河北省石家庄市第一中学高一下学期数学教案：1.2　应用举例 .doc

1、教材章节：12 课题：解斜三角形应用举例教学目标：1知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度等实际问题，了解常用的测量相关术语2过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题对于教材中例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正3情感、态度与价值观：激发学生学习数学的兴

2、趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力重 点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解难 点：根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程：请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背

3、景下，某些方法会不能实施如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离解斜三角形应用中的几个概念：1（1）仰角、俯角（水平线与视线所成的角） 为仰角 为俯角 （2）水平距离、垂直距离、坡面距离（3）坡度、坡角 为坡角（4）方向角、方位角方向角：南北方向线与目标方向线之间小于的夹角（水平夹角），多用“南偏西50，北偏东24”等表示方位角：从某点开始的指北方向线，按顺时针转到目标方向线为止的水平夹角如图，B相对于A的方位角为220应用举例1测量距离

4、的问题：例1如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，求两点间的距离（精确到01m）解：由正弦定理可得例2右图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），请你设计一种测量A、B两点间距离的方法分析：由例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出的大小，借助余弦定理可以计算出A、B两点间的距离解：在河岸边选定两点C、D，测得，并且在C、D两点分别测得，在和中，应用正弦定理可得：；，在中，由余弦定理可得：例3（09宁夏海南卷）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，于

5、A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求的余弦值解：作交BE于N，交CF于M ， ， 在中，由余弦定理，例4（09宁夏海南卷理）为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤解：方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角；B点到M、N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） 第一步：计算AM，由正弦定理； 第二步：计算AN，由正弦定理； 第三步：计算MN，由余弦定理方案

6、二：需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示） 第一步：计算BM，由正弦定理；第二步：计算BN，由正弦定理； 第三步：计算MN，由余弦定理解题思路总结：应用数学方法解决实际问题的步骤：读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形的模型；选择正弦定理和余弦定理求出三角形的解；将三角形的解还原为实际问题的解（注意实际问题中的单位和近似计算的要求）图示：小结：运用正弦定理和余弦定理测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”和“两个不可到达点间的距离”的基本方法，及这两类测量距

7、离的题型间的联系和区别熟练掌握用数学方法解决实际问题的基本方法和步骤练习：1（09辽宁卷文）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到001km，1414，2449）wwwks5ucom 解：在ABC中，DAC=30， ADC=60DAC=30，所以CD=AC=01 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在ABC中，即AB=因此，故B，D的距离约为033

8、km2测量高度的问题：例1AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点设计一种测量建筑无高度AB的方法解：选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上由在H，G两点用测角仪器测得A的仰角分别为，测角仪器的高度为在中，在中，由正弦定理可得：在中，例2在某建筑物顶部有一铁塔，在铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得A处的俯角已知铁塔BC部分高为30m，求出此建筑物的高度CD（精确到）解：由已知条件可知，在中，由正弦定理可得：，在直角中，所以，山的高度约为米例3一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在

9、西偏北的方向上，仰角为，求此山的高度CD解：在中，由正弦定理，即所以，山的高度约为1047米例4（07宁夏海南）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高解：在中，由正弦定理得所以在中，小结：由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路，此类涉及到三角形的实际问题，我们可以把它抽象为解三角形的问题进行解答，之后再还原成实际问题3测量角度的问题：例1一艘海伦从A出发，沿北偏东的方向航行675n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行540n mile后到达海岛C如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需

10、航行多少距离？（角度精确到，距离精确到n mile）解：在中，由余弦定理又由正弦定理，即 所以，此船应该沿北偏东的方向航行，需要航行 mile例2（07山东）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西的方向处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里?解：如图，连结，是等边三角形，在中，由余弦定理得，因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里例3（08湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点E正北55海里处有一个雷达观

11、测站A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+（其中，）且与点A相距10海里的位置C（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（II）若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由解：（I）如图，AB=40，AC=10，由于，所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）（II）解法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）， C（x1，y2），BC与x轴的交点为D由题设有，x1=y1= AB=40，x2=ACcos，y2=ACsin所以过点

12、B、C的直线l的斜率k=，直线l的方程为y=2x-40又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域解法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q在ABC中，由余弦定理得，=从而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=5540=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离在Rt中，PE=QEsin=所以船会进入警戒水域练习：1一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从城市A出发向城市B飞行，后，飞机由于天气原因按指令改飞另一个城市C如下图所示，已知，问收到命令时，飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？（角度精

13、确到，距离精确到）解：设飞机在E处改变航向，要求改变航向后只需求出，则航向为南偏西，这需在中使用正弦定理或余弦定理求解，故需求解与的长连结，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得 .在中，由余弦定理可得在中，由余弦定理可知 所以飞机应该按南偏西方向飞行，此时离城市C的距离为96小结：对于与角度有关的实际问题，我们无法直接测量其角度，则需要在实际问题中构造相关三角形，通过解三角形求出相关的角度4三角恒等式证明问题：例1在中，求证：（1）； （2）证明：（1）由正弦定理，可设，显然，左边右边（2）由余弦定理推论可得：右边 右边例2的三边分别为，边上的中线分别为求证：；证明：由余弦定理可得同理

14、可得 5三角形面积公式：（1）；（2）；（3）；（其中R为三角形外接圆的半径）（4）；（5）（海伦公式，其中）（6）（其中为内切圆半径）；例1（见教材P17例8）在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到01）解：如右图，设，所以所以由可得所以，这个区域的面积约为例2（08辽宁卷17）在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积解：（）由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得 联立方程组解得， （）由题意得，即， 当时，当时，得，由正弦定理

15、得，联立方程组解得，所以的面积例3（09浙江理）在中，角所对的边分别为，且满足，（I）求的面积； （II）若，求的值解：（I）因为，又由，得，（II）对于，又，或，由余弦定理得，例4（09北京理）在中，角的对边分别为，（）求的值；（）求的面积.解：（）A、B、C为ABC的内角，且，.（）由（）知，又，在ABC中，由正弦定理，得.ABC的面积.例5在中，内角对边的边长分别是，已知，的面积为，求边解：可化为：，整理：法一：由正弦定理得：，即，法二：由余弦定理：，整理得：，即，以下同法一例6（08江苏）若，则的最大值 解：设，则，根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=由三角形三边关系有解得，故当时取得最大值