2024届新高考：多元变量问题的最值处理技巧.pdf

1、1多元变量问题的最值处理技巧【典型例题】1(2024河北唐山统考二模)已知正数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1，则 S=1+z2xyz 的最小值为A.3B.33+12C.4D.22+1【答案】C【解析】由题意可得，0 z 1,0 1-z 0 1+z2xy 11-z 1+z2xyz 1z 1-z 4(当且仅当 x=y=64,z=12 时取等号)则 S=1+z2xyz 的最小值 42(2024浙江杭州高三杭十四中阶段练习)已知正数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1，则 S=1+zxy+1z 的最小值是()A.2+3 2B.3+2 2C.3+2 3D.4+3 2【答案】B【解析】x2+

2、y2+z2=1,1-z2=x2+y2 2xy(当且仅当 x=y 时取等号)1-z2 2xy,1-z2xy 2又因为已知正数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1，所以 0 z 1，故 y=12 3 c-12+1在4-22,4+22为增函数，当 c=4-22时，y=11-6 24=114-3 22；当 c=4+22时，y=114+3 22；所以 ab 的取值范围是114-3 22,114+3 22【过关测试】一、单选题1(2024江苏泰州高二泰州中学校考阶段练习)已知实数 a，b，c 满足 a+b+c=1，a2+b2+c2=1，则a+b 的取值范围是()A.-1,1B.-13,0C.0,43D

3、.0,2【答案】C【解析】a+b+c=1，a2+b2+c2=1，a+b=1-c，ab=12a+b2-a2+b2=c2-c，ab a+b22，c2-c 1-c24，-13 c 1，0 1-c 43，0 a+b 43，故选：C.2(2024浙江宁波统考三模)已知实数 a,b,c 满足 a2+b2+c2=1，则 ab+bc+ca 的取值范围是A.(-,1B.-1,1C.-12,1D.-14,1【答案】C【解析】因为(a+b+c)2 0，即 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 0，又 a2+b2+c2=1，所以 ab+ac+bc-12(a2+b2+c2)=-12；因为 2ab a2+b2，2ac

4、 a2+c2，2bc b2+c2，所以 2ab+2ac+2bc 2a2+2b2+2c2，即 ab+ac+bc a2+b2+c2=1，当且仅当 a=b=c=33 或 a=b=c=-33 时取等号.综上，ab+bc+ca 的取值范围是-12,1.故选：C.3(2024全国高三校联考阶段练习)已知实数 a，b，c 满足 a+b+c=1，a2+b2+c2=1，则 a3+b3+c3的最小值是()A.13B.59C.79D.14【答案】B【解析】由 a+b+c=1，a2+b2+c2=1 可得 a+b=1-c，a2+b2=1-c2，由 a+b2=a2+b2+2ab 可得 ab=a+b2-a2+b22所以 a

5、b=1-c2-1-c22=c2-c，由 a+b2 4ab 可得 1-c2 4 c2-c即 3c2-2c-1 0，解得-13 c 1，所以 a3+b3+c3=a+ba2-ab+b2+c3=1-c1-c2-c2+c+c3=1-c-2c2+c+1+c3=3c3-3c2+1，令 f c=3c3-3c2+1，-13 c 1f c=9c2-6c=3c 3c-2，由 f c 0 可得 0 c 0 可得-13 c 0 或 23 c 0,若 5a+8b+4ca+b的最大值和最小值分别为 M,m，则 M+m 的值为()A.9B.323C.493D.19【答案】D【解析】由 b2=ac 得 c=b2a，则 5b 2

6、 a+b2a,a 0，所以 5ba 2 1+b2a2，即 2 ba2-5 ba+2 0，解得，12 ba 2令 1+ba=x，x 32,3，5a+8b+4ca+b=5a+8b+4b2aa+b=5+8ba+4b2a21+ba=5+8(x-1)+4(x-1)2x=4x2+1x=4x+1x，因为函数 y=4x+1x 在 x 32,3上单调递增，所以当 x=32 时 5a+8b+4ca+b取得最小值 m=4 32+23=203，当 x=3 时取得最大值 M=12+13=373，所以 M+m=373+203=19.故选 D55(2024重庆高考真题)若 a，b，c 0，且 a2+2ab+2ac+4bc=

7、12，则 a+b+c 的最小值是.A.2 3B.3C.2D.3【答案】A【解析】因为 a2+2ab+2ac+4bc=12，所以 2ab+2ac+2bc=12-a2-2bc而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=12+b2+c2-2bc=12+(b-c)2 12，且 a,b,c 0所以 a+b+c 2 3，当且仅当 b=c 时等号成立.6(2024河南南阳高三期中)设 a b c 0，则 2a2+1ab+1a a-b-10ac+25c2取得最小值时，a的值为()A.2B.2C.4D.2 5【答案】A【解析】转化条件为原式=1ab+ab+1a(a-b)+a(a-b)+(a-5

