2022版高中数学 第二章 解三角形 1.docx

1、余弦定理基础过关练题组一已知两边和一角解三角形1.在ABC中,a=1,B=60,c=2,则b=() A.1B.2C.3D.32.在ABC中,AB=3,BC=1,A=30,则AC=.3.在ABC中,A=120,AB=5,BC=7,则sinBsinC的值为.4.在ABC中,若BC=5,AB=3,B=120,则ABC的周长等于.5.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,cos B=14.(1)求b的值;(2)求sin C的值.题组二已知三边解三角形6.在ABC中,c2-a2-b2=3ab,则角C为()A.30B.60C.150D.45或1357.(2021安徽五校高二

2、上联考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=6,b=5,c=9,则sin C=()A.-223B.13C.23D.2238.若ABC的内角A、B、C满足sin Asin Bsin C=233,则cos B=()A.14B.13C.12D.239.在ABC中,|BC|=3,|CA|=5,|AB|=7,则CBCA的值为()A.-32B.32C.-152D.15210.在ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,试求AC边上的中线长.题组三利用余弦定理判断三角形的形状11.在ABC中,A=60,a2=bc,则ABC一定是()A.等腰直角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三

3、角形12.(2020山东枣庄滕州一中高一下期末)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,满足b=2ccos A,则ABC的形状一定为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.锐角三角形13.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin A+bsin Bcsin C,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定14.在ABC中,角A,B,C的对边分别为x,y,z,若x2+y2=z2,则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形题组四余弦定理及其推论15.若三角形的三边长

4、分别为5,7,8,则其最大角和最小角的和为()A.90B.120C.135D.15016.已知a,b,c是ABC的三条边,若a,b,c满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C的余弦值等于()A.23B.12C.-23D.-1217.在ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B的值为()A.1B.2C.2D.418.(2021江西赣州七校高三上联考)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,且满足(b-c)2=a2-bc.(1)求角A的大小;(2)若a=3,sin C=2sin B,求ABC的面积.能力提升练一、选择题1.()在ABC中,若C=60,则ab+c+ba+c=

5、() A.1B.2C.3D.42.()在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=()A.34B.3C.4D.63.()在ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C所对的边),则ABC的形状一定为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形4.()在非等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,若sin2(B+C)sin2B+sin2C,则角A的取值范围为()A.0,2B.4,2C.6,3D.3,25.()在ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,且b2

6、=ac,则B的取值范围是()A.0,3B.3,C.0,6D.6,6.()已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=223,bcos A+acos B=2,则ABC的外接圆的面积为()A.4B.8C.9D.367.()在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a-cb=a-ba+c,则角C等于()A.3B.4C.6D.88.()在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,则b的值为()A.4B.5C.6D.79. ()在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若ccos B=bcos

7、 C,且10. cos A=23,则sin B等于()A.66B.66C.306D.30610.(2021河南九校高二上联考,)若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则ca的取值范围是()A.(0,2)B.(0,3)C.(3,+)D.(2,+)二、填空题11.()在ABC中,若b=1,c=3,C=23,则a=.12.(2021河北衡水中学高三期中,)在ABC中,AB=4,BC=6,cos B=-13,则ABC的外接圆的半径等于.13.(2020河南名校联盟高二下期末联考,)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若B,A,C成等差数列,33S=acos

8、 B+bcos A,c=3,则a=.三、解答题14.()在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ABAC=BABC=k(kR).(1)判断ABC的形状;(2)若c=2,求k的值.15.(2019福建福州长乐高中、城关中学、文笔中学高二期末联考,)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acos B+bcos A=2ccos C.(1)求角C的大小;(2)若a=5,b=8,求边c的长.16.()在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120,求此三角形的最大边长.17.()在ABC中,已知sin(A+B)=sin B+sin

