2024年高考数学二轮复习：解三角形压轴综合小题（解析版）.pdf

1、1解三角形压轴综合小题 目录题型 01 边角互化求角题型 02 判断三角型形状题型 03 三角形几解判断题型 04 正余弦应用：求面积题型 05 正余弦应用：求长度题型 06 正余弦应用：比值型求值题型 07 最值型：角与对边互化面积型题型 08 最值型：周长边长范围题型 09 最值型：比值范围题型 10 最值型：余弦定理齐次式题型 11 最值型：正切题型 12 三角形角平分线型题型 13 三角形中线型题型 14 三角形重心型题型 15 三角形外接圆高考练场题型 01 边角互化求角【解题攻略】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2

2、)从式子结构来选择边角互化的方法(1)边化角：利用正弦定理asinA=bsinB=csinC=2r(r 为 ABC 外接圆半径)得 a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC；(2)角化边：利用正弦定理：sinA=a2r，sinB=b2r，sinC=c2r利用余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc辅助角公式asin+bcos=a2+b2aa2+b2 sin+ba2+b2 cos；aa2+b22+ba2+b22=12(1)正弦形式a2+b2sin(+)：sin cos cos sin=sin()其中：cos=aa2+b2,sin=ba2+b2.(2)余弦形式a2+b2cos(-)：

3、cos cos sin sin=cos()其中：sin=aa2+b2,cos=ba2+b2.1(2022 下黑龙江哈尔滨高三校联考)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a-bc-b=sinCsinA+sinB，则 A=()A.6B.3C.23D.3 或 23【答案】B【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.【详解】因为 a-bc-b=sinCsinA+sinB，由正弦定理得 a-bc-b=ca+b，整理得 b2+c2-a2=bc，由余弦定理得 cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又因为 A 0,，所以 A=3 故选：B2(2021 下内蒙古

4、赤峰高三校考阶段练习)在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若 b=2asinB，则角 A 等于()A.30B.45C.60D.30 或 150【答案】A【详解】由正弦定理asinA=bsinB=csinC 和 b=2asinB 可得 sinB=2sinAsinB.因为 B 0,2所以 sinB 0，所以 sinA=12，因为 A 0,2，所以 A 为 30.故选：A【变式训练】1(2023 上河南焦作高三石家庄市第九中学校考)在 ABC 中，A,B,C 的对边分别为 a，b，c，若 bcos A+B=c-2acosB，则 B=()A.6B.3C.2D.23【答案】

5、B【分析】由正弦定理和正弦展开式再结合边化角计算得出.【详解】由题意可得 bcos A+B=bcos -C=-bcosC=c-2acosB，所以 2acosB=ccosB+bcosC，由正弦定理可得 2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，即 2sinAcosB=sin B+C=sinA，因为 A 为三角形内角，sinA 0，3所以可得 2cosB=1，即 cosB=12，又 B 0,，所以 B=3 故选：B2(2023湖南校联考模拟预测)在 ABC 中，BC=3，sinB+sinC=103sinA，且 ABC 的面积为12 sinA，则 A=()A.6B.4C.3D.23【答

6、案】D【分析】先利用正弦定理角化边可得 b+c=10，再由三角形面积公式可得 bc=1，最后根据余弦定理求解即可.【详解】设 ABC 中角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，因为 sinB+sinC=103sinA，所以由正弦定理可得 b+c=103a=10，又 SABC=12 bcsinA=12 sinA 解得 bc=1，所以由余弦定理可得 cosA=b2+c2-a22bc=b+c2-2bc-a22bc=10-2-92=-12，因为 A 0,，所以 A=23，故选：D3(2023 上黑龙江佳木斯高三佳木斯一中校考阶段练习)在 ABC 中，a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，已知

7、b=3,cosBcosC=32a-c，则 cosB 等于()A.12B.32C.-12D.-32【答案】A【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到 2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，再根据两角和的正弦公式，即可求解.【详解】由 cosBcosC=32a-c 且 b=3，可得(2a-c)cosB=bcosC，根据正弦定理得 2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，因为 A (0,)，可得 sinA 0，所以 cosB=12.故选：A.题型 02 判断三角型形状【解题攻略】判

8、断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点 sinA=sinB A=B ABC 为等腰三角形 sinA=cosB A+B=2 或 A-B=2 ABC 直角三角形或钝角三角形 sin2A=sin2B A=B 或 A+B=2 ABC 为等腰三角形或钝角三角形4 cos2A=cos2B A=B ABC 为等腰三角形 a2+b2=c2 cosC=0 ABC 为直角三角形 a2+b2-c2 0 cosC 0或 a2+c2-b2 0 cosB 0 ABC 为钝角三角形或 b2+c2-a2 0 cosA 0 cosC 0且 a2+c2-b2 0 cosB 0 AB

9、C 为锐角三角形且 b2+c2-a2 0 cosA 01 在 ABC 中，a,b,c 是三角形的三条边，若方程 x2-2xsinC+sin2A+sin2B=0 有两个相等的实数根，则ABC 是()A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.以上都有可能【答案】B【分析】方程有两个相等的实数根，则有 =0，再利用正弦定理边角互化的应用可得 c2=a2+b2，从而可得三角形的形状.【详解】由题可知,方程 x2-2xsinC+sin2A+sin2B=0 有两个相等的实数根，=4sin2C-4 sin2A+sin2B=0，sin2C=sin2A+sin2B，再由正弦定理可得 c2=a2+b2，

10、ABC 是直角三角形.故选：B.2 在 ABC 中，已知 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB 1，则 ABC 是()A.直角三角形；B.锐角三角形；C.钝角三角形；D.等边三角形【答案】A【分析】由两角和的正弦公式化简已知式后确定 A 角大小，判断三角形形状【详解】解：由已知 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB=sinA 1，所以 sinA=1，因为 A (0,)，所以 A=2，即三角形为直角三角形故选：A【变式训练】1 在 ABC 中，1+cosA=b+cc，则三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D.等腰三角形【答案】A【分析

11、】利用余弦定理化简题给条件即可得到 c2=b2+a2，进而得到 ABC 的形状为直角三角形.【详解】ABC 中，1+cosA=b+cc，则 1+b2+c2-a22bc=b+cc，整理得 c2=b2+a2，则 C=90，则 ABC 的形状为直角三角形，故选：A.52 记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a+b+cb+c-a=2bc，那么 ABC 是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】B【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.【详解】在 ABC 中，a+b+cb+c-a=b+c2-a2

