2021年北京二模——几何综合（解析版）.docx

1、2021年北京二模几何综合1已知等边，为边中点，为边上一点（不与A，重合），连接 （1）如图1，点是边的中点，当在线段上（不与A，重合）时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接依题意补全图1；此时与的数量关系为： ，= （2）如图2，若，在边上有一点，使得直接用等式表示线段，之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；，120；（2），证明见解析【分析】（1）根据提示画出图形即可；连接DE，证明DMEDFB即可得到结论；（3）取线段中点，连接由三角形中位线定理得，根据是等边三角形可证明，再证明得，进一步可得结论【详解】解：（1）补全图形如图1线段与的数量关系为；连接DE，D为BC的中点，E为AC的中

2、点，DE为ABC的中线，DE=AB，DE/AB是等边三角形，D为BC的中点， ， ， DMEDFB；故答案为：；（2）证明：取线段中点，连接如图2 点是边的中点，点是边的中点，是等边三角形，【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键2如图，在等腰直角ABC中，ABAC，BAC90，点D是CA延长线上一点，点E是AB延长线上一点，且ADBE，过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G（1）依题意补全图形；（2）当AED，请你用含的式子表示AGC；（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明

3、思路【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）先证，再根据与可得，则，又因为可得；（3）在AE上截取，连接DM先证与是等腰直角三角形，接下来证，所以可得，则可求【详解】（1）根据题意补全图形如下：过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G（2）证明：当时，推理如下：，（3）证明：在AE上截取，连接DM，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形即， ,又，又 ，利用勾股定理可得：【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答3如图，在中，点P为外一点，点P与点C位于直线异侧，且，过点C作

4、，垂足为D（1）当时，在图1中补全图形，并直接写出线段与之间的数量关系；（2）如图2，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；在线段上取一点K，使得，画出图形并直接写出此时的值【答案】（1）见解析，；（2），见解析，见解析，【分析】（1）根据题意画出图形，再利用等腰直角三角形的性质可得答案；（2）如图，作于点E，作交的延长线于点F， 证明四边形为正方形，可得，从而可得答案；画图如下：延长交于点记交于点 证明 可得 再利用锐角三角函数可得答案【详解】（1）解：补全图形如图所示 由题意得：， 重合， （2）证明：如图，作于点E，作交的延长线于点F，则于点D，四边形为矩形，四边形为正方形，可得

5、， 画图如下：延长交于点记交于点 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键4已知MON90，点A，B分别在射线OM，ON上（不与点O重合），且OAOB，OP平分MON，线段AB的垂直平分线分别与OP，AB，OM交于点C，D，E，连接CB，在射线ON上取点F，使得OFOA，连接CF（1）依题意补全图形；（2）求证：CBCF；（3）用等式表示线段CF与AB之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法补全图形即可；（2）连接

6、CA，首先证明AOCFOC，得到ACFC，再根据垂直平分线的性质得到AC=BC，从而得出结论即可；（3）根据题意证明出ABC始终为等腰直角三角形，从而得到，再结合BC=FC即可得出结论【详解】（1）如图所示：（2）证明：连接CAOP平分MON，AOCFOC在AOC和FOC中，AOCFOC，ACFCCE是线段AB的垂直平分线，CBCACBCF（3） 证明：CBCF，CFBCBFAOCFOC，CAOCFBCAOCBFCBOCBF180，CAOCBO180AOBACB180AOB90，ACB90又CACB，ACB是等腰直角三角形【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的作法以及性质，等腰直角三角形

7、的判定与性质等，熟练掌握基本图形的作法与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键5已知，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转，得到线段AB，连接OB，再将线段OB绕点O顺时针旋转，得到线段OC，作于点H（1）如图1，依题意补全图形；连接BP，求的度数；（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；90；（2），见解析【分析】（1）按题意画图即可；由旋转可得是等边三角形，进而求出的度数；（2）由旋转证，得出，再求出，可得线段OA与CH之间的数量关系【详解】解：（1）下图即为所求： ，解：线段AP绕点A