9、(A-B).(1)求角A;(2)若|BC|=7,ABAC=20,求|AB+AC|.18.()在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos C+(cos A-3sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.答案全解全析1.2余弦定理基础过关练1.C由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=3,所以b=3(负值舍去).2.答案1或2解析由余弦定理的推论,得cos A=AC2+AB2-BC22ACAB,所以AC2-3AC+2=0,解得AC=1或AC=2.经检验都符合要求,所以AC=1或AC=2.3.答案35解析由余弦定理得,BC2=AB2

10、+AC2-2ABACcos A,因为A=120,AB=5,BC=7,所以49=25+AC2+5AC,即AC2+5AC-24=0,解得AC=3或AC=-8(舍去).所以sinBsinC=ACAB=35.4.答案15解析由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=49,所以AC=7.所以ABC的周长为3+5+7=15.5.解析(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=22+32-22314=10,b=10(负值舍去).(2)由余弦定理的推论及(1),得cos C=a2+b2-c22ab=4+10-92210=108.C是ABC的内角,sin C=1-cos2C=368.

11、6.C由已知得a2+b2-c2=-3ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=-32.因为0C180,所以C=150.7.D由余弦定理的推论得cos C=a2+b2-c22ab=-13,因为0C0,则cos B=a2+c2-b22ac=4k2+9k2-9k222k3k=13.9.Ccos C=52+32-72253=-12,CBCA=35-12=-152.故选C.10.解析由余弦定理的推论及已知,得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=92+82-72298=23.设AC边上的中线长为x(x0),由余弦定理知,x2=AC22+AB2-2AC2ABcos A=42+92-24923=

12、49,所以x=7.所以AC边上的中线长为7.11.D在ABC中,A=60,a2=bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,b=c,结合A=60,得ABC一定是等边三角形.故选D.12.Ccos A=b2+c2-a22bc,b=2ccos A=b2+c2-a2b,即b2=b2+c2-a2,整理得(c+a)(c-a)=0,又c+a0,c-a=0,即a=c,ABC一定为等腰三角形.无法判断ABC是等边三角形,故选C.13.C由正弦定理及已知,得a2+b2c2,所以a2+b2-c20,由余弦定理的推论,得cos C=a2+b2

13、-c22abx2+y2=z2,所以x+yz,所以cos C=x+y-z2xy0,所以ABC为锐角三角形,故选A.15.B设中间的角为,则cos =52+82-72258=12,0180,=60,最大角和最小角之和为120.16.D(a+b-c)(a+b+c)=ab,(a+b)2-c2=ab,即a2+b2-c2=-ab,cos C=a2+b2-c22ab=-12.17.C由余弦定理的推论,得bcos C+ccos B=ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2a22a=a=2.18.解析(1)(b-c)2=a2-bc,b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论可得cos A=b2+c2

14、-a22bc=bc2bc=12,又A(0,),A=3.(2)由sin C=2sin B及正弦定理,可得c=2b,a=3,A=3,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=3b2=9,b=3(负值舍去),c=23,SABC=12bcsin A=1232332=332.能力提升练一、选择题1.Aab+c+ba+c=a2+ac+b2+bc(b+c)(a+c)=a2+b2+ac+bcab+ac+bc+c2,C=60,a2+b2-c2=2abcos C=ab,a2+b2=ab+c2,将式代入式得ab+c+ba+c=ab+c2+ac+bcab+ac+bc+c2=1.2.C由a2=

15、b2+c2-2bccos A,及b=c,a2=2b2(1-sin A),可得b2+c2-2bccos A=2bc-2bcsin A,整理,得(b-c)2=2bc(cos A-sin A),由此可得cos A-sin A=0,即cos A=sin A,又因为A(0,),所以A=4,故选C.3.Bcos2B2=a+c2c,2cos2B2-1=a+cc-1,cos B=ac,a2+c2-b22ac=ac,即c2=a2+b2,ABC一定为直角三角形,无法判断其是不是等腰三角形,故选B.4.D由题意得sin2Asin2B+sin2C,再由正弦定理得a20, cos A=b2+c2-a22bc0,0A,0

