2021届高考数学二轮复习 思想方法训练2 分类讨论思想 文（含解析）.docx

1、思想方法训练2分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数f(x)=2x-4,x4,-log2(x+1),x4,若f(a)=18,则实数a等于()A.1或182-1B.182-1C.1D.32.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=3bc,且b=3a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c23.若a0,且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.pqD.当a1时,pq;当0a1时,p0,且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大a2,则a的值是.10.已知an是等差数列,b

2、n是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通项公式;(2)设cn=(-1)nan+bn,求数列cn的前n项和Sn.11.设a0,函数f(x)=12x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2)处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.二、思维提升训练12.若直线l过点P-3,-32且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-32C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=013.已知函数f(x)=|x|,xm,x2-2mx+4m,xm,其中m0.若

3、存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.14.设函数g(x)=-2sin2x-2acos x-2a+1的最小值为h(a),则满足h(a)=12的a的值为.15.已知函数f(x)=ax2-2x(0x1),求函数f(x)的最小值.16.已知函数f(x)=aln x+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间1,e上的最小值及相应的x值;(2)若存在x1,e,使得f(x)(a+2)x成立,求实数a的取值范围.思想方法训练2分类讨论思想一、能力突破训练1.C解析:当a4时,f(a)=2a-4=18=2-3,即a-4=-3,即a=1,符合要求.当a4时,f(a)=-l

4、og2(a+1)=18,即a+1=2-18,即a=2-18-10,不符合要求.故a=1.2.B解析:在ABC中,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,则A=6.又b=3a,由正弦定理,得sinB=3sinA=32,则B=3或B=23.当B=3时,ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=23时,ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.C解析:当0a1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,a3+1loga(a2+1),即pq.当a1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,a3+1a2+1,loga(a3+1)loga(a2+1),即pq.

5、综上可得pq.4.C解析:当焦点在x轴上时,ba=34,此时离心率e=ca=54;当焦点在y轴上时,ab=34,此时离心率e=ca=53,故选C.5.C解析:不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),MN=(0,-y),AN=(x+1,0),NB=(1-x,0),代入MN2=ANNB得x2+y2=,当=1时,动点M的轨迹为圆;当=2时,动点M的轨迹为椭圆;当0时,动点M的轨迹为双曲线,所以选C.6.B解析:由y-10,x-y+20,x+4y-80作出可行域,如图.因为目标函数z=ax+y仅

6、在点A(4,1)处取最大值,所以当a=0时,z=y在点(0,2)处取最大值,不成立;当a0,目标函数在点(4,1)处取不到最大值.当a0时,直线z=ax+y的斜率k=-a,且小于直线x+4y-8=0的斜率-14,故a14.综上可知a14.所以原点O到直线ax-y+17=0的距离d=171+a21时,y=ax在区间1,2上单调递增,故a2-a=a2,得a=32;当0a0,f(x)=x-(a+1)+ax.因为曲线y=f(x)在(2,f(2)处切线的斜率为1,所以f(2)=1,即2-(a+1)+a2=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2)处的切线方程为x-y-2=0

7、.(2)f(x)=x-(a+1)+ax=x2-(a+1)x+ax=(x-1)(x-a)x.当0a0,函数f(x)单调递增;若x(a,1),则f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-12a2+alna,极小值是f(1)=-12.当a=1时,若x(0,1),则f(x)0,若x=1,则f(x)=0,若x(1,+),则f(x)0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.当a1时,若x(0,1),则f(x)0,函数f(x)单调递增;若x(1,a),则f(x)0,函数f(x)单调递增,此时

8、x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-12,极小值是f(a)=-12a2+alna.综上,当0a1时,f(x)的极大值是-12,极小值是-12a2+alna.二、思维提升训练12.D解析:若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+32=k(x+3),即kx-y+3k-32=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为52-42=3k-32k2+1,解得k=-34,此时直线l的方程为

9、3x+4y+15=0.13.(3,+)解析:当xm时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为P(m,4m-m2).函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m).(1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m2m,也就是m(m-3)0时,解得0m3,又因为m0,所以0m3.此时函数f(x)的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数f(x)的图象最多只有两个交点,不合题意;(2)点P在点Q的下方时,即4m-m20时,解得m3,又因为m0,所以m3.此时函数f(x)的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多可有三个交点,符

10、合题意.所以m3.14.-1解析:g(x)=-2sin2x-2acosx-2a+1=2cos2x-2acosx-(2a+1).令cosx=t,可得t-1,1,令f(t)=2t2-2at-(2a+1),t-1,1,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为t=a2,当a2-1,即a1,即a2时,函数f(t)在区间-1,1上单调递减,故f(t)min=2-2a-2a-1=1-4a,即h(a)=-4a+1=12,得a=18,与a2矛盾;当-1a21,即-2a2时,故f(t)min=2a22-2aa2-(2a+1)=-a22-2a-1,即h(a)=-a22-2a-1=12,变形可得a2+4a+3=0,解得a=

11、-1(a=-3舍去)综上可得,满足h(a)=12的a的值为-1.15.解(1)当a=0时,函数f(x)=-2x在区间0,1上单调递减,f(x)min=f(1)=-2.(2)当a0时,函数f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对称轴为直线x=1a.当1a1,即a1时,f(x)=ax2-2x的图象对称轴在区间0,1内,f(x)在区间0,1a上单调递减,在区间1a,1上单调递增,f(x)min=f1a=1a-2a=-1a.当1a1,即0a1时,函数f(x)=ax2-2x的图象对称轴在区间0,1的右侧,f(x)在区间0,1上单调递减,f(x)min=f(1)=a-2.(3)当a0时,函数f(x

12、)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=1a0,在y轴的左侧,函数f(x)=ax2-2x在区间0,1上单调递减,f(x)min=f(1)=a-2.综上所述,f(x)min=a-2,a1,-1a,a1.16.解(1)f(x)=alnx+x2的定义域为(0,+),f(x)=ax+2x=2x2+ax.当x1,e时,2x22,2e2.若a-2,则f(x)在区间1,e上非负(仅当a=-2,x=1时,f(x)=0),故f(x)在区间1,e上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2a-2,令f(x)0,解得1x0,解得-a2xe,此时f(x)单调递增,f(x)min=f-a2=a2l

13、n-a2-a2;若a-2e2,f(x)在区间1,e上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f(x)=0),故f(x)在区间1,e上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2a-2时,f(x)min=a2ln-a2-a2,相应的x=-a2;当a-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)(a+2)x可化为a(x-lnx)x2-2x.x1,e,lnx1x且等号不能同时成立,lnx0,因而ax2-2xx-lnx,x1,e,令g(x)=x2-2xx-lnx(x1,e),则g(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2,当x1,e时,x-10,lnx1,x+2-2lnx0,从而g(x)0(仅当x=1时取等号),g(x)在区间1,e上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,实数a的取值范围是-1,+).