2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-3-1　平面向量基本定理 WORD版含解析.docx

1、6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课标解读课标要求核心素养1.了解基底的含义.(一般)2.理解平面向量基本定理及其意义.(重点)3.会用基底表示平面内任一向量.(难点)1.通过平面向量基本定理的探究,用基底表示平面内任一向量,逐步形成数学抽象素养.2.借助向量解决几何问题培养直观想象素养.问题1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和.答案可以.问题2:如果e1,e2是两个不共线的向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?依据是什么?答案能.依据数乘向量和平行四边形法

2、则.平面向量基本定理条件e1,e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2基底若e1,e2不共线,我们把e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底思考1:0能与另外一个向量a构成基底吗?提示不能,基底是不共线的,0与任意向量都是共线的.思考2:同一平面内向量的基底是唯一的吗?提示不唯一,但基底一旦确定,平面内任一向量都可以用这一基底唯一表示.探究一基底的概念例1(多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,则下列向量组中,可作为这个平行四边形所在平面内一个基底的是()A.AD,ABB.DA,BCC.CA,DCD.OD,OB

3、答案AC解析A中,AD与AB不共线;B中,DA=-BC,则DA与BC共线;C中,CA与DC不共线;D中,OD=-OB,则OD与OB共线.由平面向量基底的概念知,只有不共线的两个向量才能构成一个基底.故选AC.思维突破能作为向量基底的条件(1)两个向量不共线,基底的选择是不唯一的.(2)零向量与任意向量共线,不能作为基底.1-1设e1,e2是平面内一个基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是()A.e1+e2,e1-e2B.3e1-2e2,4e2-6e1C.e1+2e2,e2+2e1D.e2,e2+e1答案B4e2-6e1=-2(3e1-2e2),两个向量共线,不能作为基底.1-2已知e1、e2

4、不共线,a=e1+2e2,b=2e1+e2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数的取值范围为.答案(-,4)(4,+)解析若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线,则akb(kR),又a=e1+2e2,b=2e1+e2,4.探究二用基底表示向量例2(2020江苏南京高一期中)如图所示,在OAB中,OA=a,OB=b,点M是AB上靠近点B的一个三等分点,点N是OA上靠近点A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P,求OP.解析OA=a,OB=b,OM=OA+AM=OA+23AB=OA+23(OB-OA)=13a+23b.OP与OM共线,可设OP=tOM=t3a+2t3b.又NP与NB共线

5、,可设NP=sNB,则OP=ON+sNB=34OA+s(OB-ON)=34(1-s)a+sb,34(1-s)=t3,s=23t,解得t=910,s=35,OP=310a+35b.思维突破用基底表示向量的方法(1)选基底:选取两个不共线的向量作为基底表示其他向量.(2)依据:向量加法的三角形法则和平行四边形法则;向量减法的几何意义;数乘向量的几何意义.(3)方法:运用向量的线性运算法则对所求向量进行转化;通过列方程(组)求解.2-1(多选题)(2020山东青岛高一期末)D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB上的中点,且BC=a,CA=b,则下列结论正确的有()A.AD=-12a-bB.BE=

6、a+12bC.CF=-12a+12bD.EF=12a答案ABC如图所示,AD=AC+CD=-b+12CB=-12a-b,A正确;BE=BC+CE=a+12b,B正确;AB=AC+CB=-b-a,CF=CA+12AB=b+12(-b-a)=12b-12a,C正确;EF=12CB=-12a,D不正确.2-2如图所示,已知在ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点.若AB=a,AD=b,试用a,b表示向量DE,BF.解析四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,DC边上的中点,AD=BC=2BE,CD=BA=2CF,BE=12AD=12b,CF=12CD=12BA=-12AB=-12a,DE

