2021年北京二模——二次函数综合问题（解析版）.docx

1、2021年北京二模二次函数综合问题1在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A（1）求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】（1）；（2）点B的坐标为；（3）或【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；（2）先求出点A的坐标，再求出其对称性即可求解；（3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解【详解】解：（1）由抛物线，可知抛物线的对称轴为直线（2）抛物线与y轴交于点A，令x=0，y=1点A的坐标为点B是点A关于直线的对称点， 点B的坐标为（3）点A ，点B ，点

2、 P，点Q，点 P在点A 的上方，点Q在直线上 当时，点Q在点A的右侧（i）如图1，当，即时，点Q在点B的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点；（ii）如图2，当，即时，点Q在点B的右侧，或与点B重合，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点当时，点Q在点B的左侧（i）如图3，当，即时，点Q在点A的右侧，或与点A重合，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；（ii）如图4，当，即时，点Q在点A的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点 综上所述，a的取值范围是或【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求

3、解2在平面直角坐标系中，为抛物线上两点，其中（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若，点M，点N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当为等腰直角三角形时，求a的值；（3）记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围【答案】（1），；（2）或；（3）【分析】（1）令y=0代入，进而即可求解；（2）先用a表示出M，N的坐标，根据为等腰直角三角形，列出方程，进而即可求解；（3）先表示出顶点坐标为：()，分4种情况分类讨论：当图象G不包含顶点， a时，当图象G不包含顶点， a+t时，当图象

4、G包含顶点， a+t，a，时，当图象G包含顶点， a+t，a，时，进而即可得到答案【详解】解：（1）时，抛物线与x轴的交点坐标为，；（2）当时，M，N两点的坐标分别为，为等腰直角三角形，解得或（3）对于抛物线，其顶点坐标为：()，当图象G不包含顶点， a时，即：，t0，0t1；当图象G不包含顶点， a+t时，即：，解得：-1t1，t0，0t1；当图象G包含顶点， a+t，a，时，即：， ，（舍去）或，即：a且，即：a且，且，1t2；当图象G包含顶点， a+t，a，时，即：，或（舍去），即：，a+t且，即：+t且，1t2；综上所述：【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像上点的

5、坐标特征，运用分类讨论思想方法，是解题的关键3在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上的两点（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；（2）若对于，都有，求h的取值范围【答案】（1）；（2）或【分析】（1）将代入解析式，然后将二次函数一般式化成顶点式求解；（2）设抛物线上四个点的坐标为，利用二次函数性质分情况讨论求解【详解】解：（1）当时，抛物线的表达式为 抛物线的对称轴为直线（2）设抛物线上四个点的坐标为， 的最小值必为或由可知，当时，存在，不符合题意 当时，总有当时，y随x的增大而减小，当时，符合题意当时，不符合题意 当时，当时，y随x的增大而增大，当时，符合题意当时，不符合题意综上所述，h的取

6、值范围是或【点睛】本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键4在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线（1）用含的式子表示；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）若抛物线与轴的一个交点为，且当时，的取值范围是，结合函数图象，直接写出一个满足条件的的值和对应的取值范围【答案】（1）；（2）（1，）；（3）【分析】（1）利用对称轴即可表示出a、b之间的关系；（2）利用抛物线的顶点坐标的公式即可求出；（3）利用图象的特点进行解答即可【详解】（1）抛物线的对称轴是直线，（2）抛物线 的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为（1，）（3）抛物线与y轴有一交点为A（0，-4），代入y=a -2a

7、x+a-5得-4=a-5,故a=1,抛物线的解析式为y= -2x-4,当 时，y的取值范围为 ，令y=-5得-5=-2x-4，解得，有一种情况自变量的最小值为n与函数值的最小值也为n，由y=-2x-4和y=x得-2x-4=x，即-3x-4=0，解得此时（1，-5）包含在内，故舍去综上所述：满足条件m、n的为【点睛】本体属于二次函数的综合题目，利用数形结合的方法，准确利用二次函数的性质进行解题时本题关键5在平面直角坐标系中，已知二次函数（1）当时，若，求该函数最小值；若，则此时对应的函数值的最小值是5，求的值；（2）当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是12，直接写出的值【答案】（

