2021届高考数学二轮复习 专题能力训练16 椭圆、双曲线、抛物线 文（含解析）.docx

1、专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.13B.12C.22D.2232.已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.323.已知F是抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,过点R(2,1)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,R为线段AB的中点.若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为()A.3B.1C.2D.124.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上

2、,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=15.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-16.已知F是双曲线C:x24-y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则OPF的面积为()A.32B.52C.72D.927.(2020全国,文14)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为.8.已知直线l1:x-y+5

3、=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m0)与y轴相交

4、于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.二、思维提升训练12.已知点F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B.若|AF1|=2a,F1AF2=23,则SAF1F2SABF2=()A.1B.12C.13D.2313.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)

5、,F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=114.已知抛物线x2=16y的焦点为F,双曲线x24-y25=1的左、右焦点分别为点F1,F2,点P是双曲线右支上一点,则|PF|+|PF1|的最小值为.15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1

6、,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M0,15,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求MPQ面积的最大值.17.已知动点C是椭圆:x2a+y2=1(a1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=94的一条直径(A,B是端点),CACB的最大值是314.(1)求椭圆的方程.(2)已知椭圆的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围

7、;若不存在,请说明理由.专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C解析:因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以椭圆C的离心率e=ca=22.2.D解析:由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-y23=1,得y=3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故APF的面积为123(2-1)=32,故选D.3.B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).因为R(2,1)为线段AB的中点,所以x1+x2=22=4.根据抛物线的定义可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=22

8、+p=5,解得p=1.所以抛物线方程为y2=2x.所以y12=2x1,y22=2x2,两式相减并化简得y2-y1x2-x1=2y1+y2=221=1,即直线l的斜率为1,故选B.4.D解析:双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=bax上,c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.5.D解析:不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90,PF2

9、F1=60,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.6.B解析:设点P(x0,y0),则x024-y025=1.又|OP|=|OF|=4+5=3,x02+y02=9.由得,y02=259,即|y0|=53.SOPF=12|OF|y0|=12353=52.故选B.7.3解析:由题意得ba=2,即b=2a.c2=a2+b2=3a2,即c=3a,e=ca=3.8.922解析:在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,d1+d2=d1+|PF|,显然当PFl1,即d1+d2=|FM|时,

10、距离之和取到最小值.|FM|=922,所求最小值为922.9.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,点B的坐标为2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t1+t2和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA

11、的距离是d=t21+t2.设PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|d=t32.10.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x1,且x-1.此时,MA的斜率为yx+1,MB的斜率为yx-1.由题意,有yx+1yx-1=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x1).(2)由y=x+m,4x2-y2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.对于方程,其判别式=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+480,而当1或-1为方程的根时,m的值为-1或1.结合题设(m0)可

12、知,m0,且m1.设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则xQ,xR为方程的两根,因为|PQ|PR|,所以|xQ|1,且1+3m22,所以11+221+3m2-13,且1+221+3m2-153,所以1|PR|PQ|=xRxQ2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=25,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为x25+y24=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.联立方程组y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有=80(4+20t2-t4)0,x1+x2=20

13、t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.而|PQ|=1+4t2|x1-x2|=1+4t280(4+20t2-t4)4+20t2,点M到PQ的高为h=15+t21+4t2,由SMPQ=12|PQ|h代入化简,得SMPQ=510-(t2-10)2+104510104=1305,当且仅当t2=10时,SMPQ可取最大值1305.17.解(1)设点C的坐标为(x,y),则x2a+y2=1.连接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),CG=(-x,2-y),可得CACB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1

14、)y2-4y+a+74,其中y-1,1.因为a1,所以当y=42(1-a)-1,即1-1,即a3时,CACB的最大值是4(1-a)a+74-164(1-a),由条件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆的方程是x25+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足x125+y12=1,x225+y22=1,两式相减,整理,得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0,从而直线PQ的方程为y-y0=-x05y0(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-x05y0(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-x02=5y020,从而0x02.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0m2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=5y0x0(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=5y0x0(m-x0),得m=45x0,从而m0,85.