河北省石家庄市第二中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）.doc

1、河北省石家庄市第二中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）第卷（选择题共60分）一、单项选择题（每小题5分，共40分下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式可得，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集运算，属于基础题.2. 若函数的图象与直线一个交点的坐标为，则( )A. B. 1C. D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】由已知可得，代入，利用诱导公式化简求值【详解】解：由题意，故选：B【点睛】本题

2、考查诱导公式的应用，是基础题3. 沙漏是古代一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm，体积为的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A. 3cmB. 6cmC. 8cmD. 9cm【答案】B【解析】【分析】已知圆锥体积和底面圆锥直径，代入公式可求其高.【详解】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6，设高为h，则，故选：B【点睛】考查圆锥体积公式的应用，基础题.4.

3、 已知向量，若，则实数（ ）A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】根据已知向量坐标，将应用坐标表示，由知，结合数量积的坐标公式求参数值【详解】向量，又，即，解得故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示求参数，根据向量垂直，由数量积的坐标公式列方程求参数5. 设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是( )A. 若m,n,则mnB. 若m,n,m,n,则C. 若，m,则mD. 若，m，m,则m【答案】D【解析】【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，C选项再

4、加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，D选项中由，m，m，可得m，故是正确命题，故选D6. 函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是A. 函数最小正周期是B. 函数的图象关于点成中心对称C. 函数在单调递增D. 函数的图象向右平移后关于原点成中心对称【答案】B【解析】【分析】根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案【详解】根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，所以的最小正周期， 不妨令，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，当时，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称故选B【点睛

5、】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题7. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当(且p)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2020项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】按照为偶数、为奇数分类，再结合等比数列的前n项和公式即可得解.【详解】当为偶数时，；当为奇数时，；所以数列的前2020项和.故选：A

6、.【点睛】本题考查了数学文化及等比数列前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.8. 若函数是增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出时解析式为，式其在单调递增，所以，再结合时最大值，即可求出的取值范围.【详解】由题知，当时，所以， 要使单调递增，只需且，则且，即且，故故选：B【点睛】本题主要考查了求函数解析式，利用函数在定义域内单调递增求参数的取值范围，属于中档题.二、多项选择题（每小题5分，共20分下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）9. 已知等比数列中，满足，是的前项和，则下列说法正确的是（ ）

7、A. 数列是等比数列B. 数列是递增数列C. 数列是等差数列D. 数列中，仍成等比数列【答案】AC【解析】【分析】由已知得可得以，可判断A；又，可判断B；由，可判断C；求得，可判断D.【详解】等比数列中，满足，所以，所以，所以数列是等比数列，故A正确；又，所以数列是递减数列，故B不正确；因为，所以是等差数列，故C正确；数列中，不成等比数列，故D不正确；故选：AC.【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题.10. ，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”则下列命题中正确的是

8、（ ）A. ，B. ，C. ，D. 函数的值域为【答案】CD【解析】【分析】结合的定义，对选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于A，而，故A错误；对于B，因为，所以恒成立，故B错误；对于C，所以，当时，此时；当时，此时，所以，故C正确；对于D，根据定义可知，所以函数的值域为，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查函数新定义，考查学生的推理能力，属于中档题.11. 如图，在边长为4的正三角形中，E为边的中点，过E作于D.把沿翻折至的位置，连结.翻折过程中，其中正确的结论是（ ）A. ；B. 存在某个位置，使；C. 若，则的长是定值；D. 若，则四面体的体积最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根

9、据线面垂直的性质判断A，B；取中点，可证明，从而可计算出，判断C；折叠过程中，不动，当到平面的距离最大时，四面体的体积最大，从而计算出最大体积后判断D【详解】由，得平面，又平面，所以，A正确；若存在某个位置，使，如图，连接，因为，所以，连接，正中，所以平面，而平面，所以，由选项A的判断有，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以，则，这是不可能的，事实上，B错；设是中点，连接，则，所以，从而，是中点，所以，若，即，所以，所以，且由得，所以，边长为4，则，为定值，C正确；折叠过程中，不变，不动，当到平面的距离最大时，四面体的体积最大，由选项的判断知当平面时，到平面的距离最大且为，又，所以此最大值为

