2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册学案：3-4 函数的应用（一） WORD版含答案.docx

1、34函数的应用(一)最新课程标准1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具2通过实例理解用函数构建数学模型的基本过程学科核心素养1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用(直观想象)2能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题(数学抽象)3了解拟合函数模型过程并能灵活应用解决实际问题(数学抽象、逻辑推理)教材要点要点几类常见函数模型名称解析式条件一次函数模型ykxbk0反比例函数模型ykxbk0二次函数模型一般式：yax2bxc顶点式：yax+b2a24ac-b24aa0幂函数模型yaxnba0，n1状元随笔 建

2、立函数模型解决实际问题的基本思路基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测()(2)一个长方形的周长为60 m，则其面积最大为200 m2.()(3)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数()(4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了()2某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y5x4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A200副B400副C600副 D800副3某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：

3、万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606万元 B45.6万元C45.56万元 D45.51万元4某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y4x，1x10，xN*2x+10, 10x100，xN*1.5x, x100，xN*其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为_题型1一次函数模型的应用例1某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元，每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元由于

4、资金有限，该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利最大，若按每月30天计算，应安排生产童装和西服各多少天(天数为整数)？并求出最大利润方法归纳用一次函数模型解决实际问题的注意点(1)一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下是本着“问什么，设什么，列什么”这一原则处理，求解过程也较简单(2)用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式对于一次函数yaxb(a0)，当a0时为增函数，当a0时为减函数，另外，要结合题目理解(0，b)和-ba，0这些特殊点的实际意义跟踪训练1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后

5、，以120 km/h匀速行驶试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开北京2 h时火车行驶的路程题型2二次函数模型的应用例2科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用经调研，该企业生产此设备获得的月利润px(单位：万元)与投入的月研发经费x(15x40，单位：万元)有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，px110x28x90；当投入月研发经费高于36万元时，px0.4x54.对于企业而言，研发利润率ypxx100%，是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小(1)求该企业生

6、产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值；(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x的取值范围方法归纳二次函数模型解题思路二次函数模型的解析式为g(x)ax2bxc(a0)在函数建模中，它占有重要的地位，在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答跟踪训练2有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q115x，Q235x.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才

7、能获得最大利润？题型3分段函数模型的应用例3新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x0，10)(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到tk6-12x+4(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k0.5，1)A公司生产t万件防护服还需投入成本(209x50t)(万元)(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？方法归纳应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的

8、“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义)(3)分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)跟踪训练3国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止旅行社需付给航空公司包机费每团15 000元(1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？易错辨析忽略题目中的限制条件致误例4某辆汽车以x千米/时

9、的速度在高速公路上匀速行驶(高速公路行车安全要求60x120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x-k+4 500x升，其中k为常数，且60k100.(1)若汽车以120千米/时的速度行驶，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围(2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值解析：(1)由题意得当x120时，15x-k+4 500x15120-k+4 50012011.5，解得k100.15x-100+4 500x9，即x2145x4 5000，解得45x100.又60x120，所以60x100，即每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为60，100.(2)设该汽车

10、行驶100千米油耗为y升，则y100x15x-k+4 500x2020kx+90 000x2(60x120)，令t1x，则t1120，160，即有y90 000t220kt2090 000t-k9 000220k2900，对称轴为直线tk9 000，由60k100，可得k9 0001150，190，若k9 0001120，即75k100，则当tk9 000，即x9 000k时，ymin20k2900；若k9 0001120，即60k75，则当t1120，即x120时，ymin1054-k6.答：当75k100时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20-k2900升；当60k75时，该汽车行驶

11、100千米的油耗的最小值为1054-k6升易错警示易错原因纠错心得忽视自变量的取值范围，特别是运用换元法求二次函数的最值时易忽视新元范围，直接得出tk9 000时，ymin20k2900，导致漏解解答函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义课堂十分钟1向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数hf(t)的图象如图所示，则杯子的形状是()2据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系

12、式是()Ay0.3x800(0x2 000，xN*)By0.3x1 600(0x2 000，xN*)Cy0.3x800(0x2 000，xN*)Dy0.3x1 600(0x2 000，xN*)3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)12x22x20(万元).1万件售价是20万元，若该企业生产的这种商品能够全部售出，那么为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为()A18万件 B20万件 C16万件 D8万件4已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，

13、则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是_5某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)(1)求函数yfx的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？34函数的应用(一)新知初探课前预习基础自测1答案：

14、(1)(2)(3)(4)2答案：D3答案：B4答案：25题型探究课堂解透例1解析：设生产童装的天数为x，则生产西服的天数为(30x)，每月生产童装和西服的套数分别为200x和50(30x)，每月生产童装和西服的成本分别为40200x元和15050(30x)元，每月生产童装和西服的利润分别为22200x元和8050(30x)元，则总利润为y22200x8050(30x)，化简得y400x120 000.注意到每月成本不超过23万元，则40200x15050(30x)230 000，从而求出x的取值范围是0x10，且x为整数显然当x10时，赢利最大，最大利润是124 000元跟踪训练1解析：因为火

15、车匀速运动的时间为(27713)120115 (h)，所以0t115.因为火车匀速行驶t h所行驶路程为120t，所以，火车行驶总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是s13120t(0t115)离开北京2 h时火车行驶的路程s13120116233 (km)例2解析：(1)由已知，当15x36时，y-110x2+8x-90x110x90x882110x90x2.当且仅当110x90x，即x30时，取等号；当36x40时，y0.4x+54x0.454x.因为y0.454x在36，40上单调递减，所以y1.9，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.(2)若该企业生产此设备的研发

16、利润率不低于190%，由(1)可知，此时月研发经费15x36.于是，令y110x90x81.9，整理得x261x9000，解得25x36.因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是x25x36.跟踪训练2解析：设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3x)万元，总利润为y万元所以Q115x，Q2353-x.所以y15x353-x(0x3)，令t3-x(0t3)，则x3t2.所以y15(3t2)35t15t-3222120.当t32时，ymax21201.05(万元)，即x340.75(万元)，所以3x2.25(万元)由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0

17、.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元例3解析：(1)由题意，yx80t(209x50t)30t8x2030k6-12x+48x20180k360kx+48x20，即y180k360kx+48x20，x0，10，k0.5，1.(2)y180k360kx+48x20180k128x+4+45kx+4，因为x0，10，所以4x414，所以x+4+45kx+42x+445kx+465k，当且仅当x445kx+4，即x35k4时，等号成立所以y180k128x+4+45kx+4180k12485k，故政府补贴为35k4万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为180k12485k万元跟踪训

18、练3解析：(1)由题意，得y900，0x30900-10x-30，30x75即y900，0x301 200-10x，30x75.解析：(2)设旅行社获利S(x)元，则S(x)900x-15 000，0x30x1 200-10x-15 000，30x75，即Sx900x-15 000，0x30-10x-602+21 000，30x75因为S(x)900x15 000在区间(0，30上为增函数，所以当x30时，S(x)取最大值12 000元，又S(x)10(x60)221 000在区间(30，75上，当x60时，S(x)取得最大值21 000.故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润课堂十分钟1答案：A2答案：D3答案：A4答案：x60t，0t2.5150，2.5t3.5150-50t-3.5，3.50，解得x2.3，x是整数，3x6，xZ；当x6时，y50-3x-6x1153x268x115，令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数得6x20，xZ.fx50x-115，3x6，xZ-3x2+68x-115，6x20，xZ；(2)对于y50x1153x6，xZ，显然当x6时，ymax185；对于y3x268x1153x-343281136185，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多