数学精华学案：正余弦函数的图像和性质.doc

1、请老师分享山西高中试卷、试题、教案、课件、学案、素材等各类稿件！1.4 正余弦函数的图像和性质一、导学目标1理解并掌握利用单位圆作正弦函数和余弦函数图象的方法；2理解并熟练掌握用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图的方法，并利用图象解决一些有关问题；3掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期；4掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间二、尝试练习（一）知识探究 1用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数 函数y=sinx的图象第一步：在直

2、角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把轴上从到这一段分成(这里)等份.第二步：在单位圆中画出对应于角，,，的正弦线（等价于“列表” ）.把角的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与轴上相应的点重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2的图象根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着轴向右、向左连续地平行移动（每次移动个单位长度），就得到y=sinx，xR的图象. 把角的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与轴上相应的点重合

3、，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. 余弦函数y=cosx的图象 探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图像变换得到余弦函数的图象？根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移个单位长度即得余弦函数y=cosx的图象. 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：探究2：作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0)， (,1)， (p,0) ，(,-1)， (2p,0)探究3： y=cosx，xR与函数y

4、=sin(x+) ，xR的图象相同； 将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象；yxo1-1 也同样可用五点法作余弦曲线： 余弦函数y=cosx，x0,2p的五个关键点是：(0,1) ，(,0)， (p,-1)， (,0)， (2p,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握“五点（画图）法”的优点是方便，缺点是精确度不高（二）知识升华1定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或(，)2值域：正弦函数、余弦函数的值域都是 （）其中正弦函数y=sinx,xR， 当且仅当x 时，取得最大值 ； 当且仅当x

5、 时，取得最小值 （）而余弦函数ycosx，xR， 当且仅当x ，kZ时，取得最大值 ； 当且仅当x ，kZ时，取得最小值 3奇偶性：（）正弦曲线关于 对称,余弦曲线关于 对称，所以函数ysinxx,xR为 函数，ycosxx,xR为 函数（）y=sinx的对称轴为x=，kZ， y=cosx的对称轴为x=，kZ；y=sinx的对称中心为x=，kZ ，y=cosx的对称中心为x=，kZ4单调性：（）正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.（）余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，

6、其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.5周期性： （）（观察图象）正弦函数性质如下：1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2 规律是：每隔2p重复出现一次（或者说每隔2kp,kZ重复出现）；3 这个规律由诱导公式sin(2kp+x)=sinx可以说明.结论：象这样的函数叫做周期函数.文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得。符号语言：当增加（）时，总有也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意，恒成立.余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为函数的周期性.（） 周期函数定义：对于函数f (x

7、)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？ （3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？ （是，其原因为：）说明： （1）周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T0则定义域无上界；T0则定义域无下界； （2）“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）； （3）T往往是多值的（如y=sinx，2p,4p,-2p,-4p,都是周期）周期T

8、中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）；一般结论：函数及函数，的周期.（三）我也能行1画出函数，的简图，并回答下列问题. 在上的解集为 . 在上的解集为 . 在上的解为 .2求使函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并分别写出最大值、最小值是什么3（2010湖北文2）函数 =，的最小正周期为 （ ）A B C D4(2006北京文2)函数y=1+cosx的图象 （ ） A关于x轴对称 B关于y轴对称 C关于原点对称 D关于直线x=对称5函数的周期是，对称轴是，对称中心是，单调递增区间是三、精点精评【例1】 函数y3sin(2x)在什么区间是减函数？当时，求该函数的

9、单调递减区间【例2】 函数y=|sinx|的周期是 yxo1-1p2p3p-p【解析】 作出函数y=|sinx|的简图（如下图所示），由图可知函数的周期是.四、直击高考1（2006辽宁文1） 函数的最小正周期是（） 2函数ysin（2x）图象的一条对称轴方程是 ( )Ax Bx Cx Dx3（2007福建文5）函数的图象 （）关于点对称 关于直线对称关于点对称 关于直线对称4（2009浙江理8）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图像不可能是 ( )5(2004天津文10) 函数为增函数的区间是 ( )A. B. C. D. 6（2009四川理4）已知函数，下面结论错误的是 ( )A函数的最小正周期为 B函数在区间上是增函数C函数的图像关于直线对称 D函数是奇函数7（2007全国II文3）函数的一个单调增区间是 （ ）A B CD8（2006湖南文3）设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是A 2 B C D 9（2008江苏1）最小正周期为，其中，则 10 心得与体会w.w.w.k.s.5.u.c.o.m