8、c)2，结合基本不等式即可得解.2a2+1ab+1a a-b-10ac+25c2=1ab+ab+1a(a-b)+a(a-b)-ab-a(a-b)+2a2-10ac+25c2=1ab+ab+1a(a-b)+a(a-b)+a2-10ac+25c2=1ab+ab+1a(a-b)+a(a-b)+(a-5c)2 21ab ab+21a(a-b)a(a-b)+0=4，当且仅当ab=1a(a-b)=1a=5c，即 a=2，b=22，c=25 时，等号成立.故选：A.7(2024安徽蚌埠高一统考期末)若 x，y，z 均为正实数，则xy+yzx2+2y2+z2 的最大值为()A.32B.22C.12D.14【答

9、案】C【解析】因为 x，y，z 均为正数，所以 x2+y2 2xy,z2+y2 2yz，所以xy+yzx2+2y2+z2=xy+yzx2+y2+y2+z2 xy+yz2xy+2yz=12，当且仅当 x=y=z 时等号成立.故选：C二、多选题8(2024江苏南通统考模拟预测)若非负实数 a，b，c 满足 a+b+c=1，则下列说法中一定正确的有()A.a2+b2+c2的最小值为 13B.(a+b)c 的最大值为 29C.ab+bc+ca 的最大值为 13D.a b+b c 的最大值为 496【答案】ACD【解析】对于 A，由 a2+b2 2ab，b2+c2 2bc，c2+a2 2ca，得 2a2

10、+2b2+2c2 2ab+2bc+2ca，两边同时加上a2+b2+c2，可得 3 a2+b2+c2(a+b+c)2=1，所以 a2+b2+c2 13，当且仅当 a=b=c=13 时取等号，所以 A 正确.对于 B，易得 a+b=1-c，所以(a+b)c=(1-c)c 1-c+c22=14，当且仅当 a+b=12，c=12 时取等号，所以 B 不正确.对于 C，由 a2+b2+c2 ab+bc+ca，两边同时加上 2ab+2bc+2ca，得 l=(a+b+c)2 3(ab+bc+ca)，所以 ab+bc+ca 13，当且仅当 a=b=c=13 时取等号，所以 C 正确.对于 D，易得 a=1-b

11、-c，令b=x，c=y，所以 a b+b c=(1-b-c)b+b c=1-x2-y2x+x2y=x-x3+xy(x-y)，x-x3+x y+x-y22 x-x3+x x24=x-34 x3记 f(x)=x-34 x3，0 x 1，利用导数易求得 f(x)f23=49，所以 D 正确.故选：ACD9(2024福建泉州高一福建省德化第一中学校考阶段练习)已知正实数 a,b,c 满足 a2-ab+4b2-c=0，当 cab 取最小值时，下列说法正确的是()A.a=4bB.c=6b2C.a+b-c 的最大值为 34D.a+b-c 的最大值为 38【答案】BD【解析】对于 A，由 a2-ab+4b2-

12、c=0，则 cab=ab+4ba-1 2ab 4ba-1=3，当且仅当 a=2b 时，等号成立，故 A 错误，对于 B，当 cab 取最小值时，cab=3a=2b，则 c=6b2，故 B 正确；对于 C、D，a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6 b-142+38 38，当且仅当 a=12，b=14，c=38，等号成立，故 a+b-cmax=38，故 C 错误，D 正确.故选：BD.三、填空题10(2024福建厦门高一厦门双十中学校考期中)已知正数 x，y，z 满足 3x2+2y2+z2=1，则 s=1+zxyz的最小值为【答案】8 6【解析】因为 3x2+2y2+z2=1，所以

13、3x2+2y2=1-z2=1-z1+z；易知 z 0 3c2-2c-5 0，得-1 c 0，f x单调递增，在-13,1上 f x 0，f x单调递减，f-13=-127-19+13=527，f53=12527-259-53=527，f 1=-1,f-1=-1，所以 f x=x3-x2-x 在-1 c b c，且满足：a+b+c=1,a2+b2+c2=3，则 s=b+c 的取值范围是.【答案】-23,0【解析】根据题意可得 b+c=1-a，b+c2-2bc=3-a2，从而可得 bc=a2-a-1，将 b,c 看为一元二次方程的根，利用 0 求出 a 的范围，再利用反证法求出 a 1，即可求解.

14、由已知可得 b+c=1-a，b+c2-2bc=3-a2，即 bc=a2-a-1，因此，以 b,c 为根的方程为 x2+a-1x+a2-a-1=0，=a-12-4 a2-a-1 0，8解得-1 a-23，同理可得-1 b 53，-1 c b c，由-b a 1，-c a 1，所以 a2 1，b2 1，c2 1，所以 b+c=1-a 0综上，-23 b+c 0，故答案为：-23,0.13(2024河北石家庄高一校考阶段练习)已知实数 a，b，c 满足 a2+4b2+2c2=5，则 2ab+3c 的最大值为【答案】194/4.75【解析】因为 2ab=a 2b a2+4b22，当且仅当 a=2b 时

