数学试题及答案.doc

1、广东省2022届高三六校第四次联考 数 学本试卷共22题，满分150分.考试用时120分钟一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共40分）1. 已知集合，则A.B.C.D.2. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于第几象限？A. 一B. 二C. 三D. 四3. 北京冬奥会已在北京和张家口市如火如荼的进行. 为了纪念申奥成功，中国邮政发行北京申办2022年冬奥会成功纪念邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”. 先从一套5枚邮票中任取3枚，则

2、恰有2枚会徽邮票的概率为A.B.C.D.4. 已知一组数据共10个数（10不全相等），方差为，增加一个数后得到一组新数据，新数据的平均数不变，方差为，则A.B.C.D.5. 已知正四面体的棱长为1，且，则A.B.C.D.6. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为A.B.C.D.7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数（）的图像不可能是A.B.C.D.8. 三棱柱中，侧棱平面，为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为A.B.C.D.二、

3、多项选择题（每小题有多于一个的正确选项，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分，总分20分）9. 在平面直角坐标系中，已知，设下列圆锥曲线的焦点是，则满足的有A.B.C.D.10. 已知是三个不重合的平面，是直线给出下列命题，其中正确的命题有A若上两点到的距离相等，则B若，则C若，且，则D若直线满足：，且，则11. 已知，设，以下四个命题中正确的有A. 若，则有最小值B. 若，则有最大值2C. 若，则D. 若，则有最小值12. 设随机变量的分布列如下：12345678910 则：A. 当为等差数列时，B. 数列的通项公式可能为C. 当数列满足时，D. 当数列满足时，三、填空题 (每小

4、题 5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上.)13. 已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的常数项为_.14. 已知为奇函数，当时，则曲线在点处的切线方程为_.15. 如图，已知为的重心，且，若，则角的大小为_.16. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线交轴于，点为的平分线上任意一点，记与的面积分别为，则_.四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第1822题各12分，共70分.）17.（本小题满分10分） 已知的内角对的边分别为， ，（1）求；（2）若边上的中线为，求.18. （本小题满分12分）已知正项数列满足前项和满足（1）求数

5、列的通项公式.（2）若数列满足，求数列的前项和.19. （本小题满分12分） 根据我国国家统计局的数据显示，2020年12月份，中国制造业采购经理指数（PMI）为50.3%，比上月上升0.2个百分点.以新能源汽车机器人医疗设备高铁电力装备船舶无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业为评估某设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算， ，以频率值作为概率的估计值

6、，解决以下问题：（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足，不满足，则等级为乙；若仅满足，不满足，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备M的性能等级（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品,从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的分布列和数学期望20.（本小题满分12分） 已知矩形纸片满足，为中点，将该纸片沿对角线折成空间四边形，使得二面角的大小为.（1）求三棱锥体积的最大

7、值（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.图1 图221. （本小题满分12分） 若，且直线与曲线相切.（1）求的值.（2）证明：当，不等式恒成立.22. （本小题满分12分）如图，已知圆，点,以线段为直径的圆内切于圆O，点的集合记为曲线.（1）求曲线的方程;（2）已知直线，过点的直线与交于两点，与直线交于点，记斜率分别为，问：是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.数学参考答案一、二、单选&多选题123456789101112BBCCCDABACBCABCBCD三、填空题13. 60;14. ;15. ;16. 四、解答题17.解：（1）依题意：即：由正弦定理可得 .6分 （

8、2） 即： 解得.10分18.解：（1）由可得 即：，是以为首项，公差为的等差数列当当所以：（2）当.6分由可得：综上，12分19.解：由表格可知（1）因为设备的数据仅满足不等式，故其性能等级为丙。4分（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06.（）由题意可知，于是，.7分（）可能的取值为；由题意可知的分布列为故.12分20.解：（1）三棱锥的体积当时，取最大值，在矩形中，过作交于点，此时，三棱锥的高，的最大值所以三棱锥体积的最大值.5分（2）过作，垂足为，过作，垂足为以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系（如图所示）设平面的法向量为取设直线所成角为.12分21. 解：（1）设切点为则解得：.4分（2）要证当，不等式恒成立只需证当，不等式恒成立令,先证明一个不等式：为此，令：，所以：，故，当故，故又，故，又因为，故恒成立即：当，不等式恒成立。12分22.解：(1)设的中点为,切点为,连接,取关于轴的对称点,连接,则，故 . 所以点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆.其中,则曲线C的方程为5分（2）设依题意，直线的斜率必定存在，所以，设，将其与椭圆方程联立：由韦达定理，得：易得点，同理，而（1）由得：代入（1）得：所以：.12分