河北省石家庄市第一中学高二人教版数学必修五教案：2.doc

1、教学过程：一、导入新课1讲述高斯求到100之和的故事2问题：请同学们回答高斯算法的思路依据3问题：到100这100个数恰好是正整数这个等差数列的前100项，那么这种求和的方法是否具有普遍性？对一般的等差数列是否都可以按此方法求其前项的和呢？二、讲授新课1推导等差数列的前项和公式（倒序求和法）： （1）定义：（2）公式：相加， 知道首项、末项和项数，即可求又， 知道首项、公差和项数，即可求2公式：公式一：公式二：说明：（1）注意以上公式是表示从等差数列第一项起至第项的连续有限项的和，其实对于等差数列的任意项起的连续有限项的和都可以用以上公式求，只是注意首项和项数的变化（2）公式一反映的是等差数列

2、中项与项的关系；公式二反映的是等差数列中项数与项的函数关系，显然前项和是项数的没有常数项的二次函数，即（3）公式中各含有4个元素：与，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量（4）利用函数观点研究： 当时，为二次函数，且无常数项 当时，有最小值； 题型：求的最值 当时，有最大值3等差数列的前项和的性质：（1）仍成等差，且公差为；（2）若项数为，则与中项数相等，且； 若项数为，则；，； 练习：已知项数为奇数的等差数列，求11（3）等差（须证明） 应用见例7练习4应用举例：（1）五个量知三求二例课本P43例1例2课本P44例2例3等差数列中，求公

3、差和项数解：选择公式 ， 例4课本P44例3例5课本P45例4说明：由例5可以知道等差数列前项和是项数的没有常数项的二次函数，即进一步可以让学生研究如果一个数列的前项和公式是，那么这个数列是不是等差数列？如果不是，那么在什么情况下才是等差数列？例6（1）已知在等差数列中，求：的值解：，又，（2）已知在等差数列中，求：的值解：，又，（3）已知数列，求其前项和的最小值解：由已知知此数列是等差数列，且，（2）证明等差数列问题例7求证：为等差数列其前n项和证明：（）已知， 当时， 当时，且符合上式 ， （非零常数） 为公差非零的等差数列（）已知为公差非零的等差数列，不妨设首项为，公差为 则，令， 综上

4、可知，结论成立练习：证明：若数列为等差数列成等差证明： 数列为等差数列 ， ，得证（3）综合问题例8等差数列中，为前项和，问此数列前多少项的和最大？方法一：由 即 得，且，又 数列为减数列 当时，最大，且方法二：（由为二次函数，对进行配方n取最接近对称轴的正整数时，最大）由 得 又 ，得 当时，最大，且方法三：同方法二，得 令 时，最大，且方法四：图象法 由，知对称轴为所以最大小结：（I）等差数列的单调性的应用：（1）当时，有最大值，n是不等式的正整数解时取得；（2）当时，有最大值，n是不等式的正整数解时取得（II）当数列中有某项值为0时，应有两解例9在等差数列中，（1）求公差的范围；（2）问

5、中哪个值最大？解：（1）由题意得 解之得，（2） 为开口向下的二次函数 方案1：利用函数求最值 对称轴为， 时， 最大 方案2：利用数列的单调性 前6项和最大66.51213 方案3：利用函数图象（适用于选择填空） 的根为0，且 对称轴为 6离对称轴较近，所以最大例10等差数列和的前项和分别为之比为，求及解：方法一：同理（只适用于上下角标相同的）方法二：设 （通法） ， ；结论：等差数列和的前项和分别为，则变式：等差数列和的前项和分别为之比为，求解：设 ， 上下角标不同时，但是例11等差数列中，求数列的前项和为解：由题意，得解得：令，得当时，；当时，例12（1）等差数列前项和为30，且前项和为

6、100，求其前项和（2）有一个项数为的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比（3）等差数列前12项之和为354，其中奇数项之和与偶数项之和的比为27：32，求公差（4）已知等差数列，求（5）等差数列前项和为，求解：（1）30，10030，100等差，所以，前项和为210 另解：由，得，即，即可 （2）奇数项有个，偶数项个 ，所以 结论：在等差数列中，有 （3），又或用基本量计算 （4）由已知得，利用或（5）方法一：用基本量（整体代换） 两式作差 即 ，方法二：利用等差，得三点共线，斜率相等即可得到三、归纳总结1知识总结：（1）本节介绍了一种求数列前项和的方法倒序求和法（2）等差数列前项和公式：，2方法总结：（1）要会根据公式列方程求等差数列的基本元素；（2）学会灵活应用等差数列的性质解题；（3）会应用函数思想研究数列问题四、作业及练习：