2021新高考2版数学一轮讲义：第三章 第三节　导数与函数的极值、最值 WORD版含解析.docx

1、第三节导数与函数的极值、最值命题导航考试要点命题预测了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.考向预测:(1)用导数求函数的极值;(2)用导数求函数在闭区间上的最值.2.学科素养:主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.1.函数的极值与导数(1)函数的极小值:若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧f (x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数

2、y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值:若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f (b)=0,而且在点x=b附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值,极大值和极小值统称为极值.提醒f (x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如, f(x)=x3, f (0)=0,但x=0不是极值点.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件:一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数

3、y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤:(i)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(ii)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)对可导函数f(x),x0为极值点是f (x0)=0的充分不必要条件.()(2)函数的极大值一定比极小值大.()(3)函数的最大值不一定是极大值,最小值也不一定是极小值.()(4)闭区间上的连续函数必有最值.()(5)函数f(x)在区间(a,b)内一定存在最值.()(6)设函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在区间(

4、a,b)内不单调.()2.函数f(x)的定义域为R,导函数 f (x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点答案C3.函数f(x)=x44-x33的极值点为() A.0B.1C.0或1D.-1答案B4.函数y=xex的最小值是()A.-1B.-eC.-1eD.不存在答案C5.函数f(x)=xln x的极值点是x=.答案1e6.设函数f(x)=ln x+ax2-32x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为.答案ln 2-2解析函数f(x)=ln x+ax2

5、-32x,所以f (x)=1x+2ax-32,x=1是函数f(x)的极大值点,则f (1)=11+2a-32=0,所以a=14, 所以f(x)=ln x+14x2-32x,所以f (x)=1x+12x-32,令f (x)=0,解得x=1或x=2,当x=2时, f(x)的极小值为ln 2-2.利用导数解决函数的极值问题命题方向一导函数与原函数的关系典例1(多选)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表,f(x)的导函数f (x)的图象如图所示,则关于函数f(x)的结论正确的是()x-1045f(x)1221A.函数f(x)的极大值点有2个B.函数f(x)在0,2上是减函数C.当x-1,

6、t时,f(x)的最大值是2,则t的最大值为4D.当1a2时,函数y=f(x)-a有4个零点答案AB解析由f (x)的图象,可知当x=0时,函数f(x)取得极大值,当x=4时,函数f(x)取得极大值,即函数f(x)有两个极大值点,故A中结论正确;易知函数f(x)在0,2上是减函数,故B中结论正确;当x-1,t时,f(x)的最大值是2,则t满足0t5,即t的最大值是5,故C中结论错误;令y=f(x)-a=0,得f(x)=a,当f(2)1,1a2时,易知f(x)=a有四个根,当1f(2)2,1a2时,易知f(x)=a不一定有四个根,故函数y=f(x)-a有4个零点不一定正确,故D中结论错误,故选AB

7、.命题方向二已知函数求极值(点)典例2(1)f(x)=12x+cos x在(0,)上的极小值为() A.512-32B.512-12C.12-32D.12-12(2)已知函数f(x)=2(x+1)ex+ax2+4ax-2(a0, f(x)=12x+cos x单调递增;当x6,56时, f (x)=12-sin x0, f(x)=12x+cos x单调递增,所以当x=56时, f(x)取极小值,且极小值为f56=1256+cos 56=512-32.故选A.(2)f(x)=2(x+1)ex+ax2+4ax-2,a0,x(-,+).f (x)=2(x+2)(ex+a),令f (x)=0,得x1=-

8、2,x2=ln(-a).当ln(-a)-2,即-e-2a0, f(x)单调递增;若x(ln(-a),-2),则f (x)0, f(x)单调递增,所以f(x)有两个极值点:ln(-a),-2.当ln(-a)=-2,即a=-e-2时, f (x)0, f(x)单调递增,f(x)无极值点.当ln(-a)-2,即a0, f(x)单调递增;若x(-2,ln(-a),则f (x)0, f(x)单调递增,所以f(x)有两个极值点:-2,ln(-a).故当a=-e-2时, f(x)无极值点;当a(-,-e-2)(-e-2,0)时, f(x)有两个极值点.命题方向三已知极值(点)的情况,求参数的值(范围)典例3

