2021届高考数学二轮复习 题型练7 大题专项（五）解析几何综合问题 文（含解析）.docx

1、题型练7大题专项(五)解析几何综合问题题型练第62页1.如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2+y24=1(x0)上的动点,求PAB面积的取值范围.(1)证明设P(x0,y0),A14y12,y1,B14y22,y2.因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程y+y022=414y2+x02,即y2-2y0y+8x0-y02=0的两个不同的实根.所以y1+y2=2y0,因此,PM垂直于y轴.(2)解由(1)可知y1+y2=2y0,y1y2=8x

2、0-y02,所以|PM|=18(y12+y22)-x0=34y02-3x0,|y1-y2|=22(y02-4x0).因此,PAB的面积SPAB=12|PM|y1-y2|=324(y02-4x0)32.因为x02+y024=1(x00),所以y02-4x0=-4x02-4x0+44,5,因此,PAB面积的取值范围是62,15104.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.(1)解由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C

3、的方程为x24+y2=1.又c=a2-b2=3,所以离心率e=ca=32.(2)证明设P(x0,y0)(x00,y00),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为27.(1)求抛物线C的方程;(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设PF=1FD,PG=2GD,试问1+2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.解(1)由已知:直线m的方程为y=x-p2,代入y2=2px,得x2-3px+p24=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且线段AB的中点为32p

4、,p,由已知(7)2+32p2=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l:y=kx+2(k0),则D-2k,0,联立y=kx+2,y2=4x,得k2x2+4(k-1)x+4=0.由0得kb0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B,已知3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.解(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有3a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.所以

5、,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆方程为x24c2+y23c2=1,由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=34(x+c).点P的坐标满足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因为点P在x轴上方,所以Pc,32c.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OCAP,且由(1)知A(-2c,0),所以t4=32cc+2c,解得t=2.因为圆C与x轴相切,所以圆的半径为2,又由圆C与l相切,得34(4+c)-21+(3

6、4)2=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,且圆x2+y2-2x-3y=0的圆心在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线y=mx+n与椭圆C只有一个公共点M,且与直线x=4相交于点N,问x轴上是否存在点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)由e=12(其中e为椭圆C的离心率),得a2-b2a2=1-b2a2=12,即3a2=4b2.又圆x2+y2-2x-3y=0的圆心1,32在椭圆C上,所以1a2+94b2=1.联立3a2=4b2,1a2+94b2=

7、1,解得a2=4,b2=3.故椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)联立y=mx+n,x24+y23=1,消去y,整理得(3+4m2)x2+8mnx+4n2-12=0.因为直线y=mx+n与椭圆C只有一个公共点M,所以=64m2n2-4(3+4m2)(4n2-12)=0,即n2=3+4m2.设点M的坐标为(xM,yM),则xM=-4mn3+4m2=-4mn,yM=mxM+n=3n,即M-4mn,3n.假设x轴上存在点P(t,0),使得以MN为直径的圆恒过点P.因为N(4,4m+n),所以PM=-4mn-t,3n,PN=(4-t,4m+n).所以PMPN=-4mn-t(4-t)+3n(4m+n)=t2-4t+3+4mn(t-1)=0恒成立.所以t=1,t2-4t+3=0,即t=1.所以在x轴上存在点P(1,0),使得以MN为直径的圆恒过点P.