7、=DA+AB+BE=-AD+AB+BE=-b+a+12b=a-12b,BF=BC+CF=AD+CF=b-12a.探究三利用平面向量基本定理解决平面几何问题例3(易错题)如图所示,L,M,N分别为ABC的边BC,CA,AB上的点,且BLBC=l,CMCA=m,ANAB=n,若AL+BM+CN=0,求证:l=m=n.证明令BC=a,CA=b,a,b为一个基底,根据已知有BL=la,CM=mb.AB=AC+CB=-a-b,则有AN=nAB=-na-nb,AL=AB+BL=(l-1)a-b,BM=BC+CM=a+mb,CN=CA+AN=-na+(1-n)b,又AL+BM+CN=0,(l-n)a+(m-

8、n)b=0.根据平面向量基本定理,有l-n=m-n=0,即l=m=n.易错点拨常因不能恰当选择基底而找不到突破口,导致无从下手,造成失分.平面向量基本定理在解决几何问题中的作用(1)平面向量基本定理提供了向量的几何表示方法.(2)由平面向量基本定理可知,任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,恰当选择基底是解决问题的关键.3-1用向量法证明三角形的三条中线交于一点.证明如图,设D,E,F分别是ABC的三边BC,AC,AB的中点,令AC=a,BC=b,则AB=a-b,AD=a-12b,BE=-12a+b.设AD与BE交于点G,且AG=AD,BG=BE,则有AG

9、=a-2b,BG=-2a+b,又有AG=AB+BG=1-2a+(-1)b,=1-2,-2=-1,解得=23,AG=23a-13b,CG=CA+AG=-a+23a-13b=-13a-13b=2312(-a-b).而CF=12(-a-b),CG=23CF.点G是CF上一点,三角形的三条中线交于一点.1.e1,e2是平面内一个基底,下面说法正确的是()A.若实数1,2使1e1+2e2=0,则1=2=0B.空间内任一向量a可以表示为a=1e1+2e2(1,2为实数)C.对实数1,2,1e1+2e2不一定在该平面内D.对平面内任一向量a,使a=1e1+2e2的实数1,2有无数对答案A由基底的定义可以知道

10、,e1和e2是平面上不共线的两个向量,所以若实数1,2使1e1+2e2=0,则1=2=0,不是空间任一向量都可以表示为a=1e1+2e2,而是平面中的任一向量a,可以表示为a=1e1+2e2的形式,此时实数1,2有且只有一对,而对实数1,2,1e1+2e2一定在平面内,所以A正确.2.设D为ABC所在平面内一点,若BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC答案A因为BC=3CD,所以AC-AB=3(AD-AC)=3AD-3AC,所以3AD=4AC-AB,所以AD=43AC-13AB=-13AB+43AC

11、.3.已知向量a,b不共线,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D答案ABC=-5a+6b,CD=7a-2b,BD=BC+CD=2a+4b,又AB=a+2b,2AB=BD,ABBD.又AB与BD有公共点B,A,B,D三点共线.4.已知向量a,b是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为.答案3解析因为a,b是一组基底,所以a与b不共线.因为(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,所以3x-4y=6,2x-3y=3,解得x=6,y=3,所以x-y=

12、3.5.如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=OA+OB(,R),求+的值.解析如图,以OC为对角线作OMCN,使得M在直线OA上,N在直线OB上,则存在,使OM=OA,ON=OB,即OC=OM+ON=OA+OB.MON=120,MOC=30,OCM=90,在RtCOM中,|OC|=23,|OM|=4,|MC|=2,OM=4OA,又|ON|=|MC|=2,ON=2OB,OC=4OA+2OB,即=4,=2,+=6.数学运算利用方程思想求向量等式中的参数在ABC中,点P是AB上一点,且CP=2