12、=b2+c2-a2+2bc=2bc，b2+c2-a2=0，即 b2+c2=a2，则 ABC 为直角三角形，故选：B.3 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 c2-a2-b22ab 0，则 ABC 一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【答案】C【分析】利用余弦定理求解.【详解】解：因为 c2-a2-b22ab 0，所以 cosC=a2+b2-c22ab bsinA，0，则两个解；a bsinA，20 sin30=10，而 b=10，这样的三角形无解.故选:D.2 在 ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，若 a=2,b

13、=1,B=29，则此三角形解的情况是()A.无解B.有一解C.有两解D.有无数解【答案】C【分析】由正弦定理求得 sinA 的值，并结合大边对大角进行判定角 A 的解的个数，即得三角形的解的个数.【详解】由正弦定理可得，sinA=asinBb=2 sin291=2 sin29 b，A B，由于 B 为锐角，角 A 可以为锐角，也可以为钝角,即三角形的解有 2 个.故选：C.【变式训练】1 在 ABC 中，a=80，b=100，A=45，则此三角形解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解【答案】B【分析】由正弦定理得 sinB=5 2822=sin45=sinA，即得解.【详解】由正

14、弦定理得 8022=100sinB,sinB=5 2822=sin45=sinA,所以 B A,所以 B 可以是一个锐角，可以是一个钝角，所以此三角形有两解.故选：B2 在 ABC 中，已知 b=4 5，c=3 5，C=30，则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定【答案】B【分析】利用余弦定理得到关于 a 的方程解方程即可做出判断.【详解】在 ABC 中，b=4 5，c=3 5，C=30，由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC，即 45=a2+80-2a 4 5cos30，解得a=2 15 5，则此三角形有两个解.故选：B.3 在 ABC 中，已

15、知 a=18，b=20，A=150，这个三角形解的情况是A.一解B.两解C.无解D.不确定【答案】C7【分析】根据正弦定理：asinA=bsinB 和三角形内角和定理，即可求得答案.【详解】a=18，b=20，A=150根据正弦定理：asinA=bsinB 由 b a，可得 B A 故 B A=150违背了三角形内角和定理，故此三角形无解.故选：C.题型 04 正余弦应用：求面积【解题攻略】三角形面积：SABC=12 absin C=12 bcsin A=12 acsin B=abc4R SABC=12(a+b+c)r(r 是切圆的半径)1 记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b

16、，c，若 asinB=bsinC，则 ABC 的面积为()A.a2sin2C2B.b2sin2A2C.c2sin2B2D.3 a2+b2+c212【答案】A【分析】根据题意和正弦定理可得 sinA=sinC，进而 a=c,A=C，利用诱导公式可得 sinB=sin2C，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】asinB=bsinC，由正弦定理，得 sinAsinB=sinBsinC，又 0 B 2)，则 cosA=t2(t-2)(t+4)=t2t2+2t-8=1-8 1t2+2 1t+1=1-81t-182+98 2 23，当且仅当 t=8，即 c=6,b=2 3 时等号成立，当角 A 最大

17、时，cosA=2 23，sinA=13，SABC=12 2 3 6 13=2，即角 A 最大时，三角形 ABC 的面积等于2故答案为2题型 05 正余弦应用：求长度【解题攻略】.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.1(2023 下江西萍乡高三统考)已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，若 b=4+2 2-c

18、，cosB=34，tanC=-7，则 a=【答案】2【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系可得 sinB,sinC,cosC，然后结合正弦定理可求得 ABC 的外接圆半径 R，即可得到结果.【详解】在 ABC 中，cosB=34，tanC=-7，所以 sinB=1-cos2B=74，sinCcosC=-7，且 sin2C+cos2C=1，所以 sinC=144,cosC=-24，设 ABC 的外接圆半径为 R，则 b=2RsinB=2R 74=72 R，c=2RsinC=2R 144=142R，且b=4+2 2-c，解得 R=4 147，因为 sinA=sin B+C=sinBcosC+c

19、osBsinC=74 -24+34 144=148，所以 a=2RsinA=2 4 147148=2.故答案为：2.2(2023 下江苏盐城高三校联考)ABC 中，A=23，D 在 BC 上，AD AC，AD=2，则1AC+2AB=【答案】32【分析】由 SABC=SABD+SACD结合三角形面积公式化简可得出1AC+2AB 的值.【详解】如下图所示：10在 ABC 中，A=23，D 在 BC 上，AD AC，AD=2，则 BAD=23-2=6，由 SABC=SABD+SACD，即 12 AB ACsin 23=12 AB AD sin 6+12 AC AD，即34 AB AC=12 AB+A

20、C，等式两边同时除以 AB AC 可得12AC+1AB=34，所以，1AC+2AB=32.故答案为：32.【变式训练】1(2023 下广西钦州高三统考)在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 bcosC+ccosB=1，则 a=.若 cos B2=24，c=2，则 b=.【答案】12 2【分析】设 ABC 的外接圆半径为 r，由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出 a 的值；利用二倍角的余弦公式求出 cosB 的值，利用余弦定理可求得 b 的值.【详解】设 ABC 的外接圆半径为 r，则 bcosC+ccosB=2r sinBcosC+cosBsinC=2rsin B

21、+C=2rsinA=a=1，由二倍角的余弦公式可得 cosB=2cos2 B2-1=2 242-1=-34，由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB=1+4-2 1 2 -34=8，故 b=2 2.故答案为：1；2 2.2(2022 下高三校考单元测试)在 ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，又 a=2.c=6.C=3，则 b=.【答案】3+1/1+3【分析】根据正弦定理或者余弦定理求解即可；【详解】方法一：由正弦定理asinA=bsinB=csinC 得：sinA=ac sinC=26 32=22，0 A a，C A，A=4，B=512，sinB=sin 512=si

22、n 4+6=6+24,b=sinBsinC c=sin 512sin 36=3+1.故答案为：3+1.方法二；cosC=a2+b2-c22ab=4+b2-62 2b=12，解得：b2-2b-2=0,解得：b=1+3 或者 b=1-3(舍去)，故答案为：3+1.113(2023 上山东日照高三统考开学考试)在 ABC 中，AB=2，D 为 AB 中点，CD=2，BAC=2BCD，则边 AC 的长为.【答案】-1+172【分析】设 AC=x，BC=y，由 sinADC=sinBDC、cosADC=-cosBDC，利用正余弦定理、倍角正弦公式得 2y2=x y2+1、x2+y2=6 求出所设参数，结

