2022届高考人教数学（理）一轮学案：7-1 几何体的结构、三视图、体积与表面积 WORD版含答案.doc

1、第一节几何体的结构、三视图、体积与表面积1多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上、下底面是全等的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形2旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称：形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相同的；名称：三视图包括正视图、侧视图、俯视图(

2、2)三视图的画法：在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图4空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半5多面体的表面积与侧面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之

3、和6旋转体的表面积与侧面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2rl2r(lr)圆锥(底面半径r，母线长l)rlr(lr)圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)(r1r2)l(r1r2)l(rr)球(半径为R)4R27.空间几何体的体积(h为高，S为下底面积，S为上底面积)(1)V柱体Sh特别地，V圆柱r2h(r为底面半径).(2)V锥体Sh特别地，V圆锥r2h(r为底面半径).(3)V台体h(SS).特别地，V圆台h(r2rrr2)(r，r分别为上、下底面半径).(4)V球R3(球半径是R).1几类特殊多面体：(1)直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱正棱柱：正棱柱是侧棱都垂直

4、于底面，且底面是正多边形的棱柱(2)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正棱锥2利用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原来图形的倍3三视图的基本要求：长对正，高平齐，宽相等4几个结论：(1)棱长为a的正四面体，其高为a.其内切球和外接球的球心重合，是正四面体的中心其外接球和内切球的半径分别为a和a.(2)长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则体对角线长为，即为外接球直径1(基本应用：几何体的特征)如图所示，长方体ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD.剩下的几何体是()A.棱台 B四棱柱C五棱柱 D简单组合体答案：C2(基础知识：三视图与几何体的特征

5、)某几何体的三视图如图所示，根据三视图可以判断这个几何体为()A圆锥 B三棱锥C三棱柱 D三棱台答案：C3(基本能力：几何体的表面积)正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A48(3) B48(32)C24() D144答案：A4(基本能力：与球有关的组合体中球半径与棱长关系)球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为_答案：35(基本方法：直观图问题)如图所示，水平放置的正方形ABCO在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为_答案：题型一空间几何体 典例剖析类型 1三视图问题例1(2020高考全国卷)右图是一个多面体的三

6、视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()AE BFCG DH解析：由三视图还原几何体，如图所示，由图可知，M点在侧视图中对应的点为E.答案：A类型 2直观图问题例2已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_解析：取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O，E，过E作EFx轴，垂足为F，在等腰梯形ABCD中，CD1，AB3，ADCB，OE1，由斜二测画法知，ABAB3，CDCD1，OEOE，

7、EFOEsin 45，直观图ABCD的面积为.答案：类型 3展开图问题例3(2018高考全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 B2C3 D2解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图所示圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径ON164，OM2，|MN|2.答案：B方法总结1由三视图识别几何体(1)熟悉常见几何体的三视图，如两个矩形、一个圆形为圆柱，三个

8、三角形为三棱锥等(2)直接还原将几何体放在长方体或正方体中，一般从俯视图入手，找几何体顶点的位置，再确定实虚线(3)将几何体放入柱体或锥体中，通过合理切割得到相应几何体2原图与直观图中的“三变”与“两不变”(1)“三变”(2)“两不变”题组突破1某几何体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图所示，其中O1A16，O1C12，则该几何体的侧面积为()A48B64C96 D128解析：由题意可知该几何体是一个直四棱柱，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A16，O1C12，它的俯视图是边长为6的菱形棱柱的高为4，该几何体的侧面积为46496.答案：C2母

9、线长为1的圆锥体，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为_解析：圆锥体其侧面展开图为扇形，Srl，解得r，由圆锥的轴截面图(图略)可得h，Vr2h.答案：题型二几何体的表面积与体积 典例剖析类型 1表面积例1(1)(2020高考全国卷)右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A64B44C62D42解析：如图所示，该几何体为其中三个面是腰长为2的等腰直角三角形、第四个面是边长为2的等边三角形的三棱锥，所以该几何体的表面积为3222262.答案：C(2)(2018高考全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表

10、面积为()A12 B12C8 D10解析：设圆柱的轴截面的边长为x，则由x28，得x2，S圆柱表2S底S侧2()22212.答案：B类型 2体积例2(1)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42 D36解析：法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V321032663.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积