8、1）3；5；（2）或者【分析】（1）确定函数的解析式，根据解析式的特点求其最小值即可；判断对称轴与自变量的取值范围大小关系，根据位置关系，利用函数的增减性计算即可；（2）分b0和b0两种情形求解即可【详解】解：（1）当b=-2，c=4时，二次函数变形为：，当时函数的最小值为3；抛物线为此时抛物线开口向上，对称轴为当时，随增大而增大1，取值范围位于对称轴的右侧，当时，（2）当b0时，二次函数的对称轴为x=，取值范围位于对称轴的右侧，当x=b时，函数有最小值，解得b=2或b=-3（舍去）；当b0时，二次函数的对称轴为x=，当对称轴位于取值范围内时，x=时，函数有最小值，此时无解；当对称轴不位于取值

9、范围内时，位于对称轴的左侧，随增大而减小，x=b+2时，函数有最小值，整理，得；解得b=或b=（舍去）；或者【点睛】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性，指定取值范围内的最值，准确判定对称轴与指定取值范围的关系是解题的关键6在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G点，图形G上任意两点当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；若对于，都有，求m的取值范围【答案】（1）直线；（2）；见解析；【分析】（1）直接利用对称轴公式即可求出（2）当时，二次函数解析式

10、是，对称轴为y轴由此可得图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小，即可求出通过计算可知，点为抛物线上关于对称轴对称的两点，分类讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：当y轴在点P左侧时（含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时，不符题意；当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点M，N分别和点P，Q重合，此时，不符题意；当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），作出图形，即可得出经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，此时，符合题意即有，即【详解】（1）抛物线的对称轴为直线；（2）当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴；图形G如图图形G上的点

11、的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；，通过计算可知，为抛物线上关于对称轴对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：如图，当y轴在点P左侧时（含点P），经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，不符题意；如图，当y轴在点Q右侧时（含点Q），点M，N分别和点P，Q重合，不符题意；如图，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，符合题意此时有，即综上所述，m的取值范围为【点睛】本题为二次函数综合题考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键7在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线x

12、=2（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点 A（x1，y1），B（x2，y2），其中当时，结合函数图象，求出n的值；把直线PB上方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0x5时，满足，求的取值范围【答案】（1）2；（2）；【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求出b值；（2）根据二次函数图象的轴对称性，即可得出答案；根据x、y的取值范围，即可得n的取值范围【详解】（1）抛物线的对称轴为直线x =2，b=2（2）抛物线的表达式为A（x1，y），B（x2，y），直线AB平行x轴，AB=3对称轴为x =

13、2，AC=当时，当y=n=-4时，0x5时，；当y=n=-2时，0x5时，；n的取值范围为【点睛】本题是一道二次函数综合题.考查了二次函数的图象与性质.解题的关键在于要按要求画出函数图象，并结合二次函数的图象和性质进行解题8已知抛物线经过点 点，为抛物线上两个不同的点，且满足，（1）用含的代数式表示；（2）当时，求抛物线的对称轴及的值；（3）当时，求的取值范围【答案】（1）；（2），；（3）且【分析】（1）代入A点坐标即可整理出用a表示b的式子；（2）根据，可知对称轴为x=1，结合（1）可以求出a的值；（3）将M、N的坐标代入抛物线解析式，运用，化简整理求出a的取值单位【详解】（1）解：过，

14、（2）解：，对称轴为：直线即：（3）解：将点，代入得，且【点睛】本题考查了抛物线解析式的有关知识，同过作差法比较的小是解决这个问题的难点9在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）当时，y的最小值是2，求当时，y的最大值；（3）抛物线上的两点 P（，），Q（，），若对于，都有，直接写出t的取值范围【答案】（1）A（0，2）；对称轴是x2；（2）7；（3）或【分析】（1）把x0代入抛物线解析式，即可求出点A坐标，将抛物线配方成顶点式，即可求出对称轴；（2）根据抛物线开口向上，当时，y的最小值是2，抛物线对称轴为x2，即可求出a=1，根据抛物线性质即可求出