23、合三角形性质确定 AC 的长度.【详解】设 AC=x，BC=y，在 ADC 和 BDC 中，2sinBAC=xsinADC，1sinBCD=ysinBDC，又 sinADC=sinBDC，得 sinBACsinBCD=2yx，在 BDC 中，cosBCD=y2+2-12 2y，由 BAC=2BCD，有 sinBAC=2sinBCDcosBCD，所以2yx=2 y2+2-12 2y，整理得：2y2=x y2+1，又 cosADC=-cosBDC，即 1+2-x22 2=-1+2-y22 2，整理得：x2+y2=6，联立得，x3-2x2-7x+12=0，即 x-3x2+x-4=0，解得 x=3 或

24、 x=-1 172，三角形 ADC 中的三边关系知：2-1 x 0，c 0，bc+c2b 2bc c2b=2，当且仅当 bc=c2b，即 c=2b 时等号成立.又 bc+c2b=sinA-cosA=2sin A-42，当且仅当 A=34 时，等号成立.综上所述：bc+c2b 2 且 bc+c2b 2，故得：bc+c2b=2，此时 c=2b 且 A=34，S=12 bcsin 34=24 bc，Sb2=24 bcb2=24 cb=24 2=12.故选：B题型 07 最值型：角与对边互化面积型【解题攻略】注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边 a,b,c 的齐次式或关于角的正弦 sin

25、A,sinB,sinC 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论1(2023全国高三专题练习)在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 B=60，b=4，则ABC 面积的最大值为()A.3 3B.4 3C.5 3D.6【答案】B【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得 ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可求得 ABC 面积的最大值.【详解】由余弦定理可得 16=b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac 2ac-ac=ac，即 ac 16，当且仅当 a=c=4 时，等号成立，

26、故 SABC=12 acsinB=34 ac 34 16=4 3.因此，ABC 面积的最大值为 4 3.故选：B.2(2022 秋黑龙江高三哈尔滨三中校考)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 asin A+C2=bsinA，b=1，则 ABC 面积的最大值为()A.32B.34C.36D.12【答案】B【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得 sin B2，进而得到 B=3；利用余弦定理和基本不等式可求得 ac 1，代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】由正弦定理得：sinAsin A+C2=sinBsinA，15 sinAsin -B2=sinAcos B2=

27、2sin B2 cos B2 sinA，A 0,，B2 0,2，sinA 0，cos B2 0，sin B2=12，B2=6，解得：B=3；由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=1，a2+c2 2ac(当且仅当 a=c 时取等号)，1 2ac-ac=ac，SABCmax=12 1 32=34.故选：B.【变式训练】1(2023 秋辽宁铁岭高三校考开学考试)在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 c2=(a-b)2+ab，且 c=3，则 ABC 面积的最大值为.【答案】3 34【分析】由 c2=(a-b)2+ab，得到 a2+b2-c2=ab，

28、利用余弦定理得到 C=3，再利用余弦定理结合基本不等式得到 ab 3，再利用三角形的面积求解.【详解】解：因为 c2=(a-b)2+ab，所以 a2+b2-c2=ab，由余弦定理得 cosC=a2+b2-c22ab=12，因为 C 0,，所以 C=3，由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab ab，则 ab 3，当且仅当 a=b 时，等号成立，所以 SABC=12 absinC 12 3 32=3 34，所以 ABC 面积的最大值为 3 34，故答案为：3 342(2023 秋广东珠海高三校考开学考试)已知 a，b，c 分别为 ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a

29、=4，且 4+bsinA-sinB=c-bsinC，则 ABC 面积的最大值为.【答案】4 3【分析】利用正弦定理进行边角互化可得 b2+c2-a2=bc，再结合余弦定理可得 A=3，利用基本不等式可得bc 16，进而可得面积的最大值.【详解】由 a=4，得 a+bsinA-sinB=c-bsinC，由正弦定理得 a+ba-b=c-bc，化简得 b2+c2-a2=bc，故 cosA=b2+c2-a22bc=12，所以 A=3.又因为 a2=b2+c2-2bccosA，即 16=b2+c2-bc 2bc-bc=bc，所以 bc 16，当且仅当 b=c=4 时取等号.故 SABC=12 bcsin

30、 3 4 3，故答案为：4 3.3(2023 秋四川成都高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A=3，a=2，则 ABC 面积的最大值为【答案】3【分析】首先利用余弦定理和基本不等式即可求出 bc 的最大值，最终代入三角形面积公式 SABC 即可求解.【详解】由题意 A=3，a=2，由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos 3，即 b2+c2-bc=4，对其利用基本不等式可得 b2+c2-bc=4 2bc-bc=bc，所以当且仅当 b=c 时，等号成立，此时 bc 有最大值 4，代入三角形面积公式可得 SABC=12 bcsi

31、nA=12 32 bc 34 4=3，所以 ABC 面积的最大值为3.16故答案为：3.题型 08 最值型：周长、边长范围【解题攻略】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值1(2021 上河南濮阳高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习)锐角 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且

32、满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC，若 a=3，则 b+c 的取值范围是()A.(3,4B.(3,2 3C.(3,3 3D.(3,6【答案】B【分析】利用正弦定理对所给等式进行角化边，再利用余弦定理可求得 cosA 从而求得角 A，由正弦定理可得 b=2sinB,c=2sinC，则 b+c=2(sinB+sinC)，利用两角和与差的正弦、余弦公式将等式化简为关于B 的正弦型函数，由锐角三角形求出角 B 的范围即可利用正弦函数的值域求得 b+c 的取值范围.【详解】因为(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC 由正弦定理可得 a2-b2=c2-bc，即 b2+c

33、2-a2=bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=12，又 A 0,2，所以 A=3，由正弦定理可知bsinB=csinC=asinA=332=2，所以 b=2sinB,c=2sinC，则 b+c=2(sinB+sinC)=2 sinB+sin 23-B=2 32 sinB+32 cosB=2 3sin B+6，因为 ABC 为锐角三角形且 A=3，所以0 B+C 230 B 20 C 2，解得 B 6,2，当 B 6,2时，B+6 3,23，sin B+632,1，所以 b+c=2 3sin B+6(3,2 3.故选：B2(2023 上四川南充高三四川省南充高级中学校考阶段练习)设锐角

