《名校推荐》江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：整数的简单性质2 WORD版缺答案.doc

1、 整数的简单性质（二）（一）知识、技能、方法一、质（素）数与合数一个大于1的整数，仅有1和它本身这两个正因数，则这样的正整数叫做质数或素数.一个正整数除1和它本身外，还有其他正因数，则这样的正整数叫做合数.显然全体正整数=1质数合数.（1）若，则的除1以外的最小因数q是一个素数.如果qa，则；（2）若p是素数，a为任一整数，则必有p | a或（a，p）=1；（3）设为n个整数，p为素数，且，则p必能整除某个；（4）对任给整数，总可以找到个相邻的合数.若是合数，则有平方不大于的素因数.二、几个重要定理（1）（埃氏筛法）设为正整数，且不被不超过的素数整除，则为素数.（2）（欧几里得）素数有无限多个

2、.（3）（算术基本定理）每个大于1的整数，都可以惟一地分解成素因数的乘积（不计因数的顺序）.即，任何大于1的整数能惟一地写成（其中是质数，是正整数，），称上式为整数的标准分解式.（4）设大于1的整数的标准分解式为为质数，均为非负整数），则其正因数；所有正因数的个数为；所有正因数之和为.（5）为平方数的充要条件是为奇数.（6）在n！的标准分解式中，质因数p的最高指数p(n!)=，这里，是非负整数.三、最大公约数与最小公倍数1、定义设、是两个不全为0的整数，若整数c满足：，则称的公约数；的所有公约数中的最大者称为的最大公约数，记为. 如果=1，则称互质或互素.如果、的倍数，则称、的公倍数；的公倍数

3、中最小的正数称为的最小公倍数，记为.最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用表示的最大公约数，表示的最小公倍数.2、定理 ，. 设a、b、c是三个不全为0的整数，且有整数t使得，则，即.3、性质（1），则.（2）设为的公约数，则.特别地，若，则.（3）设是任意n个正整数，如果，则.（4）（裴蜀定理）若整数不全为零，则存在，使得.特别地，存在使得.（5）若，则，.（6）； 为的任一公倍数，则.（7），特别地，若.（8）设是任意个正整数，若，则.（二）例题分析例1、对任意整数，证明分数是既约分数.例2、求下列两组数的最大公约数与最小公倍数：（1）169，121； （2）-18

4、59，1573.例3、证明：存在无数个自然数，使得为合数.例4、设为素数，求证：是2的非负整数次幂.例5、已知，证明：（1）；（2）；（3）若，则或.例6、设是正整数，且，它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，求.例7、设，若，则.例8、已知，若，则.例9、设正整数的最大公约数是1，并且，证明是一个完全平方数.例10、都是正整数，是否存在整数使得对任意的正整数，与互质？例11、求出所有的正整数对，使得是一个整数.例12、求出最小正整数，使其恰有144个正约数，并且其中有10个连续整数.例13、有多少个正整数对，使得和成立？例14、求最大的自然数，使得对每一个自然数，能整除.例15、求所有正整数、，使得，是与的最大公约数.