2012年高考第一轮总复习精品导学课件：12.1数学归纳法及其应用（第1课时）.ppt

1、第十二章极限与导数第讲（第一课时）1考 点搜 索归纳法和数学归纳法的含义与作用数学归纳法的证题步骤，及各步骤的作用高高 考猜 想1.利用数学归纳法证明数列背景下的有关问题.2.利用“归纳猜想证明”探索有关结论.21.从一系列有限的得出的推理方法，叫做归纳法.2.对一个与正整数n有关的命题：第一步：验证当n取时命题成立；第二步：假设当时命题成立，证明当时命题也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.特殊事例一般结论第一个值n0n=k(kN*，kn0)n=k+1 n033.数学归纳法需要完成两个步骤的证明，缺一不可.其中第一步是奠基步

2、骤，是的基础；第二步反映了无限递推关系，即命题的正确性具有.若只有第一步，而无第二步，则只是证明了命题在特殊情况下的正确性；若只有第二步，而无第一步，那么假设n=k时命题成立就没有根据，递推无法进行.递推归纳传递性41.设那么f(n+1)-f(n)等于()D5解：62.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2解：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原(n-2)个顶点连成的(n-2)条对角线，及原先的一条边成了对角线.故选C.C7题型1 用数学归纳法证明恒等式、不等式1.设

3、nN*，求证：证明：(1)当n=1时，左边=右边所以等式成立.(2)假设n=k(kN*)时等式成立，即8则当n=k+1时，所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)(2)知，对一切正整数n等式都成立.9点评：运用数学归纳法证明恒等式(不等式)的要点是“两步一结论”，即第一步先验证初始结论；第二步是先假设n=k时命题成立，再由n=k时的命题作条件，推导n=k+1时结论也成立；一结论是指最后归纳前面两个步骤，得出原结论是成立的.10所以当n=k+1时，不等式也成立.综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数,不等式都成立.111213题型2 用数学归纳法证明整除性问题2.设a为实常数，nN*，证明:

4、an+2+(a+1)2n+1能被a2+a+1整除.证明：(1)当n=1时，a3+(a+1)3=(2a+1)a2-a(a+1)+(a+1)2=(2a+1)(a2+a+1).它能被a2+a+1整除，所以n=1时命题成立.(2)假设当n=k时，ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，ak+3+(a+1)2k+314=aa k+2+(a+1)2k+1+(a+1)2k+3-a(a+1)2k+1=aak+2+(a+1)2k+1+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因为ak+2+(a+1)2k+1与a2+a+1都能被a2+a+1整除，所以上面的和也能被a2+a+1整除.即当n=k

5、+1时，ak+3+(a+1)2k+3能被a2+a+1整除.综合(1)(2)知，命题对任何nN*都成立.15点评：用数学归纳法证明整除问题的关键是第二步的配凑变形，即把n=k+1的命题形式通过添项配凑成n=k时的结论加除式的倍式的形式.16已知f(n)=(2n+7)3n+9，是否存在自然数m，使对任意nN*，都有m整除f(n)？如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；如果不存在，说明理由.解：由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，f(4)=1224，猜想f(n)被36整除.证明：(1)当n=1时，猜想显然成立.(2)假设当n=k时，f(k)能被36整除，即(2k+7)3k+9能

6、被36整除.则当n=k+1时，17f(k+1)=2(k+1)+73k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1).由假设知3(2k+7)3k+9能被36整除，而3k-1-1是偶数，所以18(3k-1-1)能被36整除，从而f(k+1)能被36整除.综合(1)(2)知，对任意nN*，f(n)能被36整除.由于f(1)=36，故36是整除f(n)的自然数m的最大值.18平面内有n个圆，其中每两个圆都相交，任何三个圆都无公共点，证明：这n个圆把平面分成n2-n+2个区域.证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12-1+2=2，所以命题成立.(2)假设当n=k时命题成立，即k个

7、圆把平面分成k2-k+2个区域.题型用数学归纳法证明几何命题参考题19则当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆共有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，其中每段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此共增加了2k个区域.所以这k+1个圆把平面分成k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域，即当n=k+1时命题也成立.综合(1)(2)知，对任意nN*，命题都成立.201.数学归纳法的第一步有时要验证从n0开始的多个正整数命题成立，这主要取决于从k到k+1的奠基是什么数.如果假设当n=k时命题成立，并要求当km时才能得出n=k+1时命题也成立，则第一步必须验证从n0到m的各

8、个正整数命题都成立.2.第二步的证明必须运用“归纳假设”作为证明n=k+1时命题成立的条件，否则就不是数学归纳法了.213.“归纳假设”可以是一个式子(等式或不等式)，也可以是一段具有数学意义的数学语言，有时需要对它作适当变通，而不是机械地套用.4.如果命题是对正奇数(或正偶数)成立，则假设n=k时命题成立后，要证明n=k+2时也命题成立.若第(1)步证明n=1和n=2时命题成立，22第(2)步假设n=k时命题成立，证明n=k+2时命题也成立，则对任何正整数n命题都成立.5.数学归纳法第二步证明中，有时直接利用归纳假设，再推出n=k+1时命题成立，有时要通过适当变形配凑出归纳假设，再作进一步推理，这是数学归纳法应用中的一个难点.23