2020-2021学年新教材高中数学 第一章 预备知识 1.3 不等式 1.3.2 基本不等式一课一练（含解析）北师大版必修第一册.docx

1、第一章预备知识3不等式3.2基本不等式知识点1利用基本不等式比较大小1.%*70￥79%(2020南昌二中检测)已知a0,b0,且a+b=2,则()。A.ab12B.ab12C.a2+b22D.a2+b22答案：C解析：2=a+b2ab,ab1,ab1,故A,B选项都是错误的。4=(a+b)2=a2+2ab+b22(a2+b2),所以a2+b22。2.%68#7￥8%(2020衡水中学月考)下列不等式中,正确的是()。A.a+b2abB.(a+b)26abC.a2+b22abD.(a-b)22ab答案：C解析：选项A忽视了a,b的条件应为正实数,B,D选项只有在ab0时成立。3.%7*236#

2、%(2020江苏丹阳中学检测)设0ab,a+b=1,则下列不等式正确的是()。A.b2aba2+b2a2+b2B.2abba2+b2a2+b2C.2aba2+b2ba2+b2D.2aba2+b2a2+b2b答案：C解析：0ab且a+b=1,0a12b2ab,b=b(a+b)=ab+b2a2+b2,且a2+b2b。故2aba2+b2b0,b0,则以下不等式中恒成立的是()。A.(a+b)1a+1b4B.a3+b32ab2C.a2+b2+22a+2bD.|a-b|a-b答案：ACD解析：a0,b0,对于A,(a+b)1a+1b=2+ba+ab4恒成立。对于C,a2+b2+2-(2a+2b)=(a-

3、1)2+(b-1)20,a2+b2+22a+2b恒成立。对于D,当ab时,(|a-b|)2=a-b,而(a-b)2=a+b-2ab=a-b+2b-2ab=(a-b)+2b(b-a),又ab0,b-a0,(a-b)+2b(b-a)a-b,即|a-b|a-b;当a0,而a-ba-b,故|a-b|a-b恒成立。6.%4￥7#4*5#%(2020辽宁实验中学期中)下列条件:ab0;ab0,b0;a0,b0且ab0,即a,b不为0且同号即可,故有3个。7.%7#870*%(多选)(2020株洲中学期末)在下列各函数中,最小值等于2的函数是()。A.y=x+1x(x0)B.y=cosx+1cosx(0x0

4、时,y=x+1x2,故A对;因为0x2,所以0cosx0,所以y=x2+4x2-22x24x2-2=2,当且仅当x2=4x2,即x2=2时等号成立,故D对。题型1利用基本不等式求最值或参数的取值范围8.%#17￥9#7*%(2020重庆一中月考)若x2+y2=4,则xy的最大值是()。A.12B.1C.2D.4答案：C解析：x2+y2=42xy,xy2,当且仅当x=y时取等号,即xy的最大值是2,故选C。9.%5￥05#*6%(2020莲塘一中检测)已知0x13,则x(1-3x)取最大值时x的值是()。A.14B.15C.16D.17答案：C解析：0x0,x(1-3x)=133x(1-3x)1

5、33x+1-3x22=112,当且仅当3x=1-3x,即x=16时,等号成立。10.%99￥#*4￥4%(2020陕西榆林一中月考)已知t0,则函数y=t2-4t+1t的最小值为()。A.-2B.12C.1D.2答案：A解析：y=t2-4t+1t=t+1t-42t1t-4=-2,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立。11.%006#5%(2020江苏南通中学过关测试)若ab,b0,a+b=1,则1a2-11b2-1的最小值是()。A.6B.7C.8D.9答案：D解析：由1a2-11b2-1=(1+a)(1-a)(1-b)(1+b)a2b2=(1+a)(1+b)ab=1+a+b+abab=2a

6、b+1。a+b=1,2ab1,ab14,1a2-11b2-19。12.%*0#0*55%(2020华师一附中检测)若直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2),则1m+2n的最小值为()。A.2B.6C.12D.3+22答案：D解析：直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2),2m+2n-2=0,即m+n=1,1m+2n=1m+2n(m+n)=3+nm+2mn3+22,当且仅当nm=2mn,即n=2m时取等号,1m+2n的最小值为3+22。13.%*444￥2%(2020江西师大附中月考)已知正实数x,y满足xy=1,则xy+yyx+x的最小值为。答案：4解析：xy+y