15、取到等号，所以 2ab+3c 5-2c22+3c=-c-322+194，由 2c2 5 可知 c=32 可以取到等号，故 2ab+3c 194.故答案为：194.14(2024浙江衢州衢州二中校考一模)已知实数 a，b，c 满足 a2+b2+2c2=1，则 ab+c 的最小值是.【答案】-916【解析】先分离出 a2+b2，应用基本不等式转化为关于 c 的二次函数，进而求出最小值.若 ab+c 取最小值，则 ab 异号，c 0，故 cab 3，当且仅当 a=2b 时等号成立，故 cab 有最小值 3，此时 c=6b2,a=2b，故 a+b-c=-6b2+3b=-6 b-142+38，故当 a=

16、12,b=14,c=38 时，a+b-c 有最大值为 38，故填 38.17(2024全国高三专题练习)设 x,y 为实数，若 4x2+y2+xy=1，则 2x+y 的最大值是【答案】2 105【解析】由 4x2+y2+xy=1 化简可得 2x+y2-3xy=1，令 t=2x+y，则 y=t-2x，所以 t2-3x t-2x=1，即 6x2-3tx+t2-1=0，所以 =-3t2-24 t2-1 0，解得-2 105 t 2 105，所以 2x+y 的最大值是 2 105，此时 x=1010，y=105故答案为：2 105.18(2024重庆沙坪坝高二重庆一中校考期末)设 x，y 为正实数，若

17、 4x2+y2+xy=1，则 2x+y6+6xy 的最大值是.【答案】1018【解析】4x2+y2+xy=1，即 4x2+y2=1-xy 1-xy=4x2+y2 2 4x2 y2=4xy，当且仅当 4x2=y2即 2x=y 时，取等号，xy 15，当且仅当 2x=y 时，取等号，4x2+y2+xy=1，即(2x+y)2-3xy=1 2x+y=1+3xy 85，当且仅当 2x=y 时，取等号，令 2x+y=1+3xy=m 85，则 3xy=m2-1，2x+y6+6xy=m2m2+4=12m+4m，10 当 m=85 时，2m+4m 取最小值 9 105，此时 2x+y6+6xy 最大为：1018

18、故答案为：1018.19(2024全国高三专题练习)对任意的 x，y R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为；若正实数 x，y，z 满足 x2+2y2+z2=1，则 t=433xy+2yz+xz 的最大值是.【答案】362【解析】对任意 x，y R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|x-1-x|+|1-y+y+1|=3，当且仅当 x 0,1，y -1,1成立，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为 3；正实数 x，y，z 满足 x2+2y2+z2=1，1=x2+2y2+z2=23 x2+43 y2+23 y2

19、+12 z2+13 x2+12 z2 2 2 23xy+2 33 yz+2 66 xz，当且仅当 x=2y=62 z 时，等号成立，2 2 23xy+2 33 yz+2 66 xz32 1 32=62，t=433xy+2yz+xz 的最大值为62.故答案为：3，62.20(2024陕西渭南高二校考阶段练习)已知 x，y，z 是正实数，且 x+y+z=5，则 x2+2y2+z2的最小值为.【答案】10【解析】由柯西不等式可得 x2+2y2+z212+122+12(x+y+z)2，所以 52 x2+2y2+z2 25，即 x2+2y2+z2 10，当且仅当 x1=2y12=z1 即 x=2y=z

20、也即 x=2,y=1,z=2 时取得等号，故答案为：1021(2024浙江嘉兴高三阶段练习)已知 a 0，b 0，c 1 且 a+b=1，则a2+1ab-2 c+2c-1 的最小值为【答案】4+2 2【解析】根据 a+b=1 和“1”的代换，利用不等式化简 a2+1ab，代入a2+1ab-2 c+2c-1 化简后，利用添补项和基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时 a、b、c 的值因为 a 0，b 0，a+b=1，所以 a2+1ab=a2+(a+b)2ab=2a2+b2+2abab 2 2ab+2abab=2 2+2，又 c 1，则a2+1ab-2 c+2c-1 2 2c+2c-111=

21、2 2(c-1)+1c-1+22 22(c-1)1c-1+2=4+2 2，其中等号成立的条件：当且仅当2a2=b2a+b=12(c-1)=1c-1，解得 a=2-1，b=2-2，c=1+22，所以a2+1ab-2 c+2c-1 的最小值是 4+2 2.故答案为：4+2 2.22(2024广东统考一模)已知 P x,y为函数 y=x2+34 图象上一动点，则3x+yx2+y2 的最大值为【答案】3【解析】设 Q3,1，原点 O，则 OQ=3,1，OP=x,y；所以 cosPOQ=OP OQOP OQ=3x+y2 x2+y2，即3x+yx2+y2=2cosPOQ，如图所示，所以当直线 y=kx 与函数 y=x2+34 在 y 轴右侧相切时，cosPOQ 取到最大值，即3x+yx2+y2 取得最大值；联立直线 y=kx 与函数 y=x2+34 可得 x2-kx+34=0，所以 =k2-4 34=0，解得 k=3(k=-3 舍去)；此时 x=32,y=32，所以3x+yx2+y2=3 32+3234+94=3，即3x+yx2+y2 的最大值为3.故答案为：3