新东方名师讲解：数学最短路线问题解析与拓展.doc

1、新东方名师讲解：数学最短路线问题解析与拓展【数学网编者按】为了让考生更有针对性的应对2019年中考，数学网中考频道特邀一批深悉中考题型脉络，同时又掌握考生易错点的新东方优能中学一线名师，针对不同题型进行精准定位、方法解析，希望能给参加2019年高考的考生带来便利。一、引言两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。对于此问题，可以将河岸看作一根直线l，选择

2、A点或B点中任意一点作其关于直线l的对称点。如图所示，若选择A点作对称点A，将A与B点连接起来，与直线l的交点P即是所要求的饮马点。为什么是这样呢？因为对于河岸上任意非P的点P，其到A、B两点的距离相当于?AB的两条边PB和PA，而P到这两点的距离之和为AB，根据三角形两边之和大于第三边的性质，可以得出PA+PB一定是最短问题。二、引申与变式对于此问题可以提炼为：若一个动点在直线上运动，一定能找到它到直线同侧两个定点距离之和最小的点。最基本的问题方式就是找使得AP+BP最小的P点位置。而随着学生年级的增加，知识量的扩大，可以引申出不同知识模块下的最短路线问题。1、学生学习勾股定理后，可以利用勾

3、股定理求应用题中的最短距离例1 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC10千米，BD30千米，且CD30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解析：只要读懂题并将其转化成数学表达式，会发现这就是最基本的找AM+BM最短问题。2、在学习直角坐标系后，可以将最短路线问题跟坐标点结合例2 在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =_时，AC + BC的值最小。解析：A、B两点坐标给定也就是固定的，C点横坐标固定而纵坐标

4、未知，也就意味着其在直线x=1上运动，只需要会找对称的坐标点就可以了。3、在学习了四边形，了解了正方形性质后，可以在正方形内构造最短路线问题例3 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一动点，DNMN的最小值为_。解析：关键是要能判断出来，M点关于AC的对称点是在BC的对应位置上，利用勾股定理很容易求出DM的长度。4、在初三学习了圆后，可以将此类问题构造到圆内例4 如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若?O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_解析：本题想到用最短路问题的思路解决并不难。但如何构造对称点，尤其是构造出对称点后

5、，如何求AB长度是难点。这里观察发现三等分点和中点这样的条件，想到可以找圆心角，从而构造出特殊的等腰直角三角形AOB。最短路问题除了随着年级增加而采用不同的知识包装外，其问题本身也可能会进行变式，从而产生一些更有难度的题目。但只要剥离外衣我们就会发现，这仍然是最短路线问题。对于学生而言，掌握最短路线问题的关键，是要完全理解点的对称。即使问题不是两个定点和一个在直线上运动的动点，但只要是两段距离之和，则都要思考是否可以通过对称，5、将折线问题转化为直线问题，从而判断出最短距离例5 如图，在锐角ABC中，AB42，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN

6、的最小值是_解析：此问题的难点是M、N均为动点，会较难联想到用最短路线问题去做。而事实上，由于AD是角平分线，所以N关于AD的对称点一定在AC上，那么BM+MN的最小值可以转化为B到直线AC的最小值，此时显然过B作AC垂线是最短的。另一种较有代表性的变式方式是，并不直接求两线段的距离之和，而用较为隐晦的方式来表达此意思。例如，问题是求三角形的周长最短。若其中一条边的长度是固定的，其实质还是求两折线的最短距离。例6 已知：抛物线的对称轴为x=-1，与 轴交于 两点，与 轴交于点 其中 、 （1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得 的周长最小请求出点P的坐标（3）若点 是

7、线段 上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作 交 轴于点 连接 、 设 的长为 ， 的面积为 求 与 之间的函数关系式试说明 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由解析：第一问求出抛物线表达式并不难。第二问求 的最短周长，P点其实是在对称轴x=-1上的动点，而B、C分别是定点， 的周长就转化为求PB+PC的最短值。显然，这里B的对称点就是A，直接连接AC就可以得到P点。语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章

8、的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；

9、有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高

10、，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。三、思考与总结最短路线问题的出题背景是极其广泛的，可以变式出角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等，可以考察的核心知识点包括两点之间线段最短，垂线段最短，点关于线对称，线段的平移。近来，还考察有三折线转化为直线，以及位于直线两侧的两定点和直线上动点之间距离之差最大的问题。对于我们解决这类题而言，无论题目怎么变化，其核心点是万变不离其宗的，这个宗就是找点关于线的对称点，从而实现将折线转化为直线的问题。