10、，D正确故选：ACD【点睛】本题考查折叠过程中的线面间的位置关系，考查线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，本题考查学生的分析问题解决问题的能力，考查空间想象能力，属于中档题12. 已知定义在上的函数，定义函数（其中为实数），若对于任意的，都有，则整数可以为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】AB【解析】【分析】根据题意，得到在恒成立，只需，对求导，根据导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果.【详解】由题若对于任意的，都有，则有在恒成立，只需，因为，所以，令，则，在上单调递增，又由，满足，即有，此时在上单调递减，在上单调递增，所以.故选：AB.【点睛】本题主要考查导数的方

11、法研究方程有实根的问题，将问题转化为不等式恒成立求解，是解集该题的关键，属于常考题型.第卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13. 已知函数，则_【答案】【解析】【分析】由函数的解析式由内到外逐层可计算得出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.14. 若直线： 经过点(2,4)，则的最小值是_【答案】 【解析】由题意得当且仅当 即 时等号成立，即所求的最小值为 15. 已知在锐角中，则的取值范围是_.【答案】【解析】分析】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，得到点

12、的坐标，找出为锐角三角形的点的坐标，即可得出的取值范围.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，所以，设，因为是锐角三角形，所以，即在如图的线段上（不与、重合），所以，所以，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积取值范围的计算，解答的关键就是将平面向量数量积转化为坐标来计算，转化为以某变量为自变量的函数的值域来求解，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于中等题.16. 我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，平面与平面的距离为1则，该刍童外接球的体积为_.【答案】【解析】【分析】首先设为刍童外接球的球心，分别为

13、矩形，的中心，由球的几何性质可知：，三点共线，连接，再分别计算得到，根据，即可得到答案.【详解】设为刍童外接球的球心，分别为矩形，的中心，由球的几何性质可知：，三点共线，连接，如图所示：由题知：平面，平面，所以.因为，设，在中，因为，在中，设外接球的半径为，则，所以，解得.所以，.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体的外接球，解题的关键是找到外接球的球心，本题中首先设出外接球的球心，根据半径相等得到等量关系，从而求出球体半径和体积，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.四、解答题：（本大题共6小题，共70分；第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步

14、骤）17. 已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_.（从成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（1）求；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）选择、条件组合,； （2）【解析】【分析】（1）先将条件简化，再根据选择、条件组合运算即可；（2），利用分组求和法计算即可.【详解】（1）由，得，即；由，成等比数列，得，即由，得，即； 选择、条件组合，均得、，即 （2）由（I）得， 则，即【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，分组求和法求数列的和，考查学生的数学运算能力，属于容易题.18. 在中，角所对的边分别为，；（1）证

15、明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，且，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)根据已有等式，利用正弦定理作角化边，可得，最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得；最后，根据等式可化简出，故可证为等腰三角形.(2)由，可得， 然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可.【详解】（1），由正弦定理得：，由余弦定理得：；化简得：,所以即， 故为等腰三角形（2）如图，由已知得， ， 又，即，得，由（1）可知，得解法二：取的中点，连接由（1）知， 由已知得， ，解法三：由已知可得，由（1）知，又，即，即，【点睛】本题考查解三角形的问题，（1）题的关键

16、就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，(2)题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.19. 如图，三棱锥中，侧面是边长为的正三角形，平面平面，把平面沿旋转至平面的位置，记点旋转后对应的点为（不在平面内），、分别是、的中点.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接、，利用面面垂直的性质定理得出平面，可得出，利用勾股定理计算出，推导出是以为直角的直角三角形，再由中位线的性质得出，由此可得出；（2）由的面积为定值，可知当平面平面时，三棱锥的体积最大，连接、，推导出平面，计算出、以及的面积，然后利用锥体的体积