9、(1)若x=1是函数f(x)=13x3+(a+1)x2-(a2+a-3)x的极值点,则a的值为() A.-2B.3C.-2或3D.-3或2(2)若函数f(x)=exx+a(x-ln x)在12,2内有两个不同的极值点,求实数a的取值范围.答案(1)B解析(1)f(x)=13x3+(a+1)x2-(a2+a-3)x,所以f (x)=x2+2(a+1)x-(a2+a-3),由题意可知f (1)=0,所以f (1)=1+2(a+1)-(a2+a-3)=0,解得a=3或a=-2,当a=3时, f (x)=x2+8x-9=(x+9)(x-1),当x1或x0,函数单调递增;当-9x1时, f (x)0,函

10、数单调递减,显然x=1是函数f(x)的极值点;当a=-2时, f (x)=x2-2x+1=(x-1)20,所以函数是R上的单调递增函数,没有极值,不符合题意,舍去,故选B.(2)由题意, f (x)=(x-1)(ex+ax)x2,因为f(x)在12,2内有两个不同的极值点,所以f (x)=0在12,2内有两个不同的解,由于x=1是f (x)=0的一个解,所以ex+ax=0在12,2上只有一个不为1的解,则a=-exx,即函数y=a与y=-exx的图象在12,2上只有一个交点,且交点的横坐标不为1,令h(x)=-exx,求导得h(x)=ex(1-x)x2,则12x0;1x2时,h(x)0,故h(

11、x)=-exx在12,1上单调递增,在(1,2)上单调递减,且h(x)0在12,2上恒成立,h12=-2e,h(2)=-e22,h(2)h12,故当h(2)ah12,即-e22a-2e时,y=a的图象与y=-exx的图象在12,2上只有一个交点.当a=h(1)时,y=a的图象与y=-exx的图象在12,2上只有一个交点,但不符合题意,需舍去.故-e220),当x1时, f (x)0,当0x0,所以f(x)在x=1处取得极大值,无极小值,故选B.1-2已知函数f(x)=sin x-a2x2,若f(x)在0,2上有唯一极大值点,求实数a的取值范围.解析已知f (x)=cos x-ax,当a0时,

12、f (x)0,f(x)在0,2上单调递增,此时f(x)在0,2上不存在极值点.当a0时, f (x)=-sin x-a0, f 2=-2a0, f(x)单调递增,xx0,2时, f (x)0.利用导数解决函数的最值问题典例4(1)(多选)设函数f(x)=exlnx,则下列说法正确的是()A.f(x)的定义域是(0,+)B.当x(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方C.f(x)的存在单调递增区间D.f(x)有且仅有两个极值点E.f(x)在区间(1,2)上有最大值(2)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值.

13、答案(1)BC解析(1)f(x)=exlnx,ln x0,x0且x1,f(x)的定义域为(0,1)(1,+),故A中说法错误;由f(x)=exlnx,得f (x)=ex(xlnx-1)x(lnx)2,令g(x)=xln x-1,则g(x)=ln x+1,令g(x)=0,则x=1e,当0x1e时,g(x)0,当1 ex0.当0x1时,ln x0,f(x)1时,g(x)0,g(x)g(1)=-1,又g(2)=2ln 2-10,存在x0(1,2),使得g(x0)=0,当1xx0时,f (x)x0时,f (x)0,f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,故C中说法正确,D中说法和E

14、中说法错误.故选BC.(2)因为f(x)=ex-ax2-bx-1,所以f (x)=ex-2ax-b,令g(x)=ex-2ax-b,所以g(x)=ex-2a.当x0,1时,g(x)1-2a,e-2a.当a12时,g(x)0,所以g(x)在0,1上单调递增.因此g(x)在0,1上的最小值是g(0),g(0)=1-b;当ae2时,g(x)0,所以g(x)在0,1上单调递减,因此g(x)在0,1上的最小值为g(1),g(1)=e-2a-b;当12ae2时,令g(x)=0得x=ln(2a)(0,1).所以函数g(x)在0,ln(2a)上单调递减,在(ln(2a),1上单调递增.于是,g(x)在0,1上的

15、最小值是g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b.综上所述,当a12时,g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1-b;当12a0,解得x1,令f (x)0,解得0x0,h0,所以r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,53)时,V(r)0,故V(r)在(5,53)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.规律总结1.利用导数解决生活中的实际应用问题的4步骤2.利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果

16、应与实际情况相结合.3-1某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路分别为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y=ax2+b(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于点P,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t

