2020-2021学年新教材高考数学 第一章 空间向量与立体几何 再练一课（范围：4.docx

1、再练一课(范围：1.4.1)1若平面与的法向量分别是a(1,0，2)，b(1,0,2)，则平面与的位置关系是()A平行 B垂直C相交不垂直 D无法判断答案A解析a(1,0，2)，b(1,0,2)，ab0，由此可得ab，平面与的法向量平行，可得平面与互相平行2已知直线l的方向向量a(1,2,4)，平面的法向量b(2,4,8)，则直线l与平面的位置关系是()AlBlClDl答案B解析b2a，则b与a共线，可得，l.3若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内答案D解析，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内4(多选)已知点A(1,0,0)，B(

2、0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DBAC，DCAB，ADBC，则点D的坐标为()A(1,1,1) B.C.D.答案AD解析设D(x，y，z)，则(x，y1，z)，(x，y，z1)，(x1，y，z)，(1,0,1)，(1,1,0)，(0，1,1)又DBACxz0，DCABxy0，ADBC(x1)2y2z22，联立得xyz1或xyz，所以点D的坐标为(1,1,1)或.故选AD.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是()A重合 B垂直C平行 D无法确定答案B解析，()设正方体的棱长为1，于是()00001000，故，即AC1与

3、CE垂直6.如图，在正三棱锥SABC中，点O是ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是_，平面SAD的一个法向量可以是_答案解析由题意知SO平面ABC，BC平面SAD.因此平面ABC的一个法向量可以是，平面SAD的一个法向量可以是.7若a(2x，1,3)，b(1，2y，9)，且a与b为共线向量，则x_，y_.答案解析由题意得，x，y.8已知空间三点A(1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，3)，若直线AB上存在一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_答案解析设M(x，y，z)，(1，1,0)，(x，y，z1)， (x1，y2，z3)，由题意，得x，y，z1，点M的坐

4、标为.9如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD.证明如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，且平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2，0)所以(1,2，)，(1,2，)，(2,1,0)因为1(1)22()0.1(

5、2)21()00.所以，即AB1BA1，AB1BD.又因为BA1BDB，BA1，BD平面A1BD，所以AB1平面A1BD.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：(1)MN平面CC1D1D；(2)平面MNP平面CC1D1D.证明(1)以D为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)由正方体的性质知AD平面CC1D1D，所以(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量由于(0,1，1)，则021

6、0(1)00，所以.又MN平面CC1D1D，所以MN平面CC1D1D.(2)方法一由于(0,2,0)，(0,2,0)，所以，即MPDC.由于MP平面CC1D1D，DC平面CC1D1D，所以MP平面CC1D1D.又由(1)，知MN平面CC1D1D，MNMPM，MN，MP平面CC1D1D，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP平面CC1D1D.方法二(0,1，1)，(0,2,0)，设平面MNP的法向量为n(x，y，z)，则所以取n(1,0,0)，因为2n，所以DAn，所以平面MNPCC1D1D.11已知(3,1,2)，平面的一个法向量为n(2，2，4)，点A不在平面内，则直线AB与平面的位置关

7、系为()AABBABCAB与相交但不垂直 DAB答案D解析因为n2(3)(2)1420，所以n.又点A不在平面内，n为平面的一个法向量，所以AB.12.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC2，E是PC的中点，则CD与AE的位置关系_答案垂直解析以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1，0)，D，P(0,0,2)，E，所以，所以1010，所以CDAE.13如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP

8、平面B1AE，则AP的长为_答案解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设|a，|b，点P坐标为(0,0，b)，则B1(a，0,1)，D(0,1,0)，E，(a，0,1)，(0，1，b)，DP平面B1AE，存在实数，设，即(0，1，b)(a，0,1)，b，即AP.14.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE_.答案a或2a解析建立空间直角坐标系，如图所示，依题意得B1(0,0,3a)，D，C(0，a，0)，设E(a

9、，0，z)(0z3a)，则(a，a，z)，(a，0，z3a)0，要使CE平面B1DE，即B1ECE，得2a20z23az0，解得za或2a.15.如图，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a_.答案2解析如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a，0)，设Q(1，x，0)(0xa)，P(0,0，z)，则(1，x，z)，(1，ax，0)，由PQQD，得1x(ax)0，即x2ax10，由题意知方程x2ax10只有一解a240，a2，这时x10，a，满足题意16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且ADBC，ABCPAD90

10、，侧面PAD底面ABCD.若PAABBCAD.(1)求证：CD平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由(1)证明因为PAD90，所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，PA平面PAD，所以PA底面ABCD.又因为BAD90，所以AB，AD，AP两两垂直以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设AD2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(1)(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，可得0，0，所以APCD，ACCD.又因为APACA，AP，AC平面PAC，所以CD平面PAC.(2)解设侧棱PA的中点是E，则E，.设平面PCD的法向量是n(x，y，z)，则因为(1,1,0)，(0,2，1)，所以取x1，则y1，z2，所以平面PCD的一个法向量为n(1,1,2)所以n(1,1,2)0，所以n.因为BE平面PCD，所以BE平面PCD.综上所述，当E为PA的中点时，BE平面PCD.