16、A3.角A的取值范围是3,2.5.A由余弦定理的推论及已知,得cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=(a-c)2+ac2ac=(a-c)22ac+1212.因为B(0,),所以B0,3.6.C由余弦定理的推论及已知,得bb2+c2-a22bc+aa2+c2-b22ac=2,解得c=2.又cos C=223,C(0,),sin C=1-cos2C=13.设ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理,得2R=csinC=213=6,可得R=3,ABC的外接圆的面积S=R2=9.故选C.7.A由a-cb=a-ba+c得a2+b2-c2=ab,由余弦定理的推论得cos C=a2+b2-

17、c22ab=ab2ab=12,C(0,),C=3,故选A.8.A由sin Acos C=3cos Asin C得,sin Acos C+cos Asin C=4cos Asin C,即sin(A+C)=4cos Asin C,即sin B=4cos Asin C,结合正弦定理及余弦定理的推论,得b=4cb2+c2-a22bc,又a2-c2=2b,所以b2-4b=0,解得b=4(b=0舍去).9.D由正弦定理和ccos B=bcos C得sin Ccos B=sin Bcos C,则sin(B-C)=0,又易知-180B-C180,所以B=C,进而得到b=c.因为cos A=23,所以由余弦定理

18、可得a2=2b2-2b223,即3a2=2b2,再由余弦定理的推论得cos B=a2+c2-b22ac=23b2263b2=66,故sin B=306.10.Da2+c2-b2=2accos B,SABC=34(a2+c2-b2)=342accos B=12acsin B,tan B=3,B(0,),B=3,A+C=23,又C为钝角,0A6,0tan A3,由正弦定理得ca=sinCsinA=sin23-AsinA=32cosA+12sinAsinA=321tanA+12323+12=2.二、填空题11.答案1解析由余弦定理及已知得3=a2+1-2acos23,即a2+a-2=0,解得a=1或

19、a=-2(舍去).12.答案3344解析在ABC中,易得sin B=223.由余弦定理可得AC2=BC2+AB2-2BCABcos B=62+42-264-13=68,解得AC=217(负值舍去).设ABC外接圆的半径为r,则由正弦定理,得2r=ACsinB=217223=3342,所以r=3344.13.答案13解析由B,A,C成等差数列可知2A=B+C,即3A=,解得A=3.由33S=acos B+bcos A可知3312absin C=acos B+bcos A,根据正弦定理知3312sin Absin C=sin Acos B+sin Bcos A=sin C,易知sin C0,所以b

20、sin A=23,因此b=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=16+9-24312=13,故a=13(负值舍去).三、解答题14.解析(1)ABAC=cbcos A,BABC=cacos B,ABAC=BABC,cbcos A=cacos B,又c0,bcos A=acos B.解法一:bcos A=acos B,sin Bcos A=sin Acos B,即sin Acos B-cos Asin B=0,sin(A-B)=0.由题意得-A-Bb且a=b+4,又a+c=2b,所以b+4+c=2b,所以b=c+4,则bc,从而知abc,所以a为最大边,故A=120.易得b=a-4

21、,c=2b-a=a-8,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=(a-4)2+(a-8)2+(a-4)(a-8),即a2-18a+56=0,解得a=4或a=14.又b=a-40,所以a=14,即此三角形的最大边长为14.17.解析(1)原式可化为sin B=sin(A+B)-sin(A-B)=2cos Asin B.因为B(0,),所以sin B0,所以cos A=12.因为A(0,),所以A=3.(2)由余弦定理,得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|AC|cos A.因为|BC|=7,ABAC=|AB|AC|cos A=20,所以|AB|2+|AC|2=89.因为|AB+AC|2=|AB|2+|AC|2+2ABAC=129,所以|AB+AC|=129(负值舍去).18.解析(1)由已知,得-cos(A+B)+cos Acos B-3sin Acos B=0,即sin Asin B-3sin Acos B=0.sin A0,sin B-3cos B=0,tan B=3.又B(0,),B=3.(2)由(1)得cos B=12,又a+c=1,b2=a2+c2-2accos B=3a2-3a+1=3a-122+14.0a1,143a-122+141,即14b21,12b1,b的取值范围是12,1.