34、ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 A=3,a=3，则 b2+c2+bc 的取值范围为()A.(1，9B.(3，9C.(5，9D.(7，9【答案】D【分析】由正弦定理求出 b=2sinB,c=2sin 23-B，再由余弦定理可得 b2+c2+bc=8sinBsin 23-B+3，化为 5+4sin 2B-6，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.17【详解】因为 A=3,a=3，由正弦定理可得asinA=332=2=bsinB=csin 23-B，则有 b=2sinB,c=2sin 23-B，由 ABC 的内角 A,B,C 为锐角，可得0 B 2,0 23-B 2,

35、，6 B 2 6 2B-6 56 12 sin 2B-6 1 2 4sin 2B-6 4，由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA 3=b2+c2-bc,因此有 b2+c2+bc=2bc+3=8sinBsin 23-B+3=4 3sinBcosB+4sin2B+3=2 3sin2B-2cos2B+5=5+4sin 2B-6 7,9故选：D.【变式训练】1(2023 下高三单元测试)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin(A+C)cosBb+cosCc=sinAsinC，B=3，则 a+c 的取值范围是()A.32,3B.32,3C.32,3D.32,3【答

36、案】A【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将 sin(A+C)cosBb+cosCc=sinAsinC 进行化简，可求出 b 的值，再利用边化角将 a+c 化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知 sin(A+C)cosBb+cosCc=sinAsinC，B=3 sinB cosBb+cosCc=sinAsinC即 cosBb+cosCc=2 3sinA3sinC由正弦定理化简得 c cosB+b cosC=2 3bcsinA3sinC=2 3ab3 sinCcosB+cosCsinB=2 3bsinA3 sin(B+C)=sinA=2 3bsinA3 b=32 B=3

37、asinA=bsinB=csinC=1 a+c=sinA+sinC=sinA+sin 23-A=32 sinA+32 cosA=3sin A+6 0 A 23 6 A+6 56 32 3sin A+63 即32 a+c 3 故选：A.2(2021河北唐山统考三模)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，角 A 的内角平分线交 BC于点 D，若 a=1，1b+1c=2，则 AD 的取值范围是【答案】32,1【分析】先由 1b+1c=2 根据基本不等式可得 bc 1，再根据等面积法得到 AD=cos，结合余弦定理确定角的范围即可得解.【详解】1b+1c=2，b+cbc=2 b+c=2

38、bc 2 bc bc 1，当且仅当 b=c=1 时取等号 角 A 的内角平分线交 BC 于 D，设 BAD=BCD=，则 SBAD+SBCD=SBAC 12 c ADsin+12 b ADsin=12 b csin2，所以 c AD+b AD=2b ccos，所以 2cos=1b+1cAD AD=cos，18又 cos2=b2+c2-a22bc=b+c2-2bc-12bc=2bc2-2bc-12bc=2bc-12bc-1，设 y=x-1x-1 x 2，易知函数单调递增，所以 cos2 2-12-1=12，所以 2 0,3 0,6，AD=cos 32,1.故答案为：32,1.3(2023 上四川

39、宜宾高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习)ABC 中，若 b=3,B=600，则ABC 周长最大值为【答案】3 3.【详解】分析：根据正弦定理，将边长转化为角的表示形式，利用差角公式和辅助角公式，得到关于角 A 的表达式 l=2 3sin A+3+3，然后根据角 A 的取值范围确定最值详解：由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R3sin60=asinA=csinC=2，C=180-A-B=120-A所以 a=2sinA,c=2sin(120-A)所以周长 l=a+c+b=2sinA+2sin(120-A)+3=2sinA+232 cosA+12 sinA+3=3sinA+3cos

40、A+3=2 3sin A+3+3 因为 0 A 34，求出 cb=t 35,53，利用对勾函数得到 g t=2t+t 的最值，求出 2sin2B+sin2CsinBsinC的取值范围.【详解】由三角形面积公式可得：S=12 bcsinA，故 a2=bcsinA+(b-c)2，1-12 sinA=b2+c2-a22bc，故 1-12 sinA=cosA，因为 sin2A+cos2A=1，所以 sin2A+1-12 sinA2=1，解得：sinA=45 或 0，因为 ABC 为锐角三角形，所以 sinA=0 舍去，故 sinA=45，cosA=1-12 45=35，由正弦定理得：2sin2B+si

41、n2CsinBsinC=2b2+c2bc=2bc+cb，其中 cb=sinCsinB=sinAcosB+cosAsinBsinB=45tanB+35，因为 ABC 为锐角三角形所以 C 2，所以 B 2-A，tanB tan 2-A=cosAsinA=34，45tanB 0,1615，45tanB+35 35,53，令 cb=t 35,53，则 g t=2t+t 为对勾函数，在35,2上单调递减，在2,53上单调递增，则 g tmin=g2=22+2=2 2，又 g 35=103+35=5915,g 53=65+53=4315，因为 5915 4315，所以 g tmax=5915，则 2si

42、n2B+sin2CsinBsinC=2bc+cb 2 2,5915.故选：C【变式训练】1(2023 上贵州黔东南高三统考)在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 ABC 的面积S=bc 1-cosA，则 a2bc 的取值范围为()A.45,+B.45,1615C.45,3235D.3235,1615【答案】B【分析】先由三角形面积公式求出cosA=35sinA=45，然后引入参数 t=bc，将所求表示为 t 的函数，再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得 t=45tanC+35，注意到在锐角 ABC 中，有 0 2-A C 2，简单说明如下：若 A+C 2，则

43、B=-A+C -2=2，即 B 不是锐角，但这与 ABC 是锐角三角形矛盾，所以在锐角 ABC 中，有 A+C 2，所以在锐角 ABC 中，有 0 2-A C tan 2-A=sin 2-Acos 2-A=cosAsinA=3545=34，从而 35 t=45tanC+35 45 34+35=53，而函数 a2bc=t+1t-65=f t在35,1单调递减，在1,53单调递增，所以 45=f 1 f t max f35,f53=max 1615,1615=1615.综上所述：a2bc 的取值范围为45,1615.故选：B.2(2022全国高三专题练习)已知 ABC 的内角 A、B、C 的对边分

44、别为 a、b、c，若 A=2B，则 cb+2ba 的取值范围为【答案】2,4 【详解】由正弦定理可知 cb+2ba=sinCsinB+2sinBsinA=sin A+BsinB+2sinBsinA=sinAcosBsinB+cosA+2sinBsinA，又 A=2B，则 sinAcosBsinB=sin2BcosBsinB=2sinBcos2BsinB=2cos2B，2sinBsinA=2sinBsin2B=1cosB，从而 cb+2ba=4cos2B-1+1cosB，又 A=2B，知 A+B=3B ，所以 0 B 3，则 12 cosB 4t2+1t-1t=12=2,ca+2bamax 4t

