2021-2022学年高中数学 模块综合测评（A）课后巩固提升（含解析）北师大版选修2-2.docx

1、模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设z1=x2-i,z2=-1+xi,xR,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为()A.-1B.0C.1D.1或-1解析由z1=x2-i,z2=-1+xi,则z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i.若z1+z2为纯虚数,则解得x=-1.故选A.答案A2.设函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)=x2+2xf(1),则f(0)等于()A.0B.-4C.-2D.2解析因为f(x)=x2+2xf(1),所以f(x)=2

2、x+2f(1),f(0)=2f(1).因为f(1)=2+2f(1),所以f(1)=-2,故f(0)=-4.答案B3.复数的共轭复数是()A.B.-C.iD.-i解析因为复数=i,所以复数的共轭复数是-i.答案D4.已知a,b是空间中两不同直线,是空间中两不同平面,下列命题正确的是()A.若直线ab,b,则aB.若平面,a,则aC.若平面,a,b,则abD.若a,b,ab,则解析若直线ab,b,则a或a,故A不对;若平面,a,则a或a,故B不对;若平面,a,b,则ab或a,b是异面直线,故C不对;根据垂直于同一条直线的两个平面平行,可得D正确.答案D5.观察下列等式,13+23=32,13+23

3、+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,13+23+33+43+53+63=()A.192B.202C.212D.222解析归纳得13+23+33+43+53+63=(1+2+6)2=212.答案C6.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图,则函数y=ax2+bx+的递增区间是()A.(-,-2B.C.-2,3D.解析由题图可知d=0.不妨取a=1,f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c.由图可知f(-2)=0,f(3)=0,12-4b+c=0,27+6b+c=0.b=-1.5,c=-18.y=x2-x-6,y=2x-.当x时,y0,y=x2-

4、x-6的递增区间为.故选D.答案D7.定积分dx的值为()A.+ln 2B.C.3+ln 2D.解析dx=dx=dx+xdx=ln xx2=ln 2-ln 1+22-12=+ln 2.答案A8.函数y=ln x(x0)的图像与直线y=x+a相切,则实数a等于()A.ln 2-1B.ln 2+1C.ln 2D.2ln 2解析y(x)=,由得切点为(2,ln 2),代入y=x+a,得a=ln 2-1.故选A.答案A9.已知过原点的直线l与曲线y=ex相切,则由曲线y=ex,y轴和直线l所围成的平面图形的面积是()A.-1B.e-1C.D.e+1解析由已知y=ex的导函数为y=ex,设过原点的直线l

5、与曲线y=ex相切于点(a,ea),则y|x=a=ea,直线l的方程为y=ea(x-a)+ea,即y=eax-aea+ea.又直线l过原点,则-aea+ea=0,解得a=1,所以直线l的方程为y=ex.由曲线y=ex,y轴和直线l所围成的平面图形的面积为(ex-ex)dx=-1=e-1.故选A.答案A10.设函数f(x)=x3+x2+tan ,其中,则导数f(1)的取值范围是()A.-2,2B.C.,2D.,2解析f(x)=sin x2+cos x,f(1)=sin +cos =2sin.,+.sin.2sin,2.答案D11.设m=exdx,n=dx,则m与n的大小关系为()A.mnD.mn

6、解析m=exdx=ex=e-1n=dx=ln x=1.答案C12.函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是()A.0f(2)f(3)f(3)-(2)B.0f(3)f(3)-f(2)f(2)C.0f(3)f(2)f(3)-f(2)D.0f(3)-f(2)f(2)f(3),而f(3)-f(2)=,表示连接点(2,f(2)与点(3,f(3)割线的斜率,根据导数的几何意义,一定可以在(2,3)之间找到一点,该点处的切线与割线平行,则割线的斜率就是该点处的切线的斜率,即该点处的导数,则必有0f(3)f(2).故选B.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设f(z)=,且z

7、1=1+5i,z2=-3+2i,则f()的值是.解析z1-z2=(1+5i)-(-3+2i)=4+3i,=4-3i.f(z)=,f(4-3i)=4+3i.答案4+3i14.已知函数f(x)=2x,若x1,x2是R上的任意两个数,且x1x2,则,请对比函数f(x)=2x得到函数g(x)=lg x一个类似的结论:.解析由题意知函数f(x)=2x是一个凹函数,函数g(x)=lg x是一个凸函数,所以x1,x2是R上的任意两个数,且x1x2,则lg .答案x1,x2是R上的任意两个数,且x1x2,则lg 15.曲线y=x2-1与直线y=2x+2围成的封闭图形的面积为.解析由可得可知所求的封闭图形的面积

