数学苏教版选修4-4学案：知识导航 4-3-2平面直角坐标系中的伸缩变换 WORD版含解析.doc

1、4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换自主整理1.一般地,由所确定的伸缩变换,是按伸缩系数为k向着_轴的伸缩变换（当k1时，表示_；当k1时，表示_），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍答案:y 伸长 压缩2直线经过伸缩变换后是_，圆经过伸缩变换后可能成为_答案:直线 椭圆高手笔记1.直线经过伸缩变换后仍是直线由此可知，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变2圆经过伸缩变换后可能成为椭圆，反之，椭圆经过伸缩变换后成为圆或椭圆3点(x,y)经过伸缩变换后的坐标变为(kx,ly)；曲线f(x,y)0经过伸缩变换后的曲线方程为.名师解惑1.正弦函数，xR的图象经过怎样的变换，变为函数y

2、=Asin(x+)，xR（其中A0，0，）的图象？剖析：y=sinx先按向量a=(-,0)经过平移变换后变为y=sin(x+)，再按伸缩系数k=向着y轴进行伸缩变换，最后按伸缩系数k=A向着x轴进行伸缩变换，得到函数y=Asin(x+)的图象2.设P(x,y)是变换前图形f(x,y)0上点的坐标，P(x,y)是变换后P点对应点的坐标，在伸缩变换下,P、P点的坐标有什么关系？剖析：若已知P点坐标(x,y)，则变换后的对应点P的坐标为(kx,ly)；反之，若已知P的坐标为(x,y)，则P点坐标为讲练互动【例题1】在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2变成直线2x-y=4，求满足图象变换的伸缩变

3、换思路分析：利用待定系数法，设变换为（其中,0）,可将其代入第二个方程，通过比较系数求出,的值解：设所求的伸缩变换为（其中,0），代入方程2x-y，得2x-y与x-2y2比较，将其变成2x-4y，比较系数得=1,=4所以伸缩变换为,即直线x-2y2上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的倍,可得到直线2x-y绿色通道求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出其变换公式，我们将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可得了变式训练1.（1）在平面直角坐标中，圆x2+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程是什么？（2）在平面直角坐标中，一条曲线经过伸缩变换后，曲线方程变为y2=2x,则原来的曲

4、线方程是什么？解：（1）设P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后P点的对应点，由题意，代入x2+y2=1中，整理得4x2+9y2=1,即4x2+9y2=1,此曲线方程表示的图形是椭圆（2）变换后的曲线方程为y2=2x，即y2=2x，把代入，整理得到y2=x，此曲线方程表示的图形是抛物线【例题2】已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,xR（1）当函数y取最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？思路分析：首先要把y=cos2x+sinxcosx+1变为y=Asin(x+)的形式，再根据平移和伸缩公式求解解：(1)y=

5、cos2x+sinxcosx+11+sin2x+1cos2x+sin2x+sin(2x+)+.由2x+=2k+，解得x=k+,kZ.所以y取得最大值时，对应的x的集合为xx=k+,kZ（2）将y=sinx的图象按向量a=(,0)平移，得到y=sin(x+)的图象；将y=sin(x+)按伸缩系数向着y轴进行伸缩变换，得到y=sin(2x+)的图象；将y=sin(2x+)按伸缩系数向着x轴进行伸缩变换，得到y=sin(2x+)的图象；将y=sin(2x+)按向量b=(0,)平移，得到y=sin(2x+)+的图象绿色通道 本题主要考查三角函数的恒等变换和函数图象的变换一般要把已知条件中的三角函数式变

6、换为y=Asin(x+)+B的形式，再根据相应的平移或伸缩变换公式求解变式训练2曲线y=2cos3x经过怎样的伸缩变换可使方程变形为y=cosx？解：由y=2cos3x,得=cos3x，令y=,x=3x，可得y=cosx所以函数y=2cos3x经过伸缩变换得到函数y=cosx教材链接P35思考(1)由所确定的伸缩变换的意义是什么？答：设P(x,y)是变换前曲线上的点，P(x,y)是变换后曲线上的点，由x=x,ky=y所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换（当k1时，表示伸长；当k1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍P36思考(2)由所确定的伸缩变换的意义是什么？答：设P(x,y)是变换前曲线上的点，P（x,y）是变换后曲线上的点，由kx=x,ky=y所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k分别向着x轴、y轴的伸缩变换（当k1时，表示伸长；当k1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的k倍