13、3CA+13CB,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又CM=tCP,求t的值.审:条件中CP用基底CA,CB表示,而CM=tCP,要求t的值,需CM也用基底CA,CB表示,利用方程思想求解.联:三点共线的向量问题,把向量用基底表示,建立方程组.解:CP=23CA+13CB,3CP=2CA+CB,即2CP-2CA=CB-CP,即P为AB的一个三等分点,如图所示.设CM=xCQ+(1-x)CA=,而CB=AB-AC,CM=.又CP=CA-PA=-AC+13AB,由已知CM=tCP,可得x2AB+x2-1AC=t-AC+13AB,又AB,AC不共线,解得t=34.思:平面内任一向量利用平面向量基

14、本定理都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2的线性组合1e1+2e2.具体求1,2时的两种方法:(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.(2)利用待定系数法,即利用定理中1,2的唯一性列方程组求解.答案2AP=PBx2CB+(x-1)ACx2AB+x2-1ACx2=t3x2-1=-t(变结论)本例中,试问点M在AQ的什么位置?解析由例题知CM=x2AB+x-22AC及x=12,CB=2CQ知,CM=12x(CB-CA)+2-x2CA=x2CB+(1-x)CA=xCQ+(1-x)CA=CQ+CA2.因此,点M是AQ的中点.在ABC中,M是AB边所在直线上任意一点,若CM=

15、-2CA+CB,则=()A.1B.2C.3D.4答案CM是ABC中 AB边所在直线上任意一点,存在实数,使得AM=MB,即CM-CA=(CB-CM),化简,得CM=11+CA+1+CB,CM=-2CA+CB,11+=-2,1+=,解得=3,=-32.1.(多选题)(2019北京高一期末)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,可以作为平面内所有向量的一组基底的是()A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2D.e1+3e2与6e2+2e1答案ABC选项A中,设e1+e2=e1,则=1,1=0无解;选项B中,设e1-2e2=(e1+2e2),

16、则1=,-2=2无解;选项C中,设e1+e2=(e1-e2),则=1,1=-无解;选项D中,e1+3e2=12(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.2.如图,在OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则()A.x=23,y=13B.x=13,y=23C.x=14,y=34D.x=34,y=14答案A由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB,所以x=23,y=13.3.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且OA=a,OB=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则PR等于()

17、A.a-bB.2(b-a)C.2(a-b)D.b-a答案B如图所示,a=12(OP+OQ),b=12(OQ+OR),则b-a=12(OR-OP)=12PR,PR=2(b-a).4.如图,在四边形ABCD中,DC=13AB,E为BC的中点,且AE=xAB+yAD,则3x-2y=()A.12B.32C.1D.2答案C由题意,得AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12(-AB+AD+DC)=AB+12-AB+AD+13AB=23AB+12AD.AE=xAB+yAD,xAB+yAD=23AB+12AD.AB与AD不共线,由平面向量基本定理,得x=23,y=12.3x-2y=323-212=1.5.

18、已知a,b不共线,且c=1a+2b(1,2R),若c与b共线,则1=.答案0解析因为a,b不共线,所以a,b可以作为一组基底,又c与b共线,所以c=2b,所以1=0.6.如图,在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,M是DC的中点,以a,b为基底表示向量AM,则AM=.答案b+12a解析AM=AD+DM=AD+12DC=AD+12AB=b+12a.7.如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则mn的最大值为.答案1解析点O是BC的中点,AO=12(AB+AC),又AB=mAM,AC=nAN,AO=m2AM+n2AN,

19、又M,O,N三点共线,m2+n2=1,即m+n=2,mnm2+n22=1,当且仅当m=n=1时取等号,故mn的最大值为1.8.在OAB的边OA,OB上分别取M,N,使|OM|OA|=13,|ON|OB|=14,设线段AN与BM的交点为P,OA=a,OB=b,用a,b表示OP.解析如图所示:设MP=MB,NP=kNA,则有MP=MB=b-13a,从而OP=OM+MP=13a+b-13a=13(1-)a+b.又NP=kNA=ka-14b,OP=ON+NP=ka+14(1-k)b,由平面向量基本定理及a,b不共线可得13(1-)=k,=14(1-k),解得=211,从而OP=311a+211b.9.

