2022版高中数学 综合测评（含解析）北师大版必修5.docx

1、综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式12-xx-130的解集为()A.x13x12C.xx13D.xx122.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,a=1,b=3,则c=()A.1或2B.2C.2D.13.设全集U=R,A=x|2(x-1)2-log2(x2+2),则图中阴影部分表示的集合为()A.x|1x2B.x|x1C.x|0x1D.x|x14.不等式3x-12-x1的解集是()A.x34x2B.x34x2D.x|x25.已知等差数列an的前n项和为

2、Sn,S6=-5S30,则S9S3=()A.18B.13C.-13D.-186.在ABC中,已知A,a,b,给出下列说法:若A90,则此三角形最多有一解;若A90,且a=bsinA,则此三角形为直角三角形,且B=90;若A90,且bsinAab,则此三角形有两解.其中正确说法的个数为()A.0B.1C.2D.37.设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则k的值为()A.8B.7C.6D.58.若变量x,y满足约束条件x+y8,2y-x4,x0,y0,且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是()A.48B.30C.24D.169.设an是等比数

3、列,公比q=2,Sn为an的前n项和,记Tn=17Sn-S2nan+1(nN+),设Tn0为数列Tn的最大项,则n0=()A.2B.3C.4D.510.在等比数列an中,已知a2=1,则其前三项和S3的取值范围是()A.(-,-1B.(-,01,+)C.3,+)D.(-,-13,+)11.在ABC中,若asinA+bsinB-csinC=0,则圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定12.在数列an中,a1=1,an+1=an+n+1,设数列1an的前n项和为Sn,若Sn0)的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必

4、要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a2=(2b-c)b+(2c-b)c.(1)求角A的大小;(2)若b=2ccosA,试判断ABC的形状.18.(本小题满分12分)已知等差数列an的公差为d,且关于x的不等式a1x2-dx-3c.已知BABC=2,cosB=13,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.20.(本小题满分12分)设数列an的各项都是正数,且对于任意nN+,都有a13+a23+a33+an3=Sn2,其中Sn为数列an的前n项和.(1)求a2;(2)求数列an的通项公式.21.(本小

5、题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)(万元)表示前n年的纯利润总和(nN+,f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).(1)该厂从第几年起开始盈利?(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:方案年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;方案纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂.问哪种方案更划算?22.(本小题满分12分)已知点(x,y)是平面区域x+2y2n,x0,y0(nN+)内的点,目标函数z=x+y,z的最大值记作zn.若数列an的前n项

6、和为Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线zn=x+y上.(1)证明:数列an-2为等比数列;(2)求数列Sn的前n项和Tn.答案全解全析全书综合测评一、选择题1.A12-xx-130,x-12x-130,解得13x0的解集为x13x12,故选A.2.BB=2A,a=1,b=3,由正弦定理得1sinA=3sinB=3sin2A=32sinAcosA,cosA=32,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即1=3+c2-3c,解得c=2或c=1(不符合题意,舍去),c=2,故选B.3.A由2(x-1)22,得(x-1)21,解得0x2,A=x|0x-log2(x2+2),得log2(x

7、2+x+1)0,x2+20,x2+x+1x2+2,解得x1,B=x|x1.UB=x|x1.阴影部分表示的集合为(UB)A=x|1x2.4.B由3x-12-x1可得3x-12-x-10,所以3x-1-(2-x)2-x0,即4x-32-x0,所以4x-3x-20,所以(4x-3)(x-2)0,x-20,解得34x2.故选B.5.D设S3=a(a0),则S6=-5a,an为等差数列,S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即a,-6a,S9-S6成等差数列,S9-S6=-13a,即S9=-18a,S9S3=-18.6.C由A90,知B为锐角,则此三角形最多有一解,故说法正确;若A90,且a=bsin

8、A,则sinB=1,即B=90,此三角形为直角三角形,故说法正确;当A0时,S31+2a11a1=3,当且仅当a1=1时取等号;当a10时,S31-2(-a1)1-a1=1-2=-1,当且仅当a1=-1时取等号.故S3的取值范围是(-,-13,+).11.A因为asinA+bsinB-csinC=0,所以a2+b2-c2=0,又因为圆心O(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离为|c|a2+b2=1,所以圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0相切,故选A.12.D由题可得an+1-an=n+1,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(n-1+1