8、S=2x+2-(x2-1)dx=x2+3x-x3=(9+9-9)-1-3+=.答案16.已知点P(-1,-1)在曲线y=上,则该曲线在点P处的切线方程为.解析由于点P(-1,-1)在曲线y=上,则-1=,得a=2,即有y=,导数y=,则曲线在点P处的切线斜率为k=2.故曲线在点P处的切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.答案y=2x+1三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f(x)的图像经过点(-2,0),如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若对x-3,

9、3都有f(x)m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.解(1)f(x)=3ax2+2bx+c,且y=f(x)的图像经过点(-2,0),f(x)=ax3+2ax2-4ax,由图像可知函数y=f(x)在(-,-2)上是减少的,在上是增加的,在上是减少的,由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1.f(x)=-x3-2x2+4x.(2)要使对x-3,3都有f(x)m2-14m恒成立,只需f(x)minm2-14m即可.由(1)可知函数y=f(x)在-3,-2)上是减少的,在上是增加的,在上是减少的,且f(-2)=-8,f(3)=-33-232+43=

10、-33-8,f(x)min=f(3)=-33.-33m2-14m3m11.故所求的实数m的取值范围为m|3m11.18.(本小题满分12分)(2020江苏,15)在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,B1C平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C平面ABB1.证明(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EFAB1.又EF平面AB1C1,AB1平面AB1C1,所以EF平面AB1C1.(2)因为B1C平面ABC,AB平面ABC,所以B1CAB.又ABAC,B1C平面AB1C,AC平面AB1C,B1CAC=C,所以AB平面AB1C

11、.又因为AB平面ABB1,所以平面AB1C平面ABB1.19.(本小题满分12分)如图,某小区有一矩形地块OABC,其中OC=2,OA=3.已知OEF是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l(宽度不计),交线段OC于点D,交线段OA于点 N.现以点 O为坐标原点,以线段 OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边 EF满足函数y=-x2+2(0x)的图像,点 M到y轴距离记为t.(1)当t=时,求直路l所在的直线方程;(2)当t为何值时,地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?解(1)当t=时,点M的横坐标x=,将其代入函数y=-x2+

12、2,得M,y=-2x,k=-.直线方程为y=-x+.(2)由(1)知,直线的方程为y=-2tx+t2+2,令y=0,得x=,令x=0,得y=t2+2,2,t2+23.2-t1.SOND=(t2+2)=.令g(t)=,则g(t)=,当t=时,g(t)=0,当t时,g(t)0,g(t)g,故所求面积的最大值为6-.20.(本小题满分12分)已知ABC的三边长分别为a,b,c,且其中任意两边长均不相等,若成等差数列.(1)比较的大小,并证明你的结论;(2)求证:角B不可能是钝角.(1)解.证明如下:要证,只需证.a,b,c0,只需证b2ac.成等差数列,2,b2ac.又a,b,c均不相等,b20,角

13、B不可能是钝角.方法二假设角B是钝角,则角B的对边为最大边,即ba,bc,0,0,则,这与矛盾,故假设不成立.角B不可能是钝角.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln x+x,g(x)=xex-a.(1)若x=1是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)若a=1,证明f(x)g(x).解(1)由已知可得,函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=+1.因为x=1是f(x)的极值点,所以f(1)=a+1=0,解得a=-1,此时f(x)=-+1=.故当0x1时,f(x)1时,f(x)0.所以f(x)的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1).(2)若a=1,则f(x)=ln

14、 x+x,g(x)=xex-1.设h(x)=f(x)-g(x)=ln x+x-xex+1,x(0,+),则h(x)=+1-(x+1)ex=(x+1).令t(x)=-ex,x(0,+),则t(x)=-ex0,t(1)=1-e0,所以x0,使得t(x0)=0,即,则ln=ln ,即-ln x0=x0.因此,当0x0,即h(x)0,则h(x)是增加的;当xx0时,t(x)0,即h(x)0,nN+.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明.解(1)因为a1=S1=-1,所以a1=-1.又因为an0,所以a1=-1.S2=a1+a2=-1,所以a2=.S3=a1+a2+a3=-1,所以a3=.(2)由(1)猜想an=,nN+.下面用数学归纳法加以证明:当n=1时,由(1)知a1=-1成立.假设n=k(kN+)时,ak=成立.当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=,所以+2ak+1-2=0.所以ak+1=,即当n=k+1时猜想也成立.综上可知,猜想对一切nN+都成立.