数学苏教版必修4知识导航 1.2任意角的三角函数 WORD版含解析.doc

1、1.2 任意角的三角函数知识梳理一、任意角的三角函数 1.定义:设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=0)，那么sin=,cos=，tan=. 2.在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.以单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.如图1-2-1，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么(1)y叫做的正弦，记作sin，即sin=y；(2)x叫做的余弦，记作cos，即cos=x；(3)叫做的正切，记作tan，即tan=(x0).图1-2-1 3.三角函数的定义:正弦、余弦、正切等以角为自变量，以单位圆上

2、点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称三角函数.二、三角函数的定义域、值域函 数定义域值 域y=sinR-1,1y=cosR-1,1y=tan|+k,kZR 三、三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知: 1.正弦值第一、二象限为正(y0,r0)，第三、四象限为负(y0)； 2.余弦值第一、四象限为正(x0,r0)，第二、三象限为负(x0)； 3.正切值第一、三象限为正(x、y同号)，第二、四象限为负(x、y异号).四、正弦线、余弦线、正切线 1.有向线段:坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定:与坐标轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为

3、负. 2.三角函数线的定义: 设任意角的顶点在原点O处，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点T.下面是P点分别在四个象限内的三角函数线：由图1-2-2中四个图看出:图1-2-2 当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y， 于是有sin=MP，cos=OM，tan=AT. 我们就分别称有向线段MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.五、同角的三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2+cos2=1;2.商数关系:=tan.六、正弦、余弦、正切的诱导公式诱导公式的内容函数名

4、称公式一公式二公式三公式四公式五公式六2k+(kZ)-+-+sinsin-sinsin-sincoscoscoscoscos-cos-cossin-sintantan-tan-tantancot-cot知识导学 要学好本节内容，可从复习初中学过的锐角三角函数入手.把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系. 借助单位圆，通过观察图形，发

5、现公式一至四，然后概括四组公式，认识它们的作用.结合例题与练习，来熟悉公式，理解并熟练地将任意角的三角函数等价转化为0至内的角的三角函数.形象的诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变，符号看象限.疑难突破 1.为何不论点P在终边上的位置如何，只要终边确定下来，角的每一类三角函数值都是定值？剖析:如图1-2-3.图1-2-3 在角的终边上取点A，使OA=1,设A的坐标为(l,m),再任取一点P(x,y),设OP=r(r0).由相似三角形对应边成比例得.A、P在同一象限内,m与y，x与l的坐标符号相同.=cos,=sin,=tan.点P在终边上的位置并不影响三角函数值大小，三角函数的值只取决于的大小.2.

6、学习同角三角函数基本关系式时应当注意哪几点？剖析:(1)等式成立的条件:正、余弦对一切R均成立；正切仅在k+(kZ)时成立.(2)学习同角基本关系式时,首先要突出“同角”的含义.这里的“同角”应作广义的理解.如:与,3与3,6+与6+都是同角.(3)注意公式变形及逆用.如：sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,1=sin2+cos2,sin=tancos,cos=等等.3.诱导公式的规律及作用.剖析:诱导公式可以将任意角的三角函数转化为090角的三角函数值.诱导公式的规律为: (1)-，2-，2k+(kZ)的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，为了

7、便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”.例如:sin(180-300)=sin300，把300看成一个锐角，则180-300=180-为锐角，所以sin(180-300)的符号为正，即sin300前面所带符号也为正. (2)-，+的三角函数值，等于的余名三角函数值前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.例如:cos(90+100)=-sin100，把100看成锐角，则90+100=90+为钝角，所以cos(90+100)的符号为负，即sin100前面所带符号为负. (3)这两套公式可以归纳为k+(kZ)的三角函数值，当k为偶数时，得的同名函数值，当k为奇数时，得的余名三角函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指k的奇偶.