11、V32763.答案：B(2)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥C1B1DA的体积为()A3 BC1 D解析：在ABC中，D为BC中点，则有ADAB，SDB1C12.又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高，AD1.答案：C方法总结 1推广：几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中

12、各元素间的位置关系及数量关系(5)几何体切、割后的图形的表面，不一定是减少，甚至可能增加2推广：求几何体的体积的方法方法解读适合题型直接法对于规则几何体，直接利用公式计算即可若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解规则几何体割补法当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体不规则几何体等积转换法利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面求体积时，可选择“容易计算”的方式来

13、计算三棱锥 题组突破1(2021安徽合肥模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积为，则它的表面积是()A B9C D解析：由三视图可知该几何体是一个圆柱挖去了一个半径等于圆柱底面半径的半球体，其中圆柱的高等于半球的半径r，所以该几何体的体积Vr2rr3r3，r3，又知r0，r，该几何体的表面积Sr22rr4r25r25.答案：C2已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_解析：依题意，易知四棱锥MEFGH是一个正四棱锥，且底面边长为，高为.故VMEFG

14、H.答案：题型三球及组合体 典例剖析类型 1内切球问题例1(1)(2020安徽皖中入学摸底考试)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为()A BC D2解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2r3，r1，h 2.设圆锥内切球的半径为R，则，R，V球R3.答案：A(2)如图所示，在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 BC6 D解析：若球与直三棱柱的三个侧面都相切，设底面ABC的内切圆的半径为r，则68(6810)r，则r2，此时2r3，不符合题意；若与直三棱柱的上、下底面相

15、切，则球的半径为，球的半径的最大值是，此时球的体积是R3.答案：B类型 2外接球问题例2(1)(2020高考全国卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为()A64 B48C36 D32解析：如图所示，设圆O1的半径为r，球的半径为R，正三角形ABC的边长为a.由r24得r2，则a2，a2，OO1a2.在RtOO1A中，由勾股定理得R2r 2OO 2 122(2)216，所以S球4R241664.答案：A(2)(2021天津市部分区联考)圆柱的体积为，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积

16、为_解析：设圆柱的高为h，圆柱体积为，底面半径为，h，h1，设球半径为R，则(2R)2()212，可得R1，球的体积为R3.答案：方法总结 “切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理：球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体解答时要找准切点，通过作截面来解决(2)“接”的处理：把一个多面体的顶点放在球面上，即球外接于该多面体解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径题组突破1.如图所示，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_解析：设球的半径为R，V2R3.V1R22R2R3，.答

17、案：2(2021河北石家庄质检)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PB底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB1，APB，则三棱锥PAOB的外接球的体积是_解析：底面ABCD为菱形，O为对角线AC与BD的交点，BDAC，又PB底面ABCD，PBAC.BDPBB，AC面PBD，ACPO，三角形PBA与三角形PAO均为直角三角形，公共斜边的中点即为球心PB1，APB，PA22R(R为三棱锥PAOB外接球的半径)，R1，故三棱锥PAOB的外接球的体积是.答案：1(2018高考全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼图中木构件右边的小长方

18、体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：由题意可知，带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应为选项A.答案：A2(2020高考全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A BC D解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高(斜高)为h.由已知得h2ah.又h2h2，h2aha2，0，解得(负值舍去).答案：C1(2020高考全国卷)已知ABC

19、是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为()A BC1 D解析：如图所示，过球心O作OO1平面ABC，则O1为等边三角形ABC的中心设ABC的边长为a，则a2，解得a3，O1A3.设球O的半径为r，则由4r216，得r2，即OA2.在RtOO1A中，OO11，即O到平面ABC的距离为1.答案：C2(2020高考山东卷)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD60.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_解析：如图所示，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由BAD60，ABAD，知ABD为等边三角形，D1B1DB2，D1B1C1为等边三角形，则D1E且D1E平面BCC1B1，E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r.又由题可得EPEQ，球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P，B1P1，同理C1Q1，P，Q分别为BB1，CC1的中点，PEQ90，知的长为.答案：