2022版高考文科数学（新课标）总复习文档：第二章　第八节　函数与方程 WORD版含答案.docx

1、第八节函数与方程学习要求:1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.2.函数零点的判定(零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系0=00)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个无4

2、.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度.第二步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算f(x1):(i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(ii)若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1);(iii)若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b).第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二、三、四步.知识拓展(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

3、(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.(4)在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.(5)若周期函数存在零点,则必有无穷个零点.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)若函数f(x)在(a,b)上的图象是连续的,且函数f(x)在(a,b)上单调,且f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点.()(5)对于任意的aR,函数f(x)=e

4、x+a一定有零点.()(6)对于任意的aR,函数f(x)=ln x+a一定有零点.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.(2020湖北荆州中学高三模拟)函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的区间是() A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案C3.若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有1个零点,则实数a的取值范围是()A.(-1,1)B.1,+)C.(1,+)D.(2,+)答案C4.(2020浙江效实中学高三模拟)若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在1个零点,则实数a的取值范围是.答案(-,-1)(1,+)5.函数f(x)=(x2-2

5、)(x2-3x+2)的零点为.答案-2,2,1,26.函数f(x)=ex+12x-2的零点有个.答案1函数零点所在区间的判断典例1(1)设函数f(x)=13x-ln x,则函数y=f(x)()A.在区间1e,1,(1,e)内均有零点B.在区间1e,1,(1,e)内均无零点C.在区间1e,1内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点(2)已知函数y=12x-2的图象与函数y=x3的图象的交点坐标为(x0,y0),则x0所在的区间为() A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案(1)D(2)B方法技巧确定函数零点所在区间的方法(1)解

6、方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否落在给定区间上.(2)图象法:把方程转化为两个函数,看两个函数图象的交点所在区间.(3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(4)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点.1.(2020河北冀州中学模拟)函数f(x)=ln x-2x2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B易知f(x)=ln x-2x2在定义域(0,+)上是增函数,因为

7、f(1)=-20.所以根据零点存在性定理可知,函数f(x)=ln x-2x2有唯一零点,且在区间(1,2)内.故选B.2.(2020山西忻州一中模拟)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内D.(-,a)和(c,+)内答案Aab0, f(b)=(b-c)(b-a)0,由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点.又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,

8、故选A.3.若x0是方程12x=x13的解,则x0属于区间()A.23,1B.12,23C.13,12D.0,13答案C令g(x)=12x, f(x)=x13,则g(0)=1f(0)=0,g12=1212f13=1313,13x00,则关于x的方程f(x)=x的解的个数是()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)C角度二求零点典例3已知函数f(x)=ex-1-1,x2,log3x2-13,x2,则f(x)的零点为()A.1,2B.1,-2C.2,-2D.1,2,-2答案A方法技巧确定零点个数的方法(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理,要求函数f(x)

9、在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,则函数y=f(f(x)+1的零点个数是()A.4B.3C.2D.1答案A由f(f(x)+1=0,得f(f(x)=-1,由f(-2)=f12=-1得f(x)=-2或f(x)=12.若f(x)=-2,则x=-3或x=14;若f(x)=12,则x=-12或x=2.综上,函数y=f(f(x)+1的零点个数是4.故选A.3.(2018课标全国,15,5分)函数f(x)=cos3x+6在0,的零点个数为.答案3解析令f(x)=0,得cos3x+6=0,解得x=k3+9(kZ).当k=0时,x=9;当k=1时,x=49;当k=2时,x=79,又x0,所以

10、满足要求的零点有3个.4.已知f(x)=xlnx,x0,x2-x-2,x0,则其零点为.答案1,-1解析当x0时,由f(x)=0,即xln x=0得ln x=0,解得x=1;当x0时,由f(x)=0,即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2(舍去).综上,函数f(x)的零点为1,-1.函数零点的应用典例4(1)若函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(2)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是.答案(1)C(2)14

11、,12方法技巧根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域的问题求解.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.1.已知函数f(x)=4x+a2x+1+4没有零点,则实数a的取值范围是.答案(-2,+)解析设2x=t(t0),则t2+2at+4=0在(0,+)上无解,分离参数得a=-4-t22t=-2t+t2,则-2t+t2-2,当且仅当t2=2t,即t=2时取等号,由题意可知,直线y=a与y=-2t+t2的图象在(0,+)

12、上没有交点,所以a-2.2.(1)m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4在(-1,3)上有两个零点.(2)m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4有两个零点且均比-1大.解析(1)-1-m0,f(3)0,0-3m0,9+6m+3m+40,4m2-4(3m+4)0m-139,-1.(2)设f(x)的两个零点分别为x1,x2,由题意得-m-1,f(-1)0,0-m-1,1-2m+3m+40,4m2-4(3m+4)0m(-5,-1).微专题利用图象优化函数零点的有关计算函数零点问题是高考函数、导数考查的重点和热点,要求学生掌握函数零点的定义,能将不同类型函数的零点与方程的解以及函数

13、图象的交点建立联系,能对问题进行转化,能运用数形结合的数学思想正确解题,有时运用函数的图象来解决一些小题,往往可以避开烦琐的讨论与计算.典例1已知函数f(x)=|lg x|,若0a0(kR),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()A.k2B.-1k0C.-2k-1D.k-2答案D(1)本题体现了三类问题之间的联系:函数的零点方程的根函数图象的交点,运用方程可进行等式的变形,进而构造函数进行数形结合,解决这类问题要选择合适的函数,以便于作图和求出参数的取值范围.(2)本题所求k一方面决定f(x)左侧直线的倾斜角,另一方面决定水平线的位置与x轴的关系,所以在作图时要兼顾这两