9、)+(n-2+1)+(1+1)+1=n+(n-1)+(n-2)+2+1=n(n+1)2,当n=1时,也满足上式,an=n(n+1)2,1an=2n(n+1)=21n-1n+1,Sn=21-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1.Snm对一切正整数n恒成立,m2,故选D.二、填空题13.答案5解析由题可得a5-a6=4S4-4S5=-4a5,a6=5a5,q=5.14.答案3akm解析由题意知,ACB=120,由余弦定理得AB2=3a2+3a2-23a3acos120=9a2,AB=3akm.15.答案3解析因为a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化为(a

10、+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论可得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,又0A0,所以x+11,所以y2(x+1)9x+1+10=16,当且仅当x+1=9x+1,即x=2(负值舍去)时,等号成立,所以函数y=(x+2)(x+10)x+t(x0)的最小值为16.三、解答题17.解析(1)2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,bc=b2+c2-a2,(2分)cosA=b2+c2-a22bc=12,(3分)A=60.(5分)(2)由正弦定理及已知,得sinB=2sinCco

11、sA,(6分)又B=-(A+C),sin(A+C)=2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC,即sinAcosC-cosAsinC=0,sin(A-C)=0,A=C,(8分)A=B=C=60,ABC为等边三角形.(10分)18.解析(1)由题意,得da1=2,-3a1=-3,解得d=2,a1=1.(4分)故数列an的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.(6分)(2)由(1)知an=2n-1,所以bn=12n2+2n=12(n+1)-nn(n+1)=121n-1n+1,(8分)所以Sn=121-12+12-13+1n-1n+1=121-1n+1=n2(n+1).(12分)1

12、9.解析(1)由BABC=2得cacosB=2,又cosB=13,所以ac=6.(2分)由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB,又b=3,所以a2+c2=9+22=13.(3分)联立ac=6,a2+c2=13,解得a=2,c=3或a=3,c=2.(5分)因为ac,所以a=3,c=2.(6分)(2)在ABC中,sinB=1-cos2B=1-132=223.(7分)由正弦定理,得sinC=cbsinB=23223=429.(8分)因为a=bc,所以C为锐角,因此cosC=1-sin2C=1-4292=79,(10分)所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=1379+223

13、429=2327.(12分)20.解析(1)在已知式中,当n=1时,a13=a12,a10,a1=1;当n2时,a13+a23+a33+an3=Sn2,a13+a23+a33+an-13=Sn-12,(3分)-得an3=an(2a1+2a2+2an-1+an),an0,an2=2a1+2a2+2an-1+an,即an2=2Sn-an,当n=1时,也满足此式.a22=2(1+a2)-a2,解得a2=-1或a2=2,an0,a2=2.(6分)(2)由(1)知an2=2Sn-an(nN+),当n2时,an-12=2Sn-1-an-1,-得an2-an-12=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2a

14、n-an+an-1=an+an-1.(8分)an+an-10,an-an-1=1,数列an是首项为1,公差为1的等差数列,可得an=n.(12分)21.解析(1)由题意知f(n)=50n-12n+n(n-1)24-72=-2n2+40n-72,(2分)由f(n)0,得-2n2+40n-720,解得2n18,由nN+知,该厂从第三年起开始盈利.(4分)(2)方案:年平均纯利润为f(n)n=40-2n+36n40-22n36n=40-2236=16,当且仅当n=36n,即n=6时,等号成立.故方案共获利616+48=144(万元),此时n=6.(7分)方案:由(1)得f(n)=-2(n-10)2+

15、128,所以当n=10时,f(n)max=128.故方案共获利128+16=144(万元),此时n=10.(10分)比较两种方案,获利都是144万元,但由于第种方案只需6年,而第种方案需10年,因此选择第种方案更划算.(12分)22.解析(1)证明:由已知得,当直线y=-x+z过点(2n,0)时,目标函数取得最大值,故zn=2n,方程为x+y=2n.(2分)(Sn,an)在直线zn=x+y上,Sn+an=2n,Sn-1+an-1=2(n-1),n2,由-得,2an-an-1=2,n2,an-1=2an-2,n2.(4分)又an-2an-1-2=an-22an-2-2=an-22(an-2)=12,n2,a1-2=-1,数列an-2是以-1为首项,12为公比的等比数列.(6分)(2)由(1)得an-2=-12n-1,an=2-12n-1.(8分)Sn+an=2n,Sn=2n-an=2n-2+12n-1,(10分)Tn=0+120+2+121+2n-2+12n-1=0+2+(2n-2)+120+121+12n-1=n(2n-2)2+1-12n1-12=n2-n+2-12n-1.(12分)