6.8 相似三角形的常见模型【八大题型】（举一反三）（苏科版）（学生版）.docx

1、专题6.8 相似三角形的常见模型【八大题型】【苏科版】【题型1 A字型】2【题型2 “8”字形】3【题型3 AX字型】4【题型4 子母型】6【题型5 三角形内接矩形型】8【题型6 双垂直型】9【题型7 手拉手型】11【题型8 一线三角型】13【基本模型】如图，在中，点D在上，点E在上，则，模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； 模型拓展2： 如图，ACDBADCACB【题型1 A字型】【例1】（2022湖南永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_【变式1-1】（

2、2022江苏常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，ABD中，A90，AB6cm，AD12cm某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts（1）求t为何值时，AMN的面积是ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与ABD相似时，求t值【变式1-2】（2022全国九年级专题练习）有一块直角三角形木板，B90，AB1.5m，BC2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）

3、【变式1-3】（2022云南楚雄九年级期末）直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）ABCD【基本模型】如图1，ABCDAOBCOD；如图2，ADAOBDOC 模型拓展：如图，ACAJBCJD【题型2 “8”字形】【例2】（2022全国九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F若AEF 的面积为2，则ABC的面积为( )A8B10C12D14【变式2-1】（2022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，BC

4、6，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，CBP的平分线交CE于点Q，当CQCE时，EP+BP的值为（）A9B12C18D24【变式2-2】（2022吉林长春市赫行实验学校二模）如图，在中，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长【变式2-3】（2022陕西渭南九年级阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点求的值【基本模型】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【题型3 AX字型】【例3】（2022河南新乡九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF2FD，则的值为（）ABCD【变式3-1】（2022河

5、北石家庄九年级期末）已知中，（如图）以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点若，求的长；作，垂足为，求证：【变式3-3】（2022湖南株洲九年级期末）如图（1）所示：等边ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1AC于C1交AB的延长线于B1（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断（3）如图（2）所示RtABC中，ACB90，AC8，BC，DEAC交AB于点E，试求的值【基本模型】如图为斜“A”字型基本图形当时，则有如图

6、所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型当时，则有【题型4 子母型】【例4】（2022重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在中，则CD的长为_【变式4-1】（2022辽宁阜新市第四中学九年级阶段练习）已知：如图1，中，是的角平分线，求证：与互为母子三角形（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形求的值【变式4-2】（2022辽宁鞍山二模）在ABC中，ABC2ACB，BD平分ABC交AC于点D（1）如图（1），若AB3，AC5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F求证：ABCEAF

7、；求的值【变式4-3】（2022北京市第一五六中学九年级期中）如图，中，点分别是的中点，与点（1）求证：；（2）求的大小；（3）若，求的面积【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AHGF，AGFABC，【题型5 三角形内接矩形型】【例5】（2022秋南岗区校级月考）如图1，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上（1）求正方形DEFG的边长；（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= 【变式5-1】（2022秋道里区期末）如图，正方形EFGH内接于ABC，ADBC于点D，交EH于点M，BC

8、10cm，AD20cm求正方形EFGH的边长【变式5-2】（2022秋八步区期中）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）【变式5-3】（2022秋渭滨区期末）（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P，求证：；（2） 如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证

9、MN2=DMEN【基本模型】如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即ACDABCCBD.常见的结论有：CA2ADAB，BC2BDBA，CD2DADB.拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型 【题型6 双垂直型】【例6】（2022秋青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，ADBC，B90，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(A、B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD3，BC5，则EF的长是（ ）A. B2 C. D2【变式6-1】（2022秋杜尔伯特县期末）如图所示

10、，在ABC中，ABC90，BDAC，DEBC，垂足分别为D、E两点，则图中与ABC相似的三角形有（）A4个B3个C2个D1个【变式6-2】如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB上，且（1）求证 ACDABC；（2）若AD3，BD2，求CD的长【变式6-3】（2022秋汝州市校级月考）中，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长【基本模型】如图，若ABCADE，则ABDACE.来源:Zxxk.Com如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应

11、点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似如图所示，则，且【题型7 手拉手型】【例7】（2022春江阴市期中）如图，在ABC与ADE中，ACBAED90，ABCADE，连接BD、CE，若AC：BC3：4，则BD：CE为（）A5：3B4：3C5：2D2：3【变式7-1】（2022秋岳阳县期中）在ABC中，ABAC，BAC，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，DC（1）如图1，当60时，求证：PADC；（2）如图2，当120时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由（3）当120时，若AB6，BP，请直接写

12、出点D到CP的距离【变式7-2】（2022秋炎陵县期末）如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，（1）求证：；（2）求的度数及的长；（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、，作出图象，求的长【变式7-3】（2022春栖霞市期末）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，点M、N分别在直线BC、DC上（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，求EF的长【基本模型】(1)“三

13、垂直”模型：如图1，BDACE90，则ABCCDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，BACED，则ABCCDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则ACEABCCDE. 补充：其他常见的一线三等角图形 【题型8 一线三角型】【例8】（2022秋灌云县期末）【感知】如图，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），易证（不需要证明）【探究】如图，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），若，求AP的长【拓展】如图，在中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长【变式8-1】（2022雨城区

14、校级开学）如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD60，2BP3CD，BP1（1）求证ABPPCD；（2）求ABC的边长【变式8-2】（2022秋渝中区期末）如图，在矩形ABCD中，CD4，E是BC的中点，连接AE，tanAEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（）A或B或C或D或【变式8-3】（2022秋椒江区校级月考）【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G（1）求证：【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H若，求线段DE的长【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，求的值（用含k的代数式表示）