14、方面,进行数形结合.典例3已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),当x1,3)时, f(x)=ln x,若在区间1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.ln33,1eB.ln39,13eC.ln39,12eD.ln39,ln33答案B(1)利用 f(x)=fx3,求当x1,3)时, f(x)的解析式,及当x3,9)时, f(x)的解析式.(2)参数a是直线y=ax的斜率,进行数形结合求a的取值范围.1.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x0,1时, f(x)=x,若在区间(-1,3)内,关于x的方程f(x)=kx+k(kR)有4个根,则k的取值

15、范围是()A.0k14或k=36B.0k14C.0k14或k=36D.0k14答案B根据周期性和对称性可作出f(x)的图象,直线y=kx+k(kR)过定点(-1,0),结合图象,若(-1,3)内有四个交点,可知k0,14.若直线y=kx+k与曲线y=f(x)在(2,3)上相切,联立方程y=x-2,y=kx+kky2-y+3k=0,令=0,得k=36,当k=36时,解得x=5(2,3).综上所述k0,14.2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=log12(x+1),x0,1),1-|x-3|,x1,+),则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0a0时,函数图象由两部分构成,

16、分别作出各部分图象.函数F(x)的零点即为方程f(x)-a=0的根,即y=f(x)的图象与直线y=a的交点.观察图象可得有5个交点,x1,x2关于直线x=-3对称,x1+x2=-6,x30且满足方程f(x3)=a-f(x3)=-af(-x3)=-a,即log12(-x3+1)=-a,解得x3=1-2a,x4,x5关于直线x=3对称,x4+x5=6.x1+x2+x3+x4+x5=1-2a.3.已知函数f(x)=loga(x+1),-1x1,f(2-x)+a-1,1x0,a1),若x1x2,且f(x1)=f(x2),则x1+x2的值()A.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.与a相关答案B设f(x

17、1)=f(x2)=t,不妨设-1x11x23,则-12-x21,loga(x1+1)=tx1=at-1,loga(3-x2)+a-1=tx2=3-at+1-a,x1+x2=2+at-at+1-a,若0a1,则y=ax为减函数,且tat+1-a,x1+x22,若a1,则y=ax为增函数,且tt+1-aatat+1-a,x1+x22,x1+x2的值恒大于2.A组基础达标1.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.437 5)=0.162f(1.

18、406 25)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为() A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5答案C2.(2020北京师范大学实验中学期中)函数y=ln(x+1)的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B3.(2020河北唐山一中期末)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),1,32内,则与f(0)符号相同的是()A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f32答案C4.(2020山西大学附中期中)若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零

19、点,则-x0一定是下列哪个函数的零点()A.y=f(-x)ex-1B.y=f(x)e-x+1C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+1答案C5.已知函数f(x)=15x-log3x,若x0是函数y=f(x)的零点,且0x1x0,则f(x1)的值()A.恒为正B.等于0C.恒为负D.不大于0答案A6.已知函数f(x)=6x-log2x,则函数f(x)的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)答案C7.函数f(x)=1-xlog2x的零点所在的区间是()A.14,12B.12,1C.(1,2)D.(2,3)答案C8.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义

20、域内的零点的个数为()A.0B.1C.2D.3答案C9.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则()A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0答案A因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-20,所以f(a)=0时,a(0,1).又g(x)=ln x+x2-3在(0,+)上单调递增,且g(1)=-20,所以g(a)0,所以g(b)=0时,b(1,2),又f(1)=e-10,所以f(b)0.综上可知,g(a)0f(b).B组能力拔高10.已知函数f(x)=2x+lo

21、g2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2xlog2x-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.bacB.cbaC.cabD.abc答案D令f(x)=2x+log2x=0,则log2x=-2x.令g(x)=2-x+log2x=0,则log2x=-2-x.令h(x)=2xlog2x-1=0,则2xlog2x=1,log2x=12x=2-x.所以函数f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2xlog2x-1的零点问题可以转化为函数y=log2x的图象与函数y=-2x,y=-2-x,y=2-x的图象的交点问题,作出函数y=log2x的图象与函数y

22、=-2x,y=-2-x,y=2-x的图象,如图所示.由图可知,0ab1,所以abc.故选D.11.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x0,1时, f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是()A.8B.4C.3D.2答案B由题意知f(x)是周期为2的偶函数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)的大致图象与函数y=log3|x|的大致图象,如图所示.观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.12.方程2x+3x=k的解在1,2)内,则k的取值范围是.答案5,10)解析令f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是

23、增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时, f(1)f(2)0,即(5-k)(10-k)0,解得5k0时,只需满足f(1)=-3k-4-43,即k0;当k0k0有3个不同的零点,则实数a的取值范围是.答案49,1解析依题意,要使函数f(x)有三个不同的零点,则当x0时,方程2x-a=0,即2x=a必有一个根,此时00时,方程x2-3ax+a=0有两个不等的实根,即=9a2-4a0,3a0,a0,解得a49.综上所述,实数a的取值范围是490),且关于x的方程g(x)=m+f(x)在1,2上有解,求m的取值范围.解析(1)证明:任取x1,x2(-,+),令x1x2,则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2 2x1+12x2+1,x1x2,02x1+12x2+11,log2 2x1+12x2+10,f(x1)f(x2),函数f(x)在(-,+)上单调递增.(2)g(x)=m+f(x),m=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2 2x-12x+1=log2 1-22x+1,1x2,22x4,log2 13log21-22x+1log2 35,故m的取值范围为log213,log235.