45、2+1t-1t=1=4，故本题应填2,43(2022 下重庆高三重庆市彭水第一中学校校考)在锐角 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2=b2+bc，则 ab 的取值范围是【答案】(2,3)【分析】利用正弦定理，诱导公式及和差化积公式得到 sin A-B=sinB，从而 A=2B，求出 ab=2cosB，21根据锐角三角形得到 B 的范围，从而求出 ab 的范围.【详解】由正弦定理得：sin2A-sin2B=sinBsinC，由二倍角公式得：1-cos2A2-1-cos2B2=sinBsinC，12 cos2B-cos2A=sinBsinC，由和差化积公式可得：sin

46、A+Bsin A-B=sinBsinC，即 sinCsin A-B=sinBsinC，因为 ABC 为锐角三角形，所以 C 0,2，sinC 0，所以 sin A-B=sinB，所以 A-B=B 或 A-B+B=A=(舍去)，即 A=2B，sinA=sin2B=2sinBcosB，由正弦定理可得：ab=2cosB，由题意得：0 A=2B 2，解得：B 0,4，0 C=-3B 2，解得：B 6,3又 B 0,2综上：B 6,4,所以 cosB 22,32，则 ab 的取值范围是2,3故答案为：2,3题型 10 最值型：余弦定理齐次式1(2022全国高三课时练习)锐角 ABC 中，角 A，B，C

47、所对的边分别为 a，b，c，若 a2+b2=5c2，则 cosC的取值范围是()A.12，63B.12，1C.45，63D.45，1【答案】C【解析】先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到63 ba c2b2+c2 a2a2+c2 b2，所以a2+b2 a2+b25b2+a2+b25 a2a2+a2+b25 b2，解得 23 b2a2 32,所以63 ba a2+b24b2+a2+b24 a2a2+a2+b24 b2，得 35 b2a2 53，则155 ba 153所以 cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-a2+b242ab=3 a2+b28ab=38ab+b

48、a，令 ba=x，则 x 155,153，所以函数 f x=38 x+1x在155,1单调递减，在 1,153单调递增，又 f155=f153=155，f 1=34，所以 cosC 34,155.故选：D.【变式训练】1(2022四川成都二模(理)已知 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c=1,4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3，则 tanA 的最大值为()A.74B.73C.3 77D.4 77【答案】C【分析】利用正弦定理边化角，可得 4sin2A=3sin2B-3sin2C，再次角化边可得 a,b,c 关系，利用余弦定理和基本不等式可求得 cosA 的

49、最小值，进而得 sinA 的最大值，再求sinAmaxcosAmin即可得答案.【详解】解：c=1,4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3,4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c2，由正弦定理得：4sin2Acos2B+4sin2Bsin2A=3sin2B-3sin2C，即 4sin2A sin2B+cos2B=4sin2A=3sin2B-3sin2C，4a2=3b2-3c2，则 a2=34 b2-34 c2，cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-34 b2+34 c22bc=14 b2+74 c22bc=b8c+7c8b 2b8c 7c8b=74(当且仅当 b8c=

50、7c8b，即 b=7c 时取等号)，cosA 的最小值为74.sin2A+cos2A=1，sinA=1-cos2A 1-cos2Amin=1-716=34，tanA 的最大值为sinAmaxcosAmin=3 77.故选：C.2(2022全国高三专题练习)已知 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若 4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c2，则 cosA 的最小值为()A.23B.73C.74D.34【答案】C【分析】利用正弦定理边化角，可得 4sin2A=3sin2B-3sin2C，再次角化边可得 a,b,c 关系，利用余弦定理和基本不等式可求得 cosA 的最小值

51、.23【详解】由正弦定理得：4sin2Acos2B+4sin2Bsin2A=3sin2B-3sin2C，即 4sin2A sin2B+cos2B=4sin2A=3sin2B-3sin2C，4a2=3b2-3c2，则 a2=34 b2-34 c2，cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-34 b2+34 c22bc=14 b2+74 c22bc=b8c+7c8b 2b8c 7c8b=74(当且仅当 b8c=7c8b，即 b=7c 时取等号)，cosA 的最小值为74.故选：C.3(2020河南校联考二模)在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 BC 边上的高为24

52、 a，则 cb+bc 的最大值是【答案】2 3【分析】由面积公式可得 a2=2 2bcsinA，再用余弦定理可得 b2+c2=2 2bcsinA+2bccosA，即 cb+bc=2 3sin(A+)2 3 得出结果.【详解】由题，三角形的面积：S=12 24 a2=12 bcsinA a2=2 2bcsinA.由余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc，可得：b2+c2=a2+2bccosA=2 2bcsinA+2bccosA.所以 cb+bc=b2+c2bc=2 2sinA+2cosA=2 3sin(A+)2 3，其中 tan=22.所以 bc+cb 的最大值为 2 3.故答案为：2 3.

53、题型 11 最值型：正切【解题攻略】正切：1.tan =tan tan1 tantan；2.在三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC1(2023 上辽宁丹东高三校联考阶段练习)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a2+acosB=c2，则 tanB-tanA2tanA tanB 的取值范围是()A.12,33B.34,12C.0,12D.1,2 33【答案】A【分析】根据正弦定理化简 a2+acosB=c2，求出 B=2A，化简 tanB-tanA2tanA tanB 得12sinB，根据三角形为锐角三角形求出 B 范围，进而

54、求出12sinB 范围即可.【详解】由 a2+acosB=c2，根据正弦定理得 sinA+2sinAcosB=sinC，因为 sinC=sin A+B=sinAcosB+sinBcosA，所以 sinA=sin B-A，因为三角形 ABC 为锐角三角形，所以 A=B-A，即 B=2A，24tanB-tanA2tanA tanB=sinBcosB-sinAcosA2sinA sinBcosA cosB=sinBcosA-sinAcosB2sinA sinB=sin B-A2sinA sinB=12sinB，由题0 B 20 C=-A-B 20 A 2 3 B 2，则 sinB 32,1，所以12

55、sinB 12,33，故选：A2(2023 下云南保山高三校考)已知 ABC 的三个内角分别为 A，B，C，若 sin2C=2sin2A-3sin2B，则tanB 的最大值为()A.52B.53C.3 52D.2 53【答案】A【分析】利用正弦定理及余弦定理化简表示 cosB，结合基本不等式求得 cosB 的取值范围，从而求得 tanB的取值范围，即可求解.【详解】由题意 sin2C=2sin2A-3sin2B，由正弦定理得：c2=2a2-3b2，化简得：b2=23 a2-13 c2，由余弦定理得：cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-23 a2+13 c22ac=13 a2+43 c

56、22ac=16 a2+4c2ac 16 2 a24c2ac=23，当且仅当 a=2c 时等号成立，从而可得 B 为锐角，所以：23 cosB 1，得：49 cos2B 1，则：1 1cos2B 94，所以：tan2B=sin2Bcos2B=1-cos2Bcos2B=1cos2B-1 0,54，所以：tanB 的最大值为52，故 A 项正确.故选：A.【变式训练】1(2022黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考二模)在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，若 sin(A+C)=2Sb2-a2，则 tanA+13tan(B-A)的取值范围为()A.2 33,+B.

