2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用讲义：第八章 立体几何与空间向量8-4 WORD版含答案.docx

1、8.4直线、平面平行的判定与性质最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直

2、线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)lb2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab知识拓展重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面

3、()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(6)若，直线a，则a.()题组二教材改编2P61A组T1(1)下列命题中正确的是()A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b答案D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与内的直线也可能异面；

4、C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b，正确3P62A组T3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_答案平行解析连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.题组三易错自纠4若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一与a平行的直线答案A解析当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的

5、直线，故选A.5设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：a，b，a，b；，；，；a，b，ab.其中能推出的条件是_(填上所有正确的序号)答案解析在条件或条件中，或与相交；由，条件满足；在中，a，abb，又b，从而，满足6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_答案平行四边形解析平面ABFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG，EFHG.同理EHFG，四边形EFGH是平行四边形题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定典例如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分

6、别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.证明(1)连接EC，ADBC，BCAD，BC綊AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点又F是PC的中点，FOAP，又FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，又PD平面PAD，FH平面PAD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，又AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.命题点2直线与平面平行的性

7、质典例 (2017长沙调研)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD底面ABCD，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面

8、ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.思维升华 判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性质(，aa)(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)跟踪训练 (2016全国)如图，四棱锥P-

9、ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体N-BCM的体积(1)证明由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体N

10、-BCM的体积V四面体N-BCMSBCM.题型二平面与平面平行的判定与性质典例 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.又A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.

11、又A1EEFE，A1E，EF平面EFA，平面EFA1平面BCHG.引申探究在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1.又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D.思维升华 证明面面平行的方法(

12、1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化跟踪训练 (2018唐山质检)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.证明(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.因为BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE

13、平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN.因为DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN.因为BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.因为DEBDD，BD，DE平面BDE，所以平面BDE平面MNG.题型三平行关系的综合应用典例如图所示，平面平面，点A，点C，点B，点D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD.(1)求证：EF平面；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长(1)证明当AB，CD在同一平面内时，

14、由平面平面，平面平面ABDCAC，平面平面ABDCBD知，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF平面.当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD平面DH，且DHAC，平面平面，平面平面ACDHAC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AGGHCFFD，连接EG，FG，BH.又AEEBCFFDAGGH，GFHD，EGBH.又EGGFG，BHHDH，平面EFG平面.又EF平面EFG，EF平面.综合可知，EF平面.(2)解如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且MEBD3，MFAC2.EMF为AC

15、与BD所成的角或其补角，EMF60或120.在EFM中，由余弦定理得EF，即EF或EF.思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决跟踪训练如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH；(2)若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的取值范围(1)证明四边形EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.又EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB，EFAB，又AB平面EFGH，EF平面EFGH，AB平面

16、EFGH.同理可证，CD平面EFGH.(2)解设EFx(0x4)，EFAB，FGCD，则1.FG6x.四边形EFGH为平行四边形，四边形EFGH的周长l212x.又0x4，8l12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)1若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C与直线l至少有两个公共点D内的直线与l都相交答案B解析因为l，直线l不平行于平面，所以直线l只能与平面相交，于是直线l与平面只有一个公共点，所以平面内不存在与l平行的直线2已知直线a和平面，那么a的一个充分条件是()A存在一条直线b，ab且bB存在一条直线b，ab且bC存在一个平面，a且D

17、存在一个平面，a且答案C解析在A，B，D中，均有可能a，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确3(2018攀枝花质检)平面平面，点A，C，点B，D，则直线AC直线BD的充要条件是()AABCD BADCBCAB与CD相交 DA，B，C，D四点共面答案D解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知ACBD.必要性显然成立4一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()Al BlCl与相交但不垂直 Dl或l答案D解析当l时，直线l上任意点到的距离都相等；当l时，直线l上所有的点到的距离都是0；当l时，

18、直线l上有两个点到的距离相等；当l与斜交时，也只能有两个点到的距离相等故选D.5对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，n，则mn D若m，n，则mn答案D解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确6如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A垂直 B相交不垂直C平行 D重合答案C解析如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形A

19、MBNCL，因为PQAL，PRAM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR平面AMBNCL，即平面LMN平面PQR.7(2018重庆模拟)在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE，则EMMA12，ENBN12，所以MNAB.所以MN平面ABD，MN平面ABC.8设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有_答案或解析由面面平行的性质定理可知，正确；当n

