2012年高考第一轮总复习精品导学课件：9.5空间向量及其运算.ppt

1、第九章 直线、平面、简单几何体第讲1考点搜索空间向量的加法、减法与数乘空间向量基本定理，以及共线、共面向量定理空间向量的数量积及其运算性质高考高考猜想1.空间向量的基本运算.2.运用向量方法解决共点、共线、共面以及平行、垂直、夹角、距离等问题.21.空间向量：在空间，我们把具有_和_ 的量叫做向量，空间向量也用_表示，并且 _ 的有向线段表示同一向量或相等的向量.2.空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法，减法与数乘向量为：=_，=_,=_(R).大小方向有向线段方向相同且长度相等a+ba33.空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律：(1)加法交换律：_；(2)加法

2、结合律：_；(3)数乘分配律：_.a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)=a+b44.如果表示空间向量的有向线段所在的直线 _,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b,记作ab.5.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使_.相互平行或重合a=b5推论:如果直线l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式,其中向量a叫做直线l的方向向量.6.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y使p=_.推论:空间一点P位于平面MAB内

3、的充要条件是存在有序实数对x,y,使=_.xa+yb67.空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使p=.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使 =_.8.已知空间两个向量a，b，则a，b的数量积为：ab=_,其中a,b表示向量a,b的_，其范围为_.xa+yb+zc|a|b|cosa,b夹角0,79.空间向量的数量积有如下性质：(e为单位向量)(1)ae=_;(2)ab_;(3)|a|2=_.10.空间向量满足如下运算律：(1)(a)b=_；(2)ab=_;(3)a(b+c

4、)=_.|a|cosa,eab=0aa(ab)baab+ac81.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是()A.a+b，b-a，a B.a+b，b-a，bC.a+b，b-a，c D.a+b+c，a+b，c解：由已知及向量共面定理，易得a+b，b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底,故选C.C92.在平行六面体ABCD-ABCD中，向量、是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解：因为，所以、共面.C103.已知四边形ABCD中，=a-2c，=5a+6b-8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则 =.解：因为，又，两式相加，得3a+3b-5c1

5、1因为E是AC的中点，故 .同理，.所以 =6a+6b-10c,所以 =3a+3b-5c.121.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，求证：证明：因为平行六面体的六个面都是平行四边形，所以，题型1 向量关系的化简与证明13所以点评：向量的化简与证明实际上就是转化为向量的加减运算及其逆运算，利用向量的合并或分解进行转化，以求得结果.14在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列表达式：(1)；(2).解：(1)原式=(2)原式=152.在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，M分所成的比为，N分A1D所成的比为2.设=a，=b，AA1=c，试用a，b，c表示 .解：如图，连结AN

6、，则 .由已知四边形ABCD是平行四边形，故 =a+b.又题型2 向量的基底表示16由已知N分所成的比为2，故于是，点评：空间向量的基底一般是取共起点的三个不共面的向量，其他向量都可转化为这三个向量的代数和形式.注意向量的方向性及加减运算.17设P是正方形ABCD所在平面外一点，O为正方形ABCD的中心，Q是CD的中点.(1)用基向量、表示向量 ;(2)用基向量、表示向量 .18解：(1)(2)因为，所以 .又因为，所以 .从而有.19已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB=OC，求证：PMQN.证法1：因为所以所以故PMQN.题型3

7、空间向量的初步应用20证法2：所以PMQN.点评：空间向量是解决立体几何问题的一种工具.本题就是利用向量的垂直关系来证直线的垂直关系，而证空间向量的垂直，一般先将两向量转化为基向量的形式(基底一般是取题中已知条件中出现过的直线上的向量)，然后计算两向量的数量积.21如图，平行六面体AC1中，AE=3EA1，AF=FD，AG=GB，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求APPC1的值.解：设因为22所以又因为E、F、G、P四点共面，所以所以,所以APPC1=316.23 1.如左下图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1BD的重心，求证：A、M、C1三点共线.证明：如右上图,

8、连结A1M并延长交BD于E点.题型共线问题的判定与证明24因为M为A1BD的重心，所以E为BD的中点，连结AE.所以故向量AM与AC1共线，即A、M、C1三点共线.252.求证：平行六面体的四条对角线相交于一点，并且在交点处互相平分.证明：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设O、P、M、N分别是对角线AC1、BD1、A1C、B1D的中点，题型共点问题的判定与证明26则同理可证，所以O、P、M、N四点重合.故四条对角线相交于一点，且在交点处互相平分.271.空间向量是平面向量的推广，空间向量的加法、减法和数乘向量运算，与平面向量的运算法则一致.2.空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有

9、向线段表示，因此，空间两个向量的加法与减法运算，实质上是两个平面向量的加法与减法运算.283.空间共线向量与平面共线向量的概念是相通的，共线向量定理也完全一致.空间共面向量定理是平面向量基本定理的变通.空间向量基本定理是平面向量基本定理的扩展.这些定理源于平面向量的加法、减法与数乘向量运算，是沟通向量之间内在联系的重要依据.294.空间直线的向量参数表示式：是一个以向量形式表示的直线方程，直线l上的点P和实数t之间是一一对应的关系.若取a=，则向量式表示P、A、B三点共线.5.向量的基底表示是向量运算的一个重点.利用三角形法则和平行四边形法则，将一个向量分解成两个向量的和或差，经过若干次分解，就能得出向量的基底表示.30