2020版新攻略高考数学总复习浙江专用练习：5-3 平面向量的数量积与应用举例 夯基提能作业 WORD版含解析.docx

1、 5.3平面向量的数量积与应用举例A组基础题组 1.(2018浙江温州十校联合体期初)设正方形ABCD的边长为1,则|AB-BC+AC|等于()A.0B.2C.2D.22答案C正方形ABCD的边长为1,则|AB-BC+AC|2=|DB+AC|2=|DB|2+|AC|2+2DBAC=12+12+12+12=4,所以|AB-BC+AC|=2,故选C.2.已知单位向量a和b满足|a+b|=2|a-b|,则a与b的夹角的余弦值为() A.-13B.-23C.13D.23答案Ca和b是单位向量,a2=b2=1.|a+b|=2|a-b|,2+2ab=2(2-2ab),解得ab=13.cos=ab|a|b|

2、=13,故选C.3.平面向量a,b,c不共线,且两两所成的角相等,|a|=|b|=2,|c|=1,m=a-2 017c,则(a-b)m=()A.2B.3C.23D.6 答案D因为平面向量a,b,c不共线,且两两所成的角相等,所以a,b,c两两所成的角为23,所以(a-b)m=(a-b)(a-2 017c)=a2-ab-2 017ac+2 017bc=22+2+2 017-2 017=6,故选D.4.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c-b=6,c+b-a=2,且O为此三角形的内心,则AOCB=()A.4B.5C.6D.7答案C如图所示,过O作ODAB于D,OEAC于E,AOC

3、B=AO(AB-AC)=AOAB-AOAC=|AD|AB|-|AE|AC|,又O为ABC的内心,|AD|=|AE|=a+b+c-(|BD|+|BC|+|CE|)2=c+b-a2,AOCB=(c-b)(c+b-a)2=6,故选C.5.(2018浙江金华东阳二中高三月考)若a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a+b|,33,1,则b与a-b的夹角的取值范围是()A.3,23B.23,56C.23,D.56,答案B因为|a|=|b|=|a+b|,33,1,所以不妨设|a+b|=1,则|a|=|b|=.令OA=a,OB=b,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则平行四边形OACB为菱形.故有

4、OAB为等腰三角形,设OAB=OBA=,且02.由题意可得,b与a-b的夹角,即OB与BA的夹角等于-,OAC中,由余弦定理可得|OC|2=1=|OA|2+|AC|2-2|OA|AC|cos 2=2+2-2cos 2,解得cos 2=1-122.再由331,可得1212232,所以-12cos 212,所以3223,所以63,故23-56,即b与a-b的夹角-的取值范围是23,56.6.已知向量a,b满足|a+b|=4,|a-b|=3,则|a|+|b|的取值范围是()A.3,5B.4,5C.3,4D.4,7答案B易知|a|+|b|max|a+b|,|a-b|=4,因为(|a|+|b|)2|a+

5、b|2+|a-b|2=25,所以|a|+|b|5.7.已知A,B是半径为2的O上的两个点,OAOB=1,O所在平面上有一点C满足|OA+OB-OC|=1,则向量OC的模的取值范围是()A.22-1,22+1 B.62-1,62+1 C.6-1,6+1D.2-1,2+1答案C以O为原点,OA为x轴建立直角坐标系,由|OA|=|OB|=2及OAOB=1,得AOB=3,于是A(2,0),B22,62,设C(x,y),由|OA+OB-OC|=1,得x-3222+y-622=1.问题转化为求圆x-3222+y-622=1上一点到原点距离的取值范围.原点到圆心322,62的距离为6,又圆x-3222+y-

6、622=1的半径为1,所以|OC|的取值范围为6-1,6+1.8.若非零向量a,b满足a2=(5a -4b)b,则cos的最小值为.答案45解析由a2=(5a-4b)b,可得ab=15(a2+4b2),所以cos=ab|a|b|=15(a2+4b2)|a|b|=15|a|b|+4|b|a|45,当且仅当|a|=2|b|时取等号.9.已知两单位向量e1,e2的夹角为60,若实数x,y满足|xe1+2ye2|=3,则x+2y的取值范围是.答案-2,2解析e1e2=12,令t=x+2y,则x=t-2y,由|xe1+2ye2|=3,得x2+2xy+4y2-3=0,(t-2y)2+2(t-2y)y+4y

7、2-3=0,4y2-2ty+t2-3=0,则0,(-2t)2-44(t2-3)0,-2t2,故x+2y的取值范围为-2,2.10.已知ABC的内角A=60,BC边上的高AD=3,则ABAC|BC|的值是.答案3解析由题意可知12|AB|AC|sinBAC=12|BC|AD|,则|AB|AC|BC|=|AD|sinBAC,所以ABAC|BC|=|AB|AC|cosBAC|BC|=|AD|cosBACsinBAC=31232=3.11.(2018浙江新高考研究联盟)已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=k,|c|=2-k且a+b+c=0,则b与c夹角的余弦值的取值范围是.答案-1,-12解析设