20、(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法正确的是()A.AC=AB+ADB.BD=AD-ABC.AO=12AB+12ADD.AE=53AB+AD答案ABC由向量减法的三角形法则知,BD=AD-AB;由向量加法的平行四边形法则知,AC=AB+AD,AO=12AC=12AB+12AD.AE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB.故ABC正确,D错误.10.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,BC=3EC,F为AE的中点,则BF=()A.23AB-13ADB.13AB-23AD

21、C.-23AB+13ADD.-13AB+23AD答案CBF=BA+AF=BA+12AE=-AB+12AD+12AB+CE=-AB+12AD+12AB+13CB=-AB+12AD+14AB+16(CD+DA+AB)=-23AB+13AD.11.在平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,BE与AC相交于点F,若EF=mAB+nAD(m,nR),则mn的值是.答案-2解析解法一:根据题意可知AFECFB,所以EFFB=AECB=12,故EF=12FB=13EB=13(AB-AE)=13AB-12AD=13AB-16AD,又EF=mAB+nAD(m,nR),m=13,n=-16,mn=13-16=-

22、2.解法二:如图,AD=2AE,EF=mAB+nAD(m,nR),AF=AE+EF=mAB+(2n+1)AE,F,E,B三点共线,m+2n+1=1,mn=-2.12.在ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=,y=.答案12;-16解析由AM=2MC知M为AC上靠近点C的三等分点,由BN=NC知N为BC的中点,作图如下:则有AN=12(AB+AC),所以MN=AN-AM=12(AB+AC)-23AC=12AB-16AC,又因为MN=xAB+yAC,所以x=12,y=-16.13.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若D

23、E=1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为.答案12解析DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB)=-16AB+23AC.DE=1AB+2AC,1=-16,2=23,故1+2=12.14.如图,已知OCB中,A是CB的中点,D是将OB分成21的一个内分点,DC和OA交于点E,设OA=a,OB=b.(1)用a和b表示向量OC,DC;(2)若OE=OA,求实数的值.解析(1)由题意知,A是BC的中点,且OD=23OB,由平行四边形法则,得OB+OC=2OA,所以OC=2OA-OB=2a-b,DC=OC-OD=(2a-b)-23b=2a-53b.(2)由题意知,ECD

24、C,设EC=xDC.因为EC=OC-OE=(2a-b)-a=(2-)a-b,DC=2a-53b,所以(2-)a-b=x2a-53b.因为a与b不共线,由平面向量基本定理,得2-=2x,-1=-53x,解得x=35,=45,故=45.15.如图所示,在ABO中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M.设OA=a,OB=b.(1)试用向量a,b表示OM;(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M,设OE=OA,OF=OB,求证:1+3=7.解析(1)不妨设OM=ma+nb,一方面,由于A,D,M三点共线,则存在(-1)使得AM=MD,于是OM=OD+DM=OD-1(A

25、O+OM)=OD+1OA-1OM,OM=OA+OD1+,又OD=12OB,OM=OA+2OB1+=11+a+2(1+)b,则m=11+,n=2(1+),即m+2n=1;另一方面,由于B,C,M三点共线,则存在(-1)使得CM=MB,于是OM=OC+CM=OC+MB=OC+(OB-OM),OM=OC+OB1+,又OC=14OA,OM=14OA+OB1+=14(1+)a+1+b,则m=14(1+),n=1+,即4m+n=1.由可得m=17,n=37,OM=17a+37b.(2)证明:由于E,M,F三点共线,存在实数(-1)使得EM=MF,于是OM=OE+OF1+,又OE=OA,OF=OB,所以OM=OE+EM=OE+MF=OE+(-OM+OF),OM=OA+OB1+=1+a+1+b,由(1)知17a+37b=1+a+1+b,从而1+=17,1+=37,消去即得1+3=7.