20、，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确9(2017承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.10(2018海口调研)将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍

21、是真命题，则该命题称为“可换命题”给出下列四个命题：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两直线平行；平行于同一平面的两直线平行其中是“可换命题”的是_(填序号)答案解析由线面垂直的性质定理可知是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命题，故不是“可换命题”11(2017南昌模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面AB

22、CD，底面ABCD为梯形，ABCD，AB2DC2，且PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为PAD的重心(1)求证：GF平面PDC；(2)求三棱锥GPCD的体积(1)证明方法一连接AG并延长交PD于点H，连接CH.由梯形ABCD中ABCD且AB2DC知，.又E为AD的中点，G为PAD的重心，.在AHC中，故GFHC.又HC平面PCD，GF平面PCD，GF平面PDC.方法二过G作GNAD交PD于N，过F作FMAD交CD于M，连接MN，G为PAD的重心，GNED.又ABCD为梯形，ABCD，MF，GNFM.又由所作GNAD，FMAD，得GNFM，四边形GNMF为平行四边形GFMN，又GF平

23、面PCD，MN平面PCD，GF平面PDC.方法三过G作GKPD交AD于K，连接KF，GK，由PAD为正三角形，E为AD的中点，G为PAD的重心，得DKDE，DKAD，又由梯形ABCD中ABCD，且AB2DC，知，即FCAC，在ADC中，KFCD，又GKKFK，PDCDD，平面GKF平面PDC，又GF平面GKF，GF平面PDC.(2)解方法一由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，知PEAD，BEAD，又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，且PE3，由(1)知GF平面PDC，V三棱锥GPCDV三棱锥FPCDV三棱锥PCDFPESCDF.又由

24、梯形ABCD中ABCD，且AB2DC2，知DFBD，又ABD为正三角形，得CDFABD60，SCDFCDDFsinBDC，得V三棱锥PCDFPESCDF，三棱锥GPCD的体积为.方法二由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，知PEAD，BEAD，又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，且PE3，连接CE，PGPE，V三棱锥GPCDV三棱锥EPCDV三棱锥PCDEPESCDE，又ABD为正三角形，得EDC120，得SCDECDDEsinEDC.V三棱锥GPCDPESCDE3，三棱锥GPCD的体积为.12.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面A

25、BCD，底面ABCD为正方形，BCPD2，E为PC的中点，CB3CG.(1)求证：PCBC；(2)AD边上是否存在一点M，使得PA平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由(1)证明因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.因为四边形ABCD是正方形，所以BCCD.又PDCDD，PD，CD平面PCD，所以BC平面PCD.因为PC平面PDC，所以PCBC.(2)解连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，延长GO交AD于点M，连接EM，则PA平面MEG.证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点，所以EOPA.因为EO平面MEG，PA平面MEG，所以PA平面MEG.因为O

26、CGOAM，所以AMCG，所以AM的长为.13(2018南昌质检)在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45答案C解析因为截面PQMN是正方形，所以MNQP，又PQ平面ABC，MN平面ABC，则MN平面ABC，由线面平行的性质知MNAC，又MN平面PQMN，AC平面PQMN，则AC截面PQMN，同理可得MQBD，又MNQM，则ACBD，故A，B正确又因为BDMQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45，故D正确14(2017山西太原五中月考)过三棱柱ABCA1B1C1的任

27、意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条答案6解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG中(其中D，E，F，G分别为AC，BC，B1C1，A1C1的中点)易知经过D，E，F，G中任意两点的直线共有C6(条)15如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN平面DCC1D1，设BNx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是()答案C解析过M作MQDD1，交AD于点Q，连接QN.MN平面DCC1D1，MQ平面DCC1D1

28、，MNMQM，平面MNQ平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，NQDC，可得QNCDAB1，AQBNx，2，MQ2x.在RtMQN中，MN2MQ2QN2，即y24x21，y24x21(x0，y1)，函数yf(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分故选C.16(2018哈尔滨模拟)在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为_答案解析如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SGAC，BGAC，SGBGG，SG，BG平面SGB，故AC平面SGB，所以ACSB.因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，则SBHD.同理SBFE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形又ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四边形DEFH为矩形，其面积SHFHD.