2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-4-3 余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理 WORD版含解析.docx

1、第2课时正弦定理课标解读课标要求核心素养1.借助向量的运算,掌握正弦定理的证明、正弦定理的方法及两种表示形式.(重点)2.会运用正弦定理解决两类基本的解三角形.(重点)1.借助正弦定理的推导,提升学生的逻辑推理的素养. 2.通过用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题,培养学生的数学运算的素养.从前有一位父亲给两个儿子分一块地,地的形状如图所示.父亲将CE连接起来,左边分给弟弟,右边分给哥哥.哥哥觉得自己的三角形地块比弟弟的矩形地块面积小,埋怨父亲偏心,兄弟二人打得不可开交.这时,他们的舅舅正好路过,兄弟二人让舅舅评理,舅舅说给他们算一下各自地块的面积.他拿来皮尺和一个量角器,经过测量计算,发现

2、这两块地面积一样大.问题:这位舅舅是怎样计算三角形地块的面积的呢?答案先用皮尺测量线段AB,BC,CD的长度,用量角器测量D, 然后利用余弦定理或今天要学的正弦定理及面积公式解决这个问题.1.正弦定理(1)文字语言:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.(2)图形语言:(3)符号语言:asinA=bsinB=csinC .2.正弦定理解决的问题(1)已知三角形的任意两个角与一边.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角.3.三角形中常用的结论(1)A+B+C=,A+B2=2-C2.(2)在三角形中,大边对大角,反之亦然.(3)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.4.三角形面积公式

3、在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.(1)S=12aha=12bhb=12chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高).(2)S=12absin C=12bcsin A=12casin B.(3)S=12(a+b+c)r(r为内切圆半径).特别提醒(1)abc=sin A sin B sin C,ab=sin Asin B,bc=sin Bsin C,ac=sin Asin C;(2)ab=sinAsinB,ac=sinAsinC,bc=sinBsinC;(3)asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=b+csin

4、B+sinC=c+asinC+sinA;(4)sin A=absin B=acsin C.探究一已知三角形的两角及一边解三角形例1(1)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,sin B=6365,a=1,则b=.(2)在ABC中,已知c=10,A=45,C=30,求a,b的值.答案(1)2113解析(1)因为A为ABC的内角,且cos A=45,所以sin A=35,又a=1,sin B=6365,由正弦定理,得b=asinBsinA=sinBsinA=636553=2113.(2)A=45,C=30,B=180-(A+C)=105.由asinA=csinC得a=

5、csinAsinC=10sin45sin30=102.sin 105=sin 75=sin(30+45)=sin 30cos 45+cos 30sin 45=2+64,b=csinBsinC=202+64=52+56.思维突破已知三角形的两角和一边解三角形的方法(1)当所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角.(2)当所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.1-1在ABC中,已知A=45,B=30,a=2,求出其他边和角的大小.解析根据三角形内角和定理,得C=180-(A+B)=180-(45+30)=10

6、5.根据正弦定理,得b=asinBsinA=2sin30sin45=21222=2,c=asinCsinA=2sin105sin45=2sin75sin45=26+2422=3+1.探究二已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形例2(易错题)在ABC中,c=6,C=3,a=2,解三角形.解析由正弦定理,得asinA=csinC,则sin A=asinCc=2sin36=22.因为ca,所以CA.所以A=4,所以B=-4-3=512,所以b=csinBsinC=6sin512sin3=3+1.1.(变条件)本例若条件改为“c=233,C=6”,其他条件不变,解三角形.解析由asinA=csinC

7、,得sin A=asinCc=2sin6233=32.因为ca,C1,无解.易错点拨常因没有考虑角的范围而出现漏解的情况.1.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法:(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)若已知角为大边所对角,由大边对大角能知另一边所对角为锐角,由正弦值可求的角唯一.(3)若已知角为小边所对角,则不能确定另一边所对角为锐角,由正弦值可求两个角,要分类讨论.2.已知三角形的两边及其中一边的对角判断解的个数的方法:已知a,b和A,以点C为圆心,边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数,解的个数见下表:条件图形解的个数锐角absin