17、公式可求得结果.【详解】（1）如图，连接、，因为，是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以因为为边长为的正三角形，所以，又，所以由勾股定理可得，又，则，所以为直角三角形，且，又、分别是、的中点，所以，所以；（2）如图，连接、，因为三棱锥与三棱锥为同一个三棱锥，且的面积为定值，所以当三棱锥的体积最大时，则平面平面，则，为的中点，则，平面平面，平面平面，平面，平面，此时点到平面的距离为，在中，因为，所以， 所以的最大值为，所以三棱锥的体积的最大值为【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥体积的最值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20

18、. 为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的.天数1234567癌细胞个数1248163264（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天)（2）若在第10天，第20天，第30天，给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.【答案】（1）第一次最迟应在第27天注射该种药物；（2）仍然存活.【解析】【分析】（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，

19、公比为2，其通项为，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式，解不等式即可求得结论；（2）设第次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为，可得，从而可知第3次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数，由此可得结论【详解】（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式.， 即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）设第次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为，则，且.，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为.到第38天小白鼠体内这种癌细胞个数为第38天小白鼠仍然存活.【点睛】本题考查数列模型的运用，考查解不等式，解题的关键是确定数

20、列模型解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题做出解答，其中关键是建立数学模型.21. 在四棱锥中，为正三角形，且平面平面.（1）求二面角的余弦值；（2）线段上是否存在一点，使异面直线和所成角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在点M为线段PC的三等分点满足题意，详见解析【解析】【分析】（1）利用向量法求二面角的余弦值；（2）设，利用向量法得到，解方程即得解.【详解】设是中点，为正三角形，则，平面平面，面，又，所以为正三角形，建立如图所示空间直角坐标

21、系，则，于是，(1)设平面法向量为，由得一个法向量为，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则由图知为锐角，所以，二面角的余弦值为.(2) 设，则，所以解得或，所以存在点M为线段PC的三等分点.【点睛】本题主要考查空间二面角的求法，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22. 已知函数，（1）求证：；（2）用表示，中的最大值，记，讨论函数零点的个数【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】(1）作差构造函数，用导数方法证明最小值大于等于0;(2）利用分类讨论思想和导数方法以及零点存性定理可得【详解】（1）设，其定义域为，当时，；当时

22、，故在上是减函数，在上是增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即，故成立（2）函数的定义域为，当时，；当时，；所以在上是减函数，在上是增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即（）若，当时，；当时，；当时，所以此时，只有一个零点；（）若，当时，则；当时，则此时没有零点；（）若，当时，根据（1）知，而，所以，又，所以在上只有一个零点，从而一定存在，使得，即，即当时，所以，从而从而在上有一个零点，在上有一个零点1此时，当时，有两个零点综上，当时，有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，零点，证明不等式，考查了分类讨论思想，属难题23. 已知三

23、棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，为上一点，且平面.（1）求证：；（2）过作一平面分别交， ， 于，若四边形为平行四边形，求多面体的表面积.【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理，证得平面，再利用性质定理，即可证得，（2）由线面垂直的判定定理和性质定理，得到，在中，求得，进而得到，即，再利用线面平行的性质定理得到，进而得到四边形为矩形，同理求得，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）由，所以，由平面，平面，可得，又由，且平面，平面，所以平面，又因为平面,所以.（2）在等腰直角中，所以，又因为，可得平面，所以.等腰中，由，可得，又中，所以，而，可得，故，因为四边形为平行四边形，所以，可得平面，又平面，且平面平面，所以，由，可得，且有，由平面，可得，进而得到，所以四边形为矩形， 同理可得，且，可得，.所以所求表面积为.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质，严密的逻辑推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.