57、2 33,43C.2 33,43D.2 33,43【答案】C【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出 A,B 关系后求解【详解】在 ABC 中，sin(A+C)=sinB,S=12 acsinB，故题干条件可化为 b2-a2=ac，由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB，故 c=2acosB+a，又由正弦定理化简得：sinC=2sinAcosB+sinA=sinAcosB+cosAsinB，整理得 sin(B-A)=sinA，故 B-A=A 或 B-A=-A(舍去)，得 B=2AABC 为锐角三角形，故0 A 20 2A 20 -3A 2，解得 6 A 4，故33 tanA 1tanA

58、+13tan(B-A)=tanA+13tanA 2 33,4325故选：C2(2023 上全国高三专题练习)在锐角 ABC 中，a2-b2=bc，则角 B 的范围是，5tanB-5tanA+6sinA 的取值范围为.【答案】6 B 42 30,11【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得 A，B 的关系，结合锐角三角形条件可求 A，B 的范围，然后结合对勾函数的单调性可求【详解】解：因为 a2-b2=bc 及 a2=b2+c2-2bccosA，所以 c-2bcosA=b，由正弦定理得 sinC-2sinBcosA=sinB，所以 sin(A+B)-2sinBcosA=sin

59、B，整理得 sinAcosB-sinBcosA=sinB，即 sin(A-B)=sinB，所以 A-B=B，即 A=2B，又 ABC 为锐角三角形，所以0 B 20 2B 20 -3B 2，解得6 B 4，故 3 A 2，32 sinA 1，则5tanB-5tanA+6sinA=5 cosBsinB-cosAsinA+6sinA=5 sin(A-B)sinBsinA+6sinA=5sinBsinBsinA+6sinA=6sinA+5sinA，令 t=sinA，则 t 32,1，f(t)=5t+6t 在306,1上单调递增，在32,306上单调递减，又 f 1=11，f32=19 33，f306

60、=2 30 故 f(t)2 30,11，即故答案为：6 B 0，2cosA+1=0，即 cosA=-12，又 A 0,，A=23，由题可知 SABC=SABD+SACD，AD=4，所以 12 bcsin 23=12 4csin 3+12 4bsin 3，即bc=4 b+c，又 bc=4 b+c 8 bc，即 bc 64，当且仅当 b=c 取等号，所以 SABC=12 bcsin 23 12 64 32=16 3.故选：B.2(2023全国高三专题练习)在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC=120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD=1，则 4a+c 的最

61、小值为()A.8B.9C.10D.7【答案】B27【分析】根据三角形面积可得到 1a+1c=1，将 4a+c 变为(4a+c)1a+1c，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得 12 acsin120=12 asin60+12 csin60，即 ac=a+c，得 1a+1c=1，得 4a+c=(4a+c)1a+1c=ca+4ac+5 2ca 4ac+5=4+5=9，当且仅当 ca=4ac，即 c=2a=3 时，取等号，故选：B【变式训练】1(2022安徽巢湖市第一中学模拟预测(理)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，(a+b)(sinA-sinB)=c

62、(sinC+sinB)，若角 A 的内角平分线 AD 的长为 2，则 4b+c 的最小值为()A.10B.12C.16D.18【答案】D【分析】根据(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB)，利用正弦定理得到 a2=b2+c2+bc，再利用余弦定理得到 A，再根据 AD 平分角 A，利用 SABC=SABD+SACD，得到 1b+1c=12，然后利用基本不等式求解.【详解】解：因为(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB)，所以(a+b)(a-b)=c(c+b)，即 a2=b2+c2+bc，由余弦定理易得 cosA=-12，又 0 A c B C ADB=30+

63、C,ADC=30+B，ADB 0 sin2ADB+cos2ADB=1 cosADB=37=217.故选：B.3(2022陕西西安三模(理)在 ABC 中，B=120，AB=2，A 的角平分线 AD 的长为3，则AC=()A.2B.3C.6D.2 3【答案】C【分析】在 ABD 中，利用正弦定理可求得 BDA=45，利用三角形内角和可求得 BAD=15，从而确定BC=AB=2，在 ABC 中利用正弦定理可得结果.【详解】在 ABD 中，由正弦定理得：ADsinB=ABsinBDA，即3sinB=2sinBDA，又 B=120，sinBDA=22，BDA=45，BAD=180-120-45=15，

64、则 BAC=30，C=30，BC=AB=2，在 ABC 中，由正弦定理得：ACsinB=BCsinBAC，AC=6.故选：C.题型 13 三角形中线型【解题攻略】中线的处理方法1.向量法：AD=12(AB+AC)AM 2=14 AB 2+2AB AC+AC 2292.双余弦定理法(补角法)：如图设 BD=DC，在 ABD 中，由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2 AD BD cosADB，在 ACD 中，由余弦定理得 AC2=AD2+DC2-2 AD DC cosADC，因为 AMB+AMC=，所以 cosADB+cosADC=0所以+式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四

65、边形4.中线分割的俩三角形面积相等1 在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,b-3asinA=bcos2A,a=1，且 AC 边上的中线 BM=32，则()A.3B.7C.1 或 2D.2 或 3【答案】C【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式可得，在 ABC 中由余弦定理可得，综上即可求解 c【详解】由得，即.在中，由余弦定理可得，整理得，在 ABC 中，即(*)，当时，(*)式可解得，；30当时，(*)式可解得，；故选：C2 在 ABC 中，E，F 分别是 AC,AB 的中点，且 3AB=2AC，若 BECF t 恒成立，则 t 的最小值为()A.34B.78C

