2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高二（上）期中数学试卷.docx

1、2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1. 直线x2021的倾斜角为（ ）A.90B.0C.180D.452. 已知向量a=(1,2,t),b=(t,1,2)，且ab，则实数t（ ）A.1B.-1C.-23D.233. 若直线l1:ax+y+10与直线l2:x+ay+2a-10平行，则实数a（ ）A.1B.-1C.0D.14. 已知三棱柱ABC-A1B1C1，点P为线段B1C1的中点，则AP=( )A.12AB+AC+12AA1B.AB+12AC+12AA1

2、C.12AB+12AC-AA1D.12AB+12AC+AA15. 已知二面角-l-的大小为60，A，B为棱l上不同两点，C，D分别在半平面，内，AC，BD均垂直于棱l，ACBD2AB2，则异面直线CD与AB所成角的余弦值为（ ）A.15B.55C.13D.126. 若过原点的直线l与圆x2-4x+y2+30有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为（ ）A.(-3,3)B.(-6,6)C.0,6)(56,)D.0,3)(23,)7. 已知椭圆C:x24+y21上两点A，B，若AB的中点为D，直线OD的斜率等于1，则直线AB的斜率等于（ ）A.-1B.1C.-12D.-148. 已知圆O:x2+y2r

3、2(r0)与直线x2+y2=1交于A，B两点，且|AB|23，则圆O与函数f(x)ln(x-1)的图象交点个数为（ ）个A.2B.1C.0D.3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9. 已知直线l:x-my+m-10，则下述正确的是（ ）A.直线l的斜率可以等于0B.直线l的斜率有可能不存在C.直线l可能过点(2,1)D.若直线l的横纵截距相等，则m110. 已知椭圆C:16x2+25y2400，关于椭圆C下述正确的是（ ）A.椭圆C的长轴长为10B.椭圆C的两个焦点分别为(0,

4、-3)和(0,3)C.椭圆C的离心率等于35D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|=32511. 已知点F1(-1,0)，F2(1,0)，动点P到直线x2的距离为d，|PF2|d=22，则（ ）A.点P的轨迹是椭圆B.点P的轨迹曲线的离心率等于12C.点P的轨迹方程为x22+y2=1D.PF1F2的周长为定值4212. 已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）A.异面直线AC与BD所成角为60B.点A到平面BCD的距离为263C.四面体ABCD的外接球体积为6D.动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为60，则点P的轨迹是椭圆三、填空题：本

5、题共4个小题，每小题5分，共20分.)13. 圆C1:x2+y2+4x0与圆C2：(x-2)2+(y-1)29的位置关系为_14. 已知椭圆x2m+y29=1的离心率等于13，则实数m_15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P为线段AC1上一点，|PA|1，则点P到平面ABCD的距离为_33 16. 在平面直角坐标系中，A(1,2)，D(2,1)，点B，C分别在x轴、y轴上，则： （1）|AB|+|BD|的最小值是_；（2）|AC|+|CB|+|BD|的最小值是_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. 已知O为坐标原点，直线l:

6、ax+y-a-10(aR)，圆O:x2+y21 （1）若l的倾斜角为120，求a；（2）若l与直线l0:2x-y0的倾斜角互补，求直线l上的点到圆O上的点的最小距离；（3）求点O到l的最大距离及此时a的值18. 在平面直角坐标系中，圆C过点E(1,0)和点F(0,1)，圆心C到直线x+y0的距离等于2 （1）求圆C的标准方程；（2）若圆心C在第一象限，M为圆C外一点，过点M做圆C的两条切线，切点分别为A，B，四边形MACB的面积为3，求点M的轨迹方程19. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD平面ABCD，M为PC中点 （1）如果PD4，求证：PC平面MAD；（2）当B

7、P与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥D-MBC的体积V20. 在平面直角坐标系中，C1(0,-2)，圆C2:x2+(y-2)2=12，动圆P过C1且与圆C2相切 （1）求动点P的轨迹C的标准方程；（2）若直线l过点(0,1)，且与曲线C交于A，B，已知A，B中点在直线x=-14上，求直线l的方程21. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，BCF为等边三角形，ABC60，AB2，EF/CD，平面BCF平面ABCD （1）证明：在线段BC上存在点O，使得平面ABCD平面AOF；（2）求二面角B-AF-C的余弦值；（3）若ED/平面AOF，求线段EF的长度22. 已知O为坐标

8、原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆与直线x=-2相切 （1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于M，N两点；()若直线l的斜率等于1，求OMN面积的最大值；()若OMON=-1，点D在l上，ODl证明：存在定点W，使得|DW|为定值参考答案与试题解析2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A2. C3. B4. D5. B6. C7. D8.