7、yx+x=1+x2y+y2x+xy=2+x3+y3xy=2+x3+y32+2x3y3=4,当且仅当x=y=1时等号成立。据此可知xy+yyx+x的最小值为4。14.%1￥*412￥%(2020安庆一中月考)已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值为。答案：4解析：2xy=x(2y)x+2y22,8=x+2y+2xyx+2y+x+2y22,即(x+2y)2+4(x+2y)-320。x0,y0,x+2y4,当且仅当x=2,y=1时取等号,即x+2y的最小值是4。15.%6*￥*2*38%(2020合肥一中检测)设a,bR,且a2+b2=10,则a+b的取值范围是。答案：-25,25

8、解析：a2+b2=10,a2+b22ab,2(a2+b2)2ab+a2+b2=(a+b)2,当且仅当a=b时取等号,即(a+b)22(a2+b2)=20,-25a+b25,所以a+b的取值范围是-25,25。16.%4#*544￥%(2020衡水中学周练)x,y,a,b均为正实数,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值。答案：解:x+y0,a0,b0,且ax+by=1,x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayxa+b+2bxyayx=a+b+2ab=(a+b)2,当且仅当bxy=ayx时取等号。此时(x+y)min=(a+b)2

9、=18,即a+b+2ab=18。又a+b=10,联立a+b+2ab=18,a+b=10。解得a=2,b=8或a=8,b=2。17.%*1#8￥44#%(2020石家庄中学月考)已知a0,b0,且2a+1bm2a+b恒成立,求实数m的最大值。答案：解:因为a0,b0,2a+1bm2a+b恒成立,即m2a+1b(2a+b)恒成立,而2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab5+22ba2ab=9,当且仅当a=b时等号成立,所以实数m的最大值为9。题型2利用基本不等式的性质证明不等式成立18.%1￥379￥#%(2020武汉外校月考)已知a,b,c为正实数,求证:b2a+c2b+a2ca+b+c。答

10、案：证明:a+b2a2b,b+c2b2c,c+a2c2a,a+b2a+b+c2b+c+a2c2a+2b+2c,b2a+c2b+a2ca+b+c。19.%42#4*#8%(2020雅礼中学周练)求证:(1)a2+b2+c2ab+ac+bc;答案：证明:a2+b22ab,a2+c22ac,b2+c22bc,将此三式相加得2(a2+b2+c2)2ab+2ac+2bc,原不等式成立。(2)6+722+5。答案：要证原不等式成立,只需证(6+7)2(22+5)2,即证242240。上式显然成立,原不等式成立。题型3基本不等式在实际生活中的应用20.%511*2￥%(2020武汉中学月考)汽车上坡时的速度

11、为a,原路返回时的速度为b,且0a0,b0)B.a+b20,b0,ab)C.2aba+bab(a0,b0)D.2aba+bab0,b0,ab)答案：D解析：由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=a+b2,易得DC=ACBC=ab,DE=DC2DO=2aba+b。DEDCDO,2aba+bab0,b0,ab)。故选D。23.%*5￥122￥%(2020武汉二中期中)如图1-3-2-2,已知在小矩形花坛ABCD中,AB=3m,AD=2m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C。图1-3-2-2(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,AN的长应在什么范围内?答案：解:设AM=xm,AN=ym(x3,y2),矩形AMPN的面积为S,则S=xy。NDCNAM,y-2y=3x,x=3yy-2,S=3y2y-2(y2)。由3y2y-232,得2y8,AN的长度应在2,83或(8,+)内。(2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMPN的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的AM,AN的长度;若不存在,说明理由。答案：当y2时,S=3y2y-2=3y-2+4y-2+43(4+4)=24,当且仅当y-2=4y-2,即y=4时,等号成立,解得x=6。存在位置M,N,当AM=6m,AN=4m时,Smin=24m2。