66、.1D.54【答案】B【分析】根据题意画出相应的图形，要求 t 的最小值，即要求出 BECF 的最大值，由 AC,AB 的关系，用 AB 表示出AC，由 E，F 分别是 AC,AB 的中点，在中，利用余弦定理表示出，在中，利用余弦定理表示出，并表示出，开方并分离出常数，由为三角形的内角，得到的范围，进而由三角函数的性质可得答案解：因为，所以,因为分别是的中点，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以所以，因为当取得最小值时，比值最大，所以当时，此时达到最大值，为，31则若恒成立，的最小值为，故选：B【变式训练】1 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c=2

67、 2，点 P 是 AB 的中点，若 PC=a-b，则ABC 面积的最大值为()A.3B.3C.2 3D.12【答案】A【分析】先由题意得到，结合余弦定理得到，且，再由余弦定理，得到，求出，根据三角形面积公式，得到，即可求出结果.【详解】因为点是的中点，所以，即，即，所以，整理得：，因此，即，当且仅当时，等号成立；且；又，所以，因此 ABC 面积为，当且仅当时，取得最大值.故选 A322 在 ABC 中，若 3sinC=2sinB,点 E,F 分别是 AC,AB 的中点，则 BECF 的取值范围为()A.14，78B.13，78C.14，67D.13，67【答案】A本道题运用余弦定理，计算 BE

68、CF 的值，同时结合 cosA 的范围，即可求得选项.【详解】3sinC=2sinB,可得 3AB=2AC，即 AC=32 AB，点 E,F 分别是 AC,AB 的中点，AE=12 AC,AF=12 AB，在 ABD 中，由余弦定理可得BE 2=AB2+AE 2-2AB AEcosA=AB2+34 AB2-2AB 34 AB cosA=2516 AB2-32 AB2cosA，在 ACF 中，由余弦定理可得 CF 2=AF 2+AC2-2AF ACcosA=AB22+34 AB2-2 12 AB 32 AB cosA=52 AB2-32 AB2cosA BECF=2516 AB2-32 AB2c

69、osA52 AB2-32 AB2cosA=1-1540-24cosA cosA (-1,1),可得1540-24cosA 1564,516，可得BECF=1-1540-24cosA 14,78，故答案为14,78.3(2022河南郑州四中高三阶段练习(理)在等腰 ABC 中，AB=AC，若 AC 边上的中线 BD 的长为 3，则 ABC 的面积的最大值是()A.6B.12C.18D.24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值【详解】设，由于，在和中应用余弦定理可得：，整理可得：，结合勾股定理可得 ABC 的面积：33，当且仅当时等号成立

70、则 ABC 面积的最大值为 6故选：A.题型 14 三角形重心型【解题攻略】中线的处理方法1.向量法：2.补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理1 在钝角 ABC 中，a,b,c 分别是 ABC 的内角 A，B，C 所对的边，点 G 是 ABC 的重心，若 AG BG，则Ccos的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】34延长 CG 交 AB 于 D，由重心性质和直角三角形特点可求得，由，利用余弦定理可构造等量关系得到，由此确定为锐角，则可假设为钝角，得到，由此可构造不等式组求得的取值范围，在利用余弦定理可得，利用的范围，结合为锐角可求得的取值范围.【详解】延长交于

71、，如下图所示：为 ABC 的重心，为中点且，；在 ADC 中，；在 BDC 中，；，即，整理可得：，为锐角；设为钝角，则，解得：，35，由余弦定理得：，又 C 为锐角，即Ccos的取值范围为.故选：C.2(2024 秋福建福州高三福建省福清第一中学校考阶段练习)已知点 G 为三角形 ABC 的重心，且GA+GB=GA-GB，当 C 取最大值时，Ccos=()A.B.C.D.【答案】A【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意，所以，即，所以，所以，又，则，所以，即，由，所以，所以，当且仅当时等号成立，36又在上单调递减，所以当取最大值时，.故选：A【变式训

72、练】1(2023全国高三专题练习)在锐角 ABC 中，、分别是 ABC 的内角 A、B、C 所对的边，点是 ABC 的重心，若，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【分析】连接并延长交于点，由重心的性质可得出，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出，推导出，再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.【详解】连接并延长交于点，则为的中点，因为，则，由重心的性质可得，则，因为，所以，所以，所以，所以，则为锐角，由余弦定理可得，所以，37因为 ABC 为锐角三角形，则，即，即，所以，构造函数，其中，任取、且，则.当

73、时，则，当时，则，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，故.故选：C.2(2020 春天津高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习)已知中，为的重心，则A.B.C.D.【答案】A【分析】由题，先用余弦定理求得，再用向量表示出，然后代入用向量的数量积公式进行计算即可求得结果.【详解】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得：且所以=3(2023全国高三专题练习)锐角 ABC 中，为角，所对的边，点为38ABC 的重心，若，则的取值范围为()A.，B.，C.，D.，【答案】B【分析】设点在圆上，且，设直线，的倾斜角分别为，.两角差正切公式得，再求出即可【详解】设，是单位圆的直径的端点，

74、在圆上，设，点为 ABC 的重心，.点在圆上.是锐角三角形，点在圆上，且，设直线，的倾斜角分别为，.则，.故选：.题型 15 三角形外接圆【解题攻略】三角形所在的外接圆的处理方法：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。392.正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R，其中 R 为 外接圆半径1(2023 秋辽宁沈阳高三沈阳市第一二中学校考开学考试)在 ABC 中，是 ABC 的外接圆上的一点，若，则的最大值是()A.1B.C.D.【答案】B【分析】利用余弦定理与勾股定理得 ABC 是直角三

75、角形，进而可以建立直角坐标系，根据点的坐标得向量的坐标，由向量的坐标运算可得的表达式，进而利用三角函数求最值即可.【详解】因为在中，由余弦定理得，所以，则，所以，故以 AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得，则，设的坐标为，则，又，所以，则，得，所以，40当且仅当时，等号成立，即的最大值为.故选：B.2(2023全国高三专题练习)已知锐角 ABC 满足，且 O 为 ABC 的外接圆圆心，若，则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【分析】由题意可得，将平方整理得，设，则有，再设，则有=，求解即可.【详解】解：如图所示：由正弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得,又因为,所

