数学的三股推动力量数学内部的矛盾 .doc

1、数学的三股推动力量数学内部的矛盾 整个数学的发展史就是一部矛盾斗争的历史。数学内部的矛盾是推动数学长河滚滚向前的主要力量之一。数学以现实世界的空间形式和数量关系作为自己研究的对家，为了在纯粹形态上研究这些形式和关系，就必须和现实世界的内容割裂开来。但是，离开内容的形式和关系是不存在的。因此，数学按它的本质企图实现这种割裂，是企图实现一种不可能的事情。这是在数学本质中的根本矛盾，它是认识的普遍矛盾在数学方面的特殊表现。在越来越接近现实的各个认识阶段上，不断解决和重复上述矛盾，数学就不断地前进、发展，由简单到复杂，由低级向高级。人类最早认识的是自然数，引进零和负数就经过了斗争：要么引进这些数，要么

2、大量的数的减法就行不通。同样，引进分数使乘法有了逆运算除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题：是否所有的量都能够用有理数来表示?发现无理数并最终使得第一次数学危机的解决，促使了逻辑的发展和几何学的系统化。方程解的问题导致虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”，可是这种不实的数却解决了实数所不能解决的问题，从而为自己争得了存在的权利。数学就是这样在矛盾斗争中发展的。几何学从欧几里得几何的一统天下发展到多种几何，也是如此。在19世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、开方求出根来;古希腊几何三大问题不能通过圆规和直尺作图来

3、解决等等。这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这些发现给有关学科带来了极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。例如，代数学从此以后向抽象代数的方面发展，而求解方程的根也变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性，都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。由无穷小量的矛盾引起的第二次数学危机，反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。第三次数学危机涉及集合论和数理逻辑，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学脱离无穷集合就寸步难行。一种极端的观点是只考虑有限集合或至多是可数的集合，不过

4、这样一来绝大部分数学将不复存在。即使这些有限数学的内容也有许多要涉及无穷的方法，有很多的数学证明都要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。借助于计算机完成的四色定理的证明，首先也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形。对于无穷，计算机也是无能为力的。可见数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾，可以说它是数学矛盾的根源之一。数学中也一直贯穿着应用上清楚与逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用，而比较注意严密的数学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致，矛盾才能解决。例如，算符演算及δ函数，开始是形式演算，任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。微积分的应用与极限论的

5、建立更是众所周知的。在数学史中，一直存在着经常起作用的两种重要趋势：一种是学科不断分化的趋势，另一种是学科不断综合的趋势。这两种矛盾的趋势的辨证运动，表现为一个否定之否定的过程。自然界作为一个无限多样性的统一整体，通过感觉和知觉进入人类的意识。古时候，数学是在总体的数和形的关系上把握自然界的，算术、代数、几何没有彼此分开，任何一本数学名著都包括了这三方面的内容，并且把它们溶化在一起。因此，古代的数学本质上是一种感性直观的关于数和理的综合的科学。从17世纪产生解析几何和微积分以后，学科分化的趋势一直居于主导地位。单一的未经分化的学科向许多专门分支学科发展，每一门学科所研究的又都是具体完整的数学中

6、数与形的某一个方面。这种不断分化，到19世纪下半叶达到了相当精细的程度，代数、几何、分析等学科已经形成了各自不同的研究领域，特别是分析领域的发展更是蓬蓬勃勃。每个学科都可以互不联系地单独向前发展，各学科在理论、语言、方法等方面可以互不相通，根本谈不上统一的数学的图景。从1872年克莱因用“群”的观点统一各种几何开始，到康托尔建立集合论和公理化运动，越来越分化的数学走向综合的趋势逐渐明显。到20世纪初，数学学科的分化和综合都明显加快了。从20年代起，特别是第二次世界大战后，综合的趋势已占主导地位。学科的继续分化实际上已经是综合趋势的一种表现形式，因为新学科的不断出现正在越来越消除各学科之间的传统

7、界限。对于数和形的深入认识，更多地采用多学科的方法的综合认识形式。因此，各门学科更加紧密地联系起来。现代数学发展的辨证法就是这样的，越是理解了整体的各个方面，就越是接近于综合地把握整体。观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特

8、征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深

9、刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民

10、间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。也许将来会出现一种公认的新观点，把目前的数学统一起来。但是，这种统一只是暂时的、相对的。随着生产和科技的发展，又会产生新的问题，形成新的分支，促进新的分化。数学将在这种不断的分化和综合中不断前进。一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）春秋谷梁传疏曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。韩非子也有云：“今有不才之子师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。