于想知道这究竟是怎么回事,由此展开新课:我们是

3、利用熟悉的单位圆呢？还是利用刚刚学过的重要工具向量呢？让学生利用单位圆及向量的数量积的知识,并结合课件直接进行差角的余弦公式探究的学习.提出问题让学生猜想cos(-)=?你认为cos(-)=cos-cos对吗？举例验证.回忆前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用、的三角函数来表示cos(-)呢？回忆向量的数量积的知识及向量方法的作用,结合单位圆能找到两个单位向量其夹角是-吗？得到cos(-)公式后,它有哪些特征？其中、角的取值范围是任意的吗？类比前面学过的诱导公式及同角的基本关系式的应用,如何正用、逆用、灵活运用两角差的余弦公式进行求值、化简与证明呢？让学生充分发挥想象能力,自主探究.讲 授新

4、 知思路一:提出问题后,教师大胆放开,不要以担心学生找不到方向或花费过多时间为由而包揽一切,要学生很容易想到cos(-)=cos-cos？的问题,也会马上由特殊角来验证它的正确性,如:=60、=30,则cos(-)=cos30=,而cos-cos=,这一反例足以说明了cos(-)cos-cos(当然它也不是对任意角、都不成立的),从而进一步明确了“恒等”的意义,统一对探索目标的认识,也为后面以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备. 既然cos(-)cos-cos,那么cos(-)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,即-这个角的余弦问题,学生会迁移前面学过的知识与方法,很自然地联想

5、到利用单位圆上的三角函数线来探究(如图1).设角的终边与单位圆的交点为P1,POP1=,则POx=-,过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角-的余弦线,即OM=cos(-),这里就是要用角、的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么,OA表示cos,AP表示sin,并且PAC=P1Ox=于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcos+APsin=coscos+sinsin.所以cos(-)=coscos+sinsin. 以上等式还需说明角的任意性问题,因此教师适时地引导学生进一步思考:在以上

6、的推理过程中,角、-是有条件限制的,即、-均为锐角,且,如果要说明此结果对任意角、都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较烦琐,可由同学们课后动手试一试.由此我们得到两角差的余弦公式,即对任意角、,以下等式恒成立:cos(-)=coscos+sinsin.思路二:在第二章我们已经学习了向量的知识.向量的主要作用之一是讨论几何度量问题,例如,长度和角度的问题.从向量数量积的定义:ab=|a|b|cos(0),我们知道:任何向量与自身的数量积为向量长度的平方;两个单位向量的数量积就等于它们之间夹角的余弦函数值,反映了它们之间夹角的大小.向量的方法为我们探索三角函数关系提供了一种非常重

7、要的思想方法.在直角坐标系中(如图2).以原点为中心,单位长度为半径作单位圆,又以原点为顶点,x轴非负半轴为始边分别作角、,且.我们首先研究、均为锐角的情况.设它们的终边分别交单位圆于点P1(cos,sin),P2(cos,sin),即=(cos,sin),=(cos,sin),P1OP2= -,这样,我们就得到两个单位向量,由于这两个向量的夹角为-,所以我们可以得到:=|cos(-)=cos(-).另一方面,向量数量积可以用坐标表示,因此我们又可以得到:=(cos,sin)(cos,sin)=coscos+sinsin.由两式,我们就可得到一个非常重要的三角函数公式:cos(-)=cosco

8、s+sinsin. 通过以上利用向量数量积的推导,我们发现,运用向量工具进行探索,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角-必须符合条件0-,以上结论才正确.由于、都是任意角,-也是任意角,因此就需探究当-是任意角时,以上公式是否正确的问题.当-是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角0,2,使cos=cos(-),若0,则=cos=cos(-),若,2,则2-0,且=cos(2-)=cos=cos(-).由此可知,对于任意角、都有cos(-)=coscos+sinsin 推导完两角差的余弦公式后,教师要留给学生一定的时间进行回顾反思,以理顺并领悟探究过程与思想方法.如两种思路都让学生探究了,

9、要对这两种方法进行比较反思,教师不要怕在这里浪费时间.然后再引导学生细心观察公式C-的结构特征,与学生一起归纳发现:公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了.结合推导过程及公式特征进行记忆.对于公式的正用是比较容易的,有时要用到“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧,可在练习运用中得以掌握提高.如:cos75cos45+sin75sin45=cos(75-45)=cos30=,cos=cos(+)-=cos(+)cos

10、+sin(+)sin等通过讲结合练，启发引导，让学生学习总结。应用举例例1 利用差角余弦公式求cos15的值.分析:思考题目中的角15,它可以拆分为哪些特殊角的差,如:15=45-30或者15=60-45,从而就可以直接应用公式C-计算求值.解:方法一:cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=方法二:cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45=.例2 计算:(1)cos(-15);(2)cos15cos105+sin15sin105;(3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y).分析:教师完全可以放给学生自己探

11、究,点拨学生分析题目中的角-15,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15=15-30或-15=45-60等,当然也可以先变形,即cos(-15)=cos15,然后应用公式再求值.解:(1)原式=cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=.(2)原式=cos(15-105)=cos(-90)=cos90=0.(3)原式=cosx-(x+y)=cos(-y)=cosy.例3 已知cos=,cos(+)=,且,(0,),求cos的值.分析:如何用,+表示,观察到:=(+)-的关系式,注意由,的取值范围求出+的取值范围,从而判断sin(+)的符号.解:,(0,),

12、+(0,).又cos=,cos(+)=,sin=,sin(+)=.又=(+)-,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=()+=先让学生自己探究,教师可对有困难的学生点拨指导, ,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构.公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.变式训练1.不查表求sin75,sin15的值.解:sin75=cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=.sin15=cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=.2.不查表求值:cos110cos20+sin110s

13、in20.解:原式=cos(110-20)=cos90=0.3.知sin+sin=,cos+cos=,求cos(-)的值.解:(sin+sin)2=()2,(cos+cos)2=()2,以上两式展开两边分别相加,得2+2cos(-)=1,cos(-)=-.4.锐角,满足cos=,tan(-)=-,求cos.解:为锐角,且cos=,sin=.又0,0,-.又tan(-)=-0,cos(-)=.从而sin(-)=tan(-)cos(-)=-.cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=.学生只要细心分析,利用相关的诱导公式，教师加以引导养了学生思维的灵活性,发散性。课 堂小 结

14、1.先由学生自己回顾本节课公式的探究过程与方法,然后教师引导学生进一步整合:怎么联系有关知识进行探索的？在探索方法方面有什么启示？在利用差角余弦公式方面:对公式结构和作用的认识,三角式变形的特点及变形过程的感悟.2.教师画龙点睛:本节课我们探究了两角差的余弦公式,要求正确灵活地运用公式进行解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.尽可能地一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达优化解题过程,规范解题步骤,领悟变形思路,强化数学思想方法之目的.及时对本节课作出小结，巩固所学知识。布 置作 业课本习题31 A组1、2(1)(2)(3)(4).通过布置课外作业，使得所讲知识点能有效落实。