8、逆时针旋转得到AB，且是等边三角形，（2）证明：连接BP，BC，由（2）可知，是等边三角形，线段OB绕点O顺时针旋转得到OC，是等边三角形，在中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质准确进行推理证明6已知ADE和ABC都是等腰直角三角形，ADE=BAC=90，P为AE的中点，连接DP（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上 在图2中，按要求补全图形，并证明BAE=ACP；连接BD，交AE于点F

9、判断线段BF与DF的数量关系，并证明【答案】（1）DPAE；（2）见解析；BF=DF，证明见解析【分析】（1）已知ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，根据等腰三角形的三线合一的性质即可得DPAE；（2）根据题目要求，补全图形，根据已知条件易证BAE+CAE=90，ACP+CAE=90再根据同角的余角相等即可证得BAE=ACP 线段BF与DF的数量关系：BF=DF过点B作BHAE于点H易证BAH ACP，由全等三角形的性质可得BH=AP=DP再BFH DFP，由此可得BF=DF【详解】（1）DP与AE的位置关系：DPAE；理由如下：ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，DPAE；（2）补全

10、图形，如图：证明：BAC=90，BAE+CAE=90ADE是等腰直角三角形，且P为AE的中点，DPAE，即APD=90 点C，D，P在同一条直线上，ACP+CAE=90BAE=ACP 线段BF与DF的数量关系：BF=DF证明：如图，过点B作BHAE于点HAHB=APD=90 BAE=ACP，AB=AC，BAH ACP(AAS)BH=AP=DPBHF=DPF，BFH=DFP，BFH DFP(AAS)BF=DF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练运用等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键7已知，如图，MAN=90，点B是MAN的内一点，且到AM，AN的

11、距离相等过点B做射线BC交AM于点C，将射线BC绕点B逆时针旋转90交AN于点D（1）依题意补全图形；（2）求证：BC=BD；（3）连接AB，用等式表示线段AB，AC，AD之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC+AD=AB，证明见解析【分析】（1）根据题意画出符合条件的射线BC和BD；（2）过B点作AM、AN的垂线BE、BF，证明BECBFD即可；（3）过B作BGAB交AN于点G，证明ABCGBD，进而可求得AC+AD=AB【详解】解：（1）依题意补全图形（参照上图）；（2）证明：如上图，过B作BEAM，BFAN，垂足分别为E，F，则BE=BFMAN=CBD=90

12、，ACB+ADB=180ACB+BCE=180，BCE=ADBBEAM，BFAN，BEC=BFD=90，BECBFDBC=BD（3） AC+AD=AB，证明：过B作BGAB交AN于点GBGABABG=90ABG =CBD=90，ABC=GBDACB+ABD=180，ABD+GDB=180，ACB =GDBBC=BD，ABCGBDAB=BG点B到MAN的两边AM，AN的距离相等，BAG =MAN =45，AG=AB，AC+AD=AB【点睛】本题考查了旋转、等腰直角三角形和全等三角形的有关知识，灵活运用辅助线是解决问题的关键8在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直

13、线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F（1）如图1，当点P在正方形内部，且ADP=60时，求证：DE+CE=DF；（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）图见解析，证明见解析【分析】（1）设，由旋转的性质可得，可证得是等边三角形，得出，通过解直角三角形求得，CE=，由勾股定理得DE=，即可得出结论；（2）根据要求画出图形，作DHAP交BC于点H，通过等量代换得到AFD =DHC，由AAS可证得，可得DF=CH，由三线合一可证得ADH=EDH，再通过平行线的性质和等量代换得到EDH=EHD

14、，证得ED=EH，即可得出结论【详解】（1）证明：设，四边形ABCD是正方形，AD=CD=a，DA=DP，ADP=60，是等边三角形，在中，在中， ，（2）依题意补全图形，如图所示 证明：作DHAP交BC于点HDHAF，HDC+AFD=90HDC+DHC=90，AFD =DHC AD=DC，ADF=DCH=90，DF=CHDA=DP，DHAF，ADH=EDHAD/BC，ADH=EHDEDH=EHDEH-EC=CH，【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理以及解直角三角形等，解题的关键是学会添加常用辅助线来解决问题9如图，已知是矩形的对角线，点是延长线上一点，的平分线与