8、A无解a=bsin A一解bsin Aab一解2-1(多选题)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=6,a=2,c=23,则角C的大小是()A.6B.3C.56D.23答案BD由正弦定理可得asinA=csinC,sin C=casin A=32,而ac,AC,C=3或C=23.2-2在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a=2,b=2,sin B+cos B=2,则角A的大小为.答案6解析由sin B+cos B=2sinB+4=2,得sinB+4=1,B=4.由正弦定理得,sin A=asinBb=2sin42=12,ab,AB,A=6.探究三判定三角形的形

9、状例3(1)已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边,且acos A=bcos B,则ABC一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形(2)在ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状.答案(1)D解析(1)解法一:根据正弦定理,acos A=bcos B可变形为sin Acos A=sin Bcos B,所以sin 2A=sin 2B,故2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=2,所以ABC为等腰三角形或直角三角形.解法二:根据余弦定理的推论,acos A=bcos B可变形为ab

10、2+c2-a22bc=bc2+a2-b22ca,即a2(b2+c2-a2)=b2(c2+a2-b2),即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,即a2-b2=0或c2-a2-b2=0,即a=b或a2+b2=c2,所以ABC为等腰三角形或直角三角形.(2)解法一:因为sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理得a2=b2+c2,所以A是直角,B+C=90,所以2sin Bcos C=2sin Bcos(90-B)=2sin2B=sin A=1,所以sin B=22.因为0B90,所以B=45,C=45,所以ABC是等腰直角三角形.解法二:因为sin2A=sin2B+sin2C,所以a2=b2

11、+c2,所以A是直角.因为A=180-(B+C),sin A=2sin Bcos C,所以sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,所以sin(B-C)=0,又-90B-C90,所以B-C=0,所以B=C,所以ABC是等腰直角三角形.思维突破判定三角形形状的两条途径(1)化边为角:将三角等式利用正弦、余弦定理化边为角,利用三角恒等变换得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.(2)化角为边:将三角等式利用正弦、余弦定理化角为边,利用代数恒等变换(分解因式、配方等)得到边的关系,进而确定三角形的形状.提醒:一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免

12、漏解.3-1在ABC中,已知3b=23asin B,且cos B=cos C,角A是锐角,则ABC是三角形.答案等边解析由正弦定理及3b=23asin B,得3sin B=23sin Asin B.因为sin B0,所以sin A=32,又A是锐角,所以A=60.又在ABC中,cos B=cos C,所以B=C.故ABC为等边三角形.1.在ABC中,a=5,b=3,则sin Asin B的值是() A.53 B.35C.37D.57答案A由正弦定理得,asinA=bsinB,sin Asin B=ab=53,即sin Asin B=53,故选A.2.在ABC中,a=bsin A,则ABC一定是

13、()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案B因为a=bsin A,所以sin A=sin Bsin A.因为sin A0,所以sin B=1(0BBA,所以最小边为a.又因为c=1,由正弦定理得,a=csinAsinC=1sin45sin75=3-1,所以最小边长为3-1.直观想象借助图形的几何性质转化问题如图所示,D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点,且AB=AD,记CAD=,ABC=.(1)求证:sin +cos 2=0;(2)若AC=3DC,求的值.审:题目中的条件有直角三角形、等腰三角形.联:(1)利用直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的底角相等建立角的等式,等

14、式两边取三角函数.(2)利用等腰三角形把已知角移到一个三角形中,借助正弦定理及(1)的结论求值.解:(1)证明:因为AB=AD,所以ADB=ABD=,又因为=2-(-2)=2-2,所以sin =-cos 2,即sin +cos 2=0.(2)在ADC中,由正弦定理得DCsin=ACsinADC,即DCsin=,即DCsin=,所以sin =3sin .由(1)知sin =-cos 2,所以sin =-3cos 2=,即23sin2-sin -3=0,解得.因为0sin B,则A与B的大小关系为()A.ABB.ABC.ABD.不确定答案A2.在ABC中,若c=2acos B,则ABC为()A.直