8、b与c的夹角为,由题意得b+c=-a,所以b2+c2+2bc=1,所以cos =2k2-4k+32k2-4k=1+32(k-1)2-2.因为|a|=|b+c|b|-|c|,所以|2k-2|1.所以12k32.所以-1cos -12.12.(2018浙江金华十校联考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-35.(1)求sin A的值;(2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.解析(1)由mn=-35,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35,所以c

9、os A=-35.因为0Ab,所以AB,则B=4,由余弦定理得(42)2=52+c2-25c-35,解得c=1(负值舍去).故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B=ccos B=122=22.13.如图,已知O为ABC的外心,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若3OA+4OB+5OC=0,求cosBOC的值;(2)若COAB=BOCA,求b2+c2a2的值.解析(1)设ABC外接圆的半径为R,由3OA+4OB+5OC=0得4OB+5OC=-3OA,两边平方得16R2+40OBOC+25R2=9R2,所以OBOC=-45R2,则cosBOC=-45.(2)COAB=BOCA,C

10、O(OB-OA)=BO(OA-OC),即-OCOB+OCOA=-OBOA+OBOC,可得-R2cos 2A+R2cos 2B=-R2cos 2C+R2cos 2A,2cos 2A=cos 2C+cos 2B,即2(1-2sin2A)=2-(2sin2B+2sin2C),2sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理变形得2a2=b2+c2,b2+c2a2=2.B组提升题组1.若a,b,c均为单位向量,且ab=0,(c-a)(c-b)0,则|a+b+c|()A.有最大值5,最小值2-1B.有最大值5,最小值3-22C.有最大值3+22,最小值5D.有最大值2+1,最小值5 答案D由题意可知,

11、ab.设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则x2+y2=1且x+y1.故|a+b+c|=(x+1)2+(y+1)2,即单位圆x2+y2=1上位于第一象限内的点到定点(-1,-1)的距离,设该点为P,所以当点P的坐标为(0,1)或(1,0)时,|a+b+c|取得最小值5;当点P的坐标为22,22时,|a+b+c|取得最大值2+1.故选D.2.(2018浙江杭州高三模拟)ABC中,C=90,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E, F分别是边BC、AC上的动点,且EF=1,则DEDF的最小值等于() A.54B.154C.174D.174答案B以三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建

12、立平面直角坐标系,如图,则A(0,4),B(3,0),C(0,0),D32,2.设E(x,0),则F(0,1-x2),0x1.DE=x-32,-2,DF=-32,1-x2-2.DEDF=94-32x+4-21-x2=254-3x2-21-x2.令f(x)=254-3x2-21-x2,则f (x)=-32+2x1-x2.令f (x)=0,得x=35(舍去负值).当0x35时, f (x)0,当350.当x=35时, f(x)取得最小值,为154.故选B.3.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的

13、最小值是()A.3-1B.3+1C.2D.2-3答案A本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离.设OA=a,OB=b,OE=e,以O为原点,OE的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨设A点在第一象限,a与e的夹角为3,点A在从原点出发,倾斜角为3,且在第一象限内的射线上.设B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而BA=a-b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=3x(x0)的距离减去圆的半径,所以|a-b|min

14、=3-1.选A.4.已知向量a,b满足|a-b|=1且|a|=2|b|,则ab的最小值为,此时a与b的夹角是.答案-29;解析设|b|=x,向量a与b的夹角为,则有ab=2x2cos .由1=|a-b|2=4x2+x2-2ab,得ab=5x2-12.从而有5x2-12=2x2cos ,即cos =5x2-14x2,则-15x2-14x21,解得19x21,从而ab=5x2-12-29,2,故ab的最小值为-29.此时cos =-1,又0,所以=.5.(2018浙江宁波余姚中学高三期中)已知向量OA,OB的夹角为60,|OA|=2,|OB|=23,OP=OA+OB.若+3=2,则|OP|的最小值是,此时OP,OA夹角的大小为.答案23;30解析因为向量OA,OB的夹角为60,|OA|=2,|OB|=23,所以OAOB=|OA|OB|cos 60=22312=23,由+3=2,可得=2-3,则|OP|=|OA+OB|=2OA2+2OB2+2OAOB=42+122+43=4(+3)2-43=16-43(2-3)=12-332+1223,当=33,=1时,|OP|的最小值为23.由OP=OA+33OB,可得OPOA=OA2+33OAOB=4+3323=6,则cos =OPOA|OP|OA|=6232=32,由0180,可得=30.