2020新课标高考艺考数学复习教师用书：第六章第7节第一课时　证明空间位置关系 WORD版含解析.docx

1、第7节立体几何中的向量方法第一课时证明空间位置关系最新考纲核心素养考情聚焦1.理解直线的方向向量及平面的法向量2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理1.利用空间向量证明平行或垂直，达成直观想象、数学建模和数学运算的素养2.与平行、垂直有关的探索性问题，增强逻辑推理、数学运算、数学建模的素养2020年高考还是以考查空间的位置关系为主，首先建立适当的坐标系，找准点的坐标，把所有问题转化为坐标运算主要以解答题的第一问出现，难度不大，属中低档题型，但要注意运算的准确性1直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非

2、零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量2空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm01.直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量2平面的法向量的确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为思考辨析判断下列说法是

3、否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行()(4)若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2.()(5)已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6，2)，则ac，ab.()(6)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直()答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 小题查验

4、1已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则( )ABC，相交但不垂直 D以上均不对解析：Cn1n2，且n1n22(3)315(4)230，不平行，也不垂直2设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2B4C4D2解析：C因为，所以，所以k4.3(2019桂林市模拟)已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)解析：A因为平面的一个法向量为n(6，3,6)，所以n，又A选项中P(2,3,3)，所以(1,

5、4,1)，因此有n614(3)610，故选A. 4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )A(1,1,1)B(1，1,1)C.D.解析：C设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得xyz.5人教A版教材P111T3改编如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_解析：以A为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，0，ON与AM垂直答案：垂直考点一利用空间向量证

6、明平行或垂直(自主练透)题组集训1如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点求证：MNAB，MNCD.证明：设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.MNAB.同理可证MNCD.2已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点(1)求证：DE平面ABC；(2)求证：B1F平面AEF.证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴

7、，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，(1)(2,4,0)，平面ABC的法向量为(0,0,4)，0，DE平面ABC，DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2)22(2)(4)(2)0，B1FEF，(2)222(4)00，B1FAF.AFEFF，B1F平面AEF.3(2019深圳市模拟)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点求证：(1)MN平面A1B1C1

8、；(2)平面MBC1平面BB1C1C.证明：由题意，知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形AA1C1C的边长为2，则A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)(1)由题意知AA1A1B1，AA1A1C1，又A1B1A1C1A1，所以AA1平面A1B1C1.因为(2,0,0)，(0,1,1)，所以0，即.故MN平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)因为(1,2,0)，(

9、1,0,2)，所以令x12，则平面MBC1的一个法向量为n1(2,1，1)同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2(0,1,1)因为n1n22011(1)10，所以n1n2，所以平面MBC1平面BB1C1C.用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤1坐标运算法第一步：寻找空间几何体中的垂直关系，选取原点，建立适当的空间直角坐标系；第二步：用向量表示空间几何体中的点、线和平面等元素，建立空间图形与空间向量的联系；第三步：进行空间向量的坐标运算；第四步：将空间向量运算的结果转化为空间图形中待证的结论2基底向量法第一步：适当选取不共线的三个向量作为基底；第二步：空间几何体中待证的结论用基底向量表示出来

10、；第三步：进行基底向量的线性运算与数量积运算；第四步：将空间向量运算的结果转化为空间图形中待证的结论考点二与平行、垂直有关的探索性问题(多维探究)命题角度1探索性问题与平行相结合1如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)求二面角DA1AC的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由解：(1)证明：设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60.A1O2AAAO22AA1AOcos 603

11、，AO2A1O2AA，A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2,3)由于(2，0,0)，(0,1，)0(2)1000.，即BDAA1.(2)由于OB平面AA1C1C，平面AA1C1C的一个法向量为n1(1,0,0)设n2(x，y，z)为平面DAA1D1的一个法向量，则即取n2(1，1)，则n1，n2即为二面角DA1AC的平面角，cosn1，n2，所以，二面角DA1AC的余弦值为.(3)假设