15、当x5时，y有最大值，；（3）根据已知条件分点P、Q都在对称轴x=2左侧、右侧、P在对称轴x=2左侧，点Q在对称轴x=2右侧三种情况分类讨论，综合比较即可求解【详解】解：（1）令x0则y2，点A坐标为（0，2），二次函数图象的对称轴是x2；（2）a0，抛物线开口向上，当时，y的最小值是2，抛物线对称轴为x2，24a2，解得a1.二次函数表达式为，在时，当x5时，y有最大值，；（3）点 P（，），Q（，），且，都有，当点P、Q都在对称轴x=2左侧时，此时t+32，解得t-1；当点P、Q都在对称轴x=2右侧时，此时t2；当点P在对称轴x=2左侧，点Q在对称轴x=2右侧时，且，此时2-（t+1）（t

16、+3）-2或2-t（t+2）-2，解得t0,或t1，综上所述，或【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键10在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为点A（1，0）和点B（1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）分别过点P（t，0）和点Q（t2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n当a2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出mn的最小值；若存在实数t，使得mn2，直接写出a的取值范围【答案】（1）对

17、称轴为直线；点B坐标（3，0）；（2）见解析；2；或【分析】（1）将点A坐标代入抛物线解析式得到b和a的关系，再根据抛物线对称轴的表达式求出对称轴，由两点关于对称轴对称即可求得点坐标； （2）根据题意，以及抛物线的顶点坐标，分情况画图，再根据抛物线的性质即可以求出的最小值（3）根据抛物线的顶点坐标，观察图象即可得出正确答案【详解】解：（1）把点A（1，0）代入，可得， 抛物线的对称轴为直线点A和点B关于对称，点B坐标（3，0）（2）当a2时，与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0），与y轴交点坐标为（0，6），顶点坐标当时， ，当时，当时，如下图：， ，随的增大而减小，当的最小值为8， ，当时，

18、如下图，时，随的增大而减小，当时，的最小值为2，当时，如下图，随的增大而增大，当时，的最小值大于2，当时，如下图：， ，时，随的增大而增大，当的最小值为10，综上，的最小值为2. ，抛物线的顶点坐标为，顶点到轴的距离为 ，如图，当时，a的取值范围是或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了抛物线的性质，掌握抛物线的性质及图像法解题是解本题的关键11已知抛物线，（1）直接写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）已知该抛物线经过两点，直接写出的大小关系；过B点垂直于x轴的直线交x轴于点C，若四边形AOCB的面积小于或等于6，直接写出a的取值范围【答案】（1）对称轴x1；顶点坐标为（1，4）；（2）；【分

19、析】（1）根据二次函数对称轴方程及顶点坐标公式即可得答案；（2）根据二次函数的对称轴方程及二次函数的对称性可得；根据点A、B坐标及中结论可得AB=2，AB/x轴，进而可证明四边形ABCO为矩形，根据矩形的面积可得OA的长，可得A（0，3）或A（0，3），根据x=0时y=a-4分别得出y=-3和y=3时a的值即可得答案【详解】（1），对称轴为直线x=1，=-4，顶点坐标（1，4）（2）抛物线的对称轴为直线x=1，点A（0，y1）关于对称轴对称的点的坐标为（2，y1），抛物线经过两点，如图，AB2，AB/x轴，BCx轴，四边形ABCO为矩形，当矩形ABCO的面积为6时，AO3，A（0，3）或A（0，3），当x=0，y=a-4，当A（0，3）时，a43，解得：a1，当A（0，3）时，a43，解得：a7，四边形AOCB的面积小于或等于6，【点睛】本题考查了二次函数的性质及图形上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键