9、A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. B,D10. A,C,D11. A,C12. B,C,D三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 相交14. 8或81815. 3316. 1032四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 由直线l的倾斜角为120，可得直线l的斜率等于tan120=-3，又直线l的斜率为-a，得-a=-3，即a=3； 直线l与直线l0:2x-y0的倾斜角互补， 两者斜率互为相反数，得-a-2，即a

10、2，则l:2x+y-30则圆心O到直线l的距离d=3551， 直线l上的点到圆O上的点的最小距离为355-1；由ax+y-a-10，得a(x-1)+y-10， 直线l恒过定点M(1,1)， O到l的最大距离小于等于|OM|=2，此时，OMl， kOMkl-1，即1(-a)-1，得a118. 因为圆C过点E(1,0)和点F(0,1)，所以圆心C在线段EF的垂直平分线yx上，所以可设圆心为C(a,a)，因为圆心C到直线x+y0的距离等于2所以|a+a|2=2，解得a1，当a1时，圆心为(1,1)，半径r|EC|1，圆C的方程为：(x-1)2+(y-1)21当a-1时，圆心为(-1,-1)，半径r=

11、|EC|=5，圆C的方程为：(x+1)2+(y+1)25所以圆C的标准方程为：(x-1)2+(y-1)21或(x+1)2+(y+1)25由题知：因为CAMA，所以四边形MACB的面积SCAMB=2SCAM=|CA|AM|=3，因为|CA|1，所以|AM|=3，所以|CM|2|CA|2+|AM|24，所以|CM|2，点M的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆，所以点M的轨迹方程为：(x-1)2+(y-1)2419. PD平面ABCD，PD平面PCD， 平面PCD平面ABCD， 底面ABCD是正方形， ADDC，又AD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD， AD平面PCD，得ADPC， PDDC4，

12、M为PC的中点， DMPC，而ADDMD， PC平面MAD；设DP2t，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(4,4,0)，P(0,0,2t)，M(0,2,t)，DB=(4,4,0)，DM=(0,2,t)，BP=(-4,-4,2t)，设平面MBD的法向量为n=(x,y,z)，则nDM=0nDB=0，即2y+tz=04x+4y=0，取y-1，得n=(1,-1,2t)， BP与平面MBD所成角的正弦值为|cos|=|-4|16+16+4t21+1+4t2=480+128t2+8t213（当且仅当128t2=8t2，即t2时等号成立）

13、 三棱锥D-MBC的体积VD-MBC=VM-DBC=12VP-DBC=14VP-ABCD=1413444=16320. 设动圆P的半径为r，由题意知：|PC1|r，|PC2|=23-r，所以|PC1|+|PC2|=23|C1C2|=22，所以P点的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，其长轴长2a=23，焦距为2c=22，b=a2-c2=1，所以曲线C的标准方程为：y23+x2=1若直线斜率不存在，则A，B关于x轴对称，不合题意，若直线斜率存在，设其方程为ykx+1，将ykx+1代入y23+x2=1得：(3+k2)x2+2kx-20，所以x1+x2=-2k3+k2，所以x1+x22=-k3+k2=-

14、14，所以k2-4k+30，解得k1或k3，所以，直线l的方程为：yx+1或y3x+121. 证明：取线段BC的中点O，连接OA，OF，因为BCF、ABC均为等边三角形，所以BCOA，BCOF，OAOFO，所以BC平面AOF，又因为BC平面ABCD，所以平面ABCD平面AOF，所以，线段BC的中点O，使得平面ABCD平面AOF因为平面BCF平面ABCD，平面BCF平面ABCDBC，FOBC所以FO平面ABCD，所以OA，OB，OF两两垂直以OA、OB、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系O-xyz则A(3,0,0,),B(0,1,0),F(0,0,3),C(0,-1,0),D(3,-2,0)，

15、设平面ABF的一个法向量m=(x1,y1,z1)，因为AB=(-3,1,0)，AF=(-3,0,3)，由mAB=0mAF=0，得-3x1+y1=0-3x1+3z1=0，所以m=(1,3,1)设平面ACF的一个法向量n=(x2,y2,z2)，因为CA=(3,1,0)，CF=(0,1,3)由mCA=0mCF=0，得3x2+y2=0y2+3z2=0，令x21，则y2=-3，z21，所以n=(1,-3,1)，设二面角B-AF-C的平面角为，所以cos=|mn|m|n|=15，所以二面角B-AF-C的余弦值15因为EF/CD/AB，设FE=tBA=(3t,-t,0)，B(0,1,0)，所以D(3,-2,

16、0)，E(3t,-t,3)，则DE=(3t-3,2-t,3)，又因为平面AOF的一个法向量为OB=(0,1,0)，因为DEOB=(3t-3,2-t,3)(0,1,0)2-t0，所以t2，所以|FE|=2|BA|=422. 由题意知：F1(-1,0)，F2(1,0)，由椭圆定义知，所以2a=|PF1|+|PF2|=22，设椭圆的半焦距为c，所以b2+c2a2，所以a=2，b1，c1，所以椭圆C的标准方程为：x22+y2=1()设直线l的方程为：ykx+t将ykx+t，代入x22+y2=1得：(1+2k2)x2+4ktx+2t2-20，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以x1+x2=-4kt

17、1+2k2，x1x2=2t2-21+2t2，又因为k1，得|AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=43-t23，点O到直线l的距离d=|t|1+k2=|t|2，所以SAOB=12|t|243-t23=23t2(3-t2)23(t2+3-t22)=22，等号当仅当t23-t2时取，即当t=62时，OMN的面积取最大值为22()显然直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：ykx+t，由()知：x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2，所以y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=t2-2k21+2k2，所以OMON=x1x2+y1y2=3t2-2-2k21+2k2=-1，解得t2=13，t=33，直线ykx33过定点Z(0,33)或(0,-33)所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为W(0,36)或(0,-36)，半径等于36，所以存在定点W(0,36)或(0,-36)，使得|DW|为定值