15、的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，使点在射线上，连接（1）依题意补全图形；（2）求的度数；（3）用等式表示线段，之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析【分析】（1）按要求画图即可；（2）利用角平分线的性质求得，再根据三角形内角和定理即可求解；（3）在上截取，连接，利用SAS证明，推出,即可证得【详解】（1）补全图形如图所示：（2）是矩形的对角线，延长至，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，使线段在射线上，的平分线与的平分线交于点， ，；（3）答： 证明：在上截取，连接，是等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，在与中，(SAS),，【点睛】本题考查了旋

16、转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件10在中，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作于点M，过点B作于点N （1）求证：CMBN；（2）取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图形，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明；【答案】（1）见解析；（2）AMBN，见解析【分析】（1）补全图形，由题意结合图形可知1290，1390，即证明23，即利用“AAS”即可证明ACMCBN，得出结论CMBN（2）补全图形，并连接连接OC，根据题意易得OCOB，3445由全等三角形的性质可得AMCN，1342，从而证明出12即利用“

17、SAS”即可证明OCMOBN，得出结论OMON，56由，即可证明，即，即可证明【详解】（1）补全图形如下，证明：AMCP，BNCP，AMCBNC90，1290ACB90，1390，23ACBC，ACMCBN（AAS），CMBN （2）依题意补全图形结论：证明：连接OC，ACB90，ACBC，O是AB中点，OCOB，3445ACMCBN，AMCN，1342，12CMBN，OCMOBN（SAS），OMON，565790，6790，是等腰直角三角形，即【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，补全图形并作出辅助线是解答本题的关键11已知：如图，在Rt中，ACB9

18、0，CAB30，P是AB边上任意一点，D是AB边的中点，连接CP，CD，并将PC绕点P逆时针旋转60得到PE，连接AE（1）求证：CDBC；（2）依题意补全图形；用等式表示线段PE与AE的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）见解析；PEAE，见解析【分析】（1）根据直角三角形的性质证明 可得是等边三角形，从而可得结论；（2）根据题干的语句画图即可；连接EC，ED，证明EPC是等边三角形，再证明ADE CDE，从而可得结论【详解】（1）解：ACB90，CAB30 ，ABC 60D是AB边的中点，CDBD CDB是等边三角形CDBC（2）依题意画图如下：线段PE与AE之间的数量关系为PEA

19、E 证明：连接EC，EDPEPC，EPC60EPC是等边三角形CPCE，ECP60DCB60ECDPCB，CDCB，CPBCED， CDEB60，CDB60ADE60，ADECDEDADCADE CDEAECEAEPE【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形全等的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键12在等腰三角形ABC中，点P是内一动点，连接AP，BP，将APB绕点逆时针旋转，使边与重合，得到ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点（点与点D不重合）（1）依题意补全图和图2；由作图知，BAP与CAD的数量关系为 ；（2）探究与APM的

20、数量关系为 ；（3）如图1，若DP平分ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明【答案】（1）相等；（2）ADMAPM或ADM APM180；（3），证明见解析【分析】（1）按要求作图即可；（2）APB绕点A顺时针旋转得到ADC可得ADC=APB，即可得到答案；（3）由旋转的性质可知ABPACD由全等三角形的性质得出APB=ADC，AP=AD，BP=CD，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得出PAD=ADM=，APM=M证得OP=OA，OM=OD，则可得出结论【详解】解：（1）依题意补全图1和图2；由作图知，BAP与CAD的数量关系为相等；故答案为：相等；（2）ADM=APM

21、或ADM+APM=180当M在线段CD延长线上时，如上图1，将APB绕点A顺时针旋转得到ADC，ADC=APB，ADM=APM，当M在线段CD上时，如上图2，将APB绕点A顺时针旋转得到ADC，ADC=APB，APB+APM=180，ADM+APM=180，故答案为：ADM=APM或ADM+APM=180；（3）如图，线段MC，AE，BD之间的数量关系是：MC=AE+BD证明：将APB绕点A逆时针旋转，使AB边与AC重合，得到ADC，ABPACDAPB=ADC，AP=AD，BP=CD，ADM=APMDE平分ADC，ADP=PDCAP=AD，APD=ADPAPD=PDCAPCMPAD=ADM=，APM=M又由（2）知，ADM=APM=，OP=OA，OM=OD，OP+OM=OM+OD，PM=AD=AP，BM=BP+PMBM=CD+AP【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的性质，解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质