15、角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案B由题意及正弦定理,得sin C=2sin Acos B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B.所以sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0,所以A=B.所以ABC为等腰三角形.3.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cos C=()A.35B.45C.725D.2425答案C由正弦定理及8b=5c,C=2B,得bc=sinBsinC=58=sinBsin2B=sinB2sinBcosB,cos B=45,cos C=cos 2B=2cos2B-

16、1=2452-1=725.4.在ABC中,a=15,b=10,A=60,则cos B=()A.223B.223C.63D.63答案C由正弦定理得15sin60=10sinB,解得sin B=33,因为ba,A=60,所以B为锐角,故cos B=1-sin2B=63.5.(2019山东潍坊高二检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos A=13,b=3c,则sin C=()A.229B.223C.13D.69答案C在ABC中,因为cos A=13,所以sin A=1-cos2A=223,由b=3c得sin B=3sin C=sin(A+C)=sin Acos C+cos A

17、sin C=223cos C+13sin C,化简得cos C=22sin C,所以sin2C+cos2C=9sin2C=1,解得sin C=13.6.在ABC中,c+b=12,A=60,B=45,则c=,b=.答案43;12-43解析因为A=60,B=45,所以C=75,由bsinB=csinC,得b=(3-1)c,又c+b=12,所以c=43,b=12-43.7.在ABC中,a=3,b=6,A=23,则B=.答案4解析由正弦定理得3sin 23=6sinB,所以sin B=22.因为B0,3,所以B=4.8.在ABC中,sin A=34,a=10,则边长c的取值范围是.答案0,403解析因

18、为csinC=asinA=403,所以c=403sin C,所以00),则a=72k,b=52k,c=32k,abc=753,则sin Asin Bsin C=753,故C中结论正确;ABC的边长不确定,ABC不确定,故A中结论错误;cos A=b2+c2-a22bc=254k2+94k2-494k2252k32k=-120,则A是钝角,即ABC是钝角三角形,故B中结论正确;若b+c=8,则52k+32k=4k=8,解得k=2,即b=5,c=3,又A=120,ABC的面积S=12bcsin A=125332=1534,故D中结论错误.11.在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若

19、ba+ab=6cos C,则tanCtanA+tanCtanB的值是()A.3B.4C.5D.6答案B因为ba+ab=6cos C,所以a2+b2ab=6a2+b2-c22ab,所以a2+b2=3c22,则tanCtanA+tanCtanB=cosAsinCcosCsinA+cosBsinCcosCsinB=sinCcosCcosAsinA+cosBsinB=sinCcosCsinBcosA+sinAcosBsinAsinB=sin2CsinAsinBcosC=c2abcosC=c2ab2aba2+b2-c2=2c232c2-c2=4.12.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,

20、若a=23,C=3,tan A=34,则sin A=,b=.答案35;4+3解析因为tan A=34,所以sin A=35,由asinA=csinC得,c=sinCsinAa=5,又c2=a2+b2-2abcos C,所以52=(23)2+b2-223bcos 3,所以b2-23b-13=0,解得b=4+3或b=-4+3(舍去).13.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=x,b=2,B=45,且此三角形有两解,则x的取值范围是.答案(2,22)解析由AC=b=2知,要使三角形有两解,就需要使以C为圆心,2为半径的圆与BA有两个交点.当A=90时,圆与AB相切;当A=45时,圆与AB交于B点,即只有一解,所以45A135,且A90,即22sin A0,所以A0,4.所以sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98,又0A4,所以0sin A22,因此22-2sinA-142+9898,由此可知sin A+sin C的取值范围是22,98.