12、在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1.设，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)从而有P(0,1，)，(，1，)设n3(x3，y3，z3)平面DA1C1，则又(0,2,0)，(，0，)则取n3(1,0，1)，因为BP平面DA1C1，则n3，即n30，得1.即点P在C1C的延长线上，且C1CCP. 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”跟踪训练如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在的平面垂直，BDAE

13、，BD2AE，AEAB.(1)若F为CD的中点，求证：EF平面BCD；(2)在线段AC上是否存在点N，使CD平面BEN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：设ED的中点为H，AB的中点为O，由题意知OHAE.因为平面ABDE平面ABC，AEAB，平面ABDE平面ABCAB，所以AE平面ABC，所以HO平面ABC.又ABC为等边三角形，所以OCAB.故以O为坐标原点，射线OC，OB，OH分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设AE1，AB2a，则A(0，a,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，D(0，a,2)，E(0，a,1)，F，(a，a,

14、0)，(0,0,2)0，0，所以EFBC，EFBD.又因为BCBDB，所以EF平面BCD.(2)设存在点N，使CD平面BEN，设，则N，所以.由(1)知，(0，2a,1)，(a，a,2)，设平面BEN的法向量为n(x，y，z)，由得令y1，则n由CD平面BEN得，n.所以n(a)a2a20解得.所以当时，CD平面BEN.命题角度2探索性问题与垂直相结合2已知正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP

15、DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由解：(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，所以AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)易知平面CDF的法向量为(0,0,2)，设平面EDF的法向量n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n，所以二面角EDFC的余弦值为.(3)存在设P(s，t,0)，则(s，t，2)(0，1)t20，t，又(s

16、2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2.把t代入上式得s，在线段BC上存在点P，使APDE.此时，.解决立体几何中线段上是否存在点的探索性问题，关键是该点如何用参数设出来一般有两种方法：一是利用比例式求解；二是利用三点共线条件巧设最后都转化为与平行或垂直有关的问题解决跟踪训练如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE.(2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：(1)证明：因为ACBC，DEBC，所

17、以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因为A1CCD，所以A1C平面BCDE.(2)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直理由如下：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3设平面A1BE的一个法向量为n(x1，y1，z1)由得，令y11，则n(2,1，)设平面A1DP的一个法向量为m(x2，y2，z2)，由得，令x22，则m.若平面A1DP平面A1BE，则有mn0，即4pp0.解得p2，与p0,3矛盾所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直1若直线l的一个方向向量为

18、a(2,5,7)，平面的一个法向量为u(1,1，1)，则()Al或lBlCl Dl与斜交解析：A由条件知au21517(1)0，所以au，故l或l.故选A.2设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2 B4C5 D2解析：C因为，所以1(2)2(4)(2)k0，所以k5.3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A. B.C. D.解析：D因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以(1,1,0)，(1,0,1)经验证，当n时，n00，n00，故选D.4如图，在长方体ABCDA1B1C

19、1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点则AM与PM的位置关系为()A平行 B异面C垂直 D以上都不对解析：C以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，2,0)(0,1，)(，1，)，(，2,0)(2，0,0)(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，AMPM.故选C项5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA

20、1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面解析：B以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.故选B.6在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为_解析：由题意知，点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，)答案：(0，)7(2019武汉市调研)已知平面内的三点A(0

21、,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_解析：设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，取x1，m(1,1,1)，mn，mn，.答案：8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_解析：正方体棱长为a，A1MAN，()().又是平面B1BCC1的法向量，0，.又MN平面B1BCC1，MN平面B1BCC1.答案：平行9如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，B

22、CAB，B1C1瘙綊BC，二面角A1ABC是直二面角求证：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C.证明：二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，AA1平面BAC.又ABAC，BCAB，CAB90，即CAAB，AB，AC，AA1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)(1)(0,2,0)，(0,0，2)，(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0,1,0)2n，即n.A1B1平面AA1C.(2)易知(0,2,2

23、)，(1,1,0)，(2,0，2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)m012(1)210，m.又AB1平面A1C1C，AB1平面A1C1C.10如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.证明：(1)以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30，PC2，BC2，PB4，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.(1)设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由即令y2，得n(，2,1)n2010，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)如(1)中图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA.又PADAA，BE平面PAD.又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.