76、以.又因为，所以，即有：，即，所以，设，可得，41又因为 ABC 为锐角三角形，所以，所以，设，则有，所以=，所以故选：A.【变式训练】1(2022 春上海闵行高三上海市七宝中学校考)若是 ABC 外接圆圆心，是 ABC 的内角，若，则实数的值为()A.B.C.D.【答案】B【分析】根据三角形外心的性质、正弦定理、两角和的余弦公式，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】设的中点为，所对的边为，因为是 ABC 外接圆圆心，所以，于是有，由，故选：B2(2023全国高三专题练习)设为锐角 ABC 的外心(三角形外接圆圆心)，若，则()A.B.C.D.42【答案】A【分析】取中点，

77、根据外心性质知，根据向量线性运算可证得三点共线，从而得到，利用等腰三角形和三角形外心的性质可求得，结合余弦值可推导得到，进而构造方程求得结果.【详解】取中点，连接，为的外心，三点共线，即，则，解得：.故选：A3(2022 春北京高三校考期末)已知三角形外接圆的半径为 1为圆心，且，则等于()A.B.C.D.【答案】A【分析】由题意可得三角形是以角为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边，利用数量积几何意义计算得答案【详解】因为三角形外接圆的半径为 1为圆心，为的中点，故是直角三角形，为直角又，43,故选:A.高考练场1(2021安徽安庆统考二模)在 ABC 中，分别是，的对边.若，且，则的

78、大小是()A.B.C.D.【答案】A【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.【详解】因为，且，所以，所以，因为，所以，故选：A2 在中，则三角形的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.等腰三角形【答案】D【分析】由正弦定理结合两角差的正弦公式可得答案.【详解】由正弦定理，因，则，又 A，B 为三角形内角，得 B=A.3 在中，则此三角形的解的情况是()A.有两解B.有一解C.无解D.有无数个解【答案】C【分析】通过作圆法可确定三角形解的情况.【详解】作垂直于所在直线，垂足为，则，以为圆44心，4 为半径作圆，可知与无交点，故三角形无解.故选：C.4(2023 春广东东莞高三东

79、莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习)在 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且，若，则 ABC 的外接圆直径为()A.B.C.D.【答案】D【分析】由余弦定理与三角形面积公式，利用条件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圆直径.【详解】由得，即：，可得.又因为，可得又已知，由余弦定理得，解得.则外接圆直径.故选：D.5(2023 春云南高三云南师大附中校考阶段练习)在 ABC 中，且，则三角形 ABC 的面积为.【答案】【分析】设，则，代入已知式化简可得，可视45为关于的二次方程有解，由可求得，即，可判断ABC 是一个等边三角形，即可求出三角形 ABC 的面积.【详解

80、】设，则，且，于是，所以，整理得，可视为关于的二次方程有解，那么，由于，所以，则，因为，于是，满足，所以，故 ABC 是一个等边三角形，所以故答案为：.6(2023四川成都校联考二模)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为，则.【答案】2【分析】化简可得，再根据三角恒等变换结合正弦定理求解即可.【详解】则，故，故.由正弦定理有，因为，则.故答案为：27 ABC.的内角，的对边分别为，.若，则()A.5B.4C.3D.2【答案】A46【分析】利用正弦定理进行角换边，再根据余弦定理即可得出答案.【详解】，利用正弦定理可得:，又，可得，整理可得：，故选：A.8 (2023 秋安徽六安高三六安二

81、中校联考阶段练习)在 ABC 中，当取最大值时，ABC 的面积为.【答案】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得，其中，再根据正弦型函数的最值结合面积公式求解即可.【详解】在 ABC 中，利用正弦定理，所以，有，即，其中，取最大值，即时，有，所以，所以.故答案为：.9(2023 下湖南长沙高三校考开学考试)已知 ABC 的三边长互不相等，角，的对边分别为，若，则的取值范围是.【答案】【分析】利用正弦边角关系及三角形内角性质、已知可得且，再由、47，应用基本不等式求目标式的范围.【详解】由题设，而，所以或，又 ABC 的三边长互不相等，即且，由，故，仅当时等号成立，又，所以，又，故的取值范围

82、是.故答案为：10(2023全国高三专题练习)在锐角 ABC 中，则中线 AD 长的取值范围是;【答案】【分析】本道题运用向量方法，计算 AD 的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算 bc 的范围，即可【详解】设，对运用正弦定理，得到，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，所以，结合 bc 的范围，代入，得到的范围为11(2024河南鹤壁鹤壁高中校考二模)在 ABC 中，记角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，面积为 S，则的最大值为【答案】【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.48【详解】(当

83、且仅当时取等号).令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得，又，故可得，当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.12(2022河南方城第一高级中学模拟预测(理)已知 ABC 中，D 为边 BC 的中点，若，则 BAD 的余弦值为()A.B.C.D.【答案】B【分析】由正弦定理，将条件转化为边长的比例关系，再延长 AD 至点 E，使 DE=AD，连接 BE，CE，则四边形 ABEC 是平行四边形，在 ABE 中，使用余弦定理可求得 BAD 的余弦值.

84、【详解】因为，所以在 ABC 中，由正弦定理得，在 ADC 中，由正弦定理得.如图，延长 AD 至点 E，使 DE=AD，连接 BE，CE，则四边形 ABEC 是平行四边形，所以.设，则，BE=，在 ABE 中，由余弦定理得49故选：B.13.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，若角A 的内角平分线的长为 3，则的最小值为()A.21B.24C.27D.36广西柳州市 2023 届高三第二次模拟考试数学(理)试题【答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，由余弦定理求出角 A，再利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答.【详解】在 ABC 中，由正弦定理得，

85、即，由余弦定理得，而，则，因角 A 的内角平分线的长为 3，由得：，即，因此，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值 27.故选：C14(2022 下四川遂宁高三射洪中学校考阶段练习)如图所示，ABC 是边长为 6 的等边三角形，G 是它的重心，过 G 的直线分别交线段 AB，AC 于 E，F 两点，当在区间上变化时，则的取值范围是()50A.B.C.D.【答案】A【分析】由正弦定理可求，利用三角函数恒等变换化简可得，求得范围，利用正弦函数的性质即可计算得解【详解】解：在 AEG 中，由正弦定理得，则，又，同理可得，可得由，得，则即的取值范围是.故选：A15(2022四川巴中统考模拟预测)在锐角 ABC 中，角，的对边分别为，若，则，的取值范围为【答案】/；【分析】由正弦定理结合即可求出，进而求出；先切化弦将转化为，再由结合三角恒等变换得，结合的范围及正弦函数的性质求得的范围，即可求解.51【详解】由正弦定理得，又，则，又，则，则，则；，由可得，又 ABC 为锐角三角形，则，可得，则，又，则，则，即，则.故答案为：；.