17、为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1 000,b=0.(2)由(1)知,y=1 000x2(5x20),则点P的坐标为t,1 000t2,设公路l分别交x轴,y轴于A,B两点,如图所示,又y =-2 000x3,则直线l的方程为y-1 000t2=-2 000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3 000t2.故f(t)=3t22+3 000t22=32 t2+4106t4,t5,20.令g(t)=t2+4106t4,t5,20,则

18、g(t)=2t-16106t5.令g(t)=0,解得t=102.当t5,102)时,g(t)0,g(t)是增函数.所以当t=102时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=153.故当t=102时,公路l的长度最短,最短长度为153千米.A组基础题组1.函数f(x)=13x3-4x+4的极大值为() A.283B.6C.263D.7答案Af (x)=x2-4=(x+2)(x-2),令f (x)=0,得x=-2或x=2,则f(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以f(x)的极大值为f(-2)=283.2.函

19、数y=xex在0,2上的最大值是()A.1eB.2e2C.0D.12e答案A易知y=1-xex,令y0,得0x1,令y0,得10,下列结论正确的是()A.函数f(x)有极小值B.函数f(x)有极大值C.函数f(x)有一个零点D.函数f(x)没有零点答案D因为f(x)=ex-x,所以f (x)=ex-1,又x0,所以f (x)=ex-10,即函数f(x)=ex-x在(0,+)上单调递增,且f(x)minf(0)=10,故函数f(x)无极值,且函数无零点.故选D.4.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为()A.2B.-52C.3+ln 2D.-2+2

20、ln 2答案B由题意得, f (x)=2x+2ax-3,f (2)=4a-2=0,解得a=12,f(x)=2ln x+12x2-3x,f (x)=2x+x-3=(x-1)(x-2)x,令f (x)0,得x(0,1)或x(2,+),令f (x)0,得x(1,2),f(x)在(0,1),(2,+)上单调递增,在(1,2)上单调递减,f(x)的极大值为f(1), f(1)=12-3=-52.故选B.5.若函数f(x)=ex-ax-a2在R上有小于0的极值点,则实数a的取值范围是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(-,-1)D.(1,+)答案B由f(x)=ex-ax-a2得f (x)=ex-a,因

21、为f(x)=ex-ax-a2在R上有小于0的极值点,所以ex-a=0有小于0的根,则0a1,所以选择B.6.函数f(x)=lnxx在区间(0,3)上的最大值为()A.1eB.1C.2D.e答案Af (x)=1-lnxx2,令f (x)=0,得x=e,当0x0;当ex3时,f (x)0,当x3,2时,f (x)0,故f(x)=3x+2cos x在区间0,3上是增函数,在区间3,2上是减函数,所以当x=3时, f(x)取最大值,且此时f(x)=33+1,所以最大值为33+1,故选C.8.若函数f(x)=kx-ex在(1,+)上存在最值,则实数k的取值范围是()A.(e,+)B.(-,-eC.(2e

22、,+)D.(-,-2e答案A由题可得f (x)=k-ex,当k0时, f (x)=k-ex0时,令f (x)=k-ex=0,可得x=ln k,易得函数f(x)在(-,ln k)上单调递增,在(ln k,+)上单调递减,若函数f(x)=kx-ex在(1,+)上存在最值,则ln k1,即ke,所以实数k的取值范围是(e,+),故选A.9.已知a0且a1,则函数f(x)=(x-a)2ln x()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值,又有极小值D.既无极大值,又无极小值答案Cf (x)=2(x-a)ln x+(x-a)21x=(x-a)2lnx+x-ax,令g(x)=2ln x+

23、x-ax,易知g(x)在(0,+)上单调递增,当x0时,g(x)-;当x+时,g(x)+,所以g(x)=2ln x+x-ax在(0,+)上有且仅有一个零点,设该零点为x0,因为a1,则x0a,所以导函数f (x)有两个不同零点,因此函数既有极大值,又有极小值,选C.10.已知函数f(x)=ax-ln x,当x(0,e(e为自然对数的底数)时,函数f(x)的最小值为3,则a的值为.答案e2解析f (x)=a-1x,x(0,e,当a1e时, f (x)0, f(x)在(0,e上是减函数, f(x)最小值=f(x)极小值=f(e)=ae-1=3,a=4e(舍去).当a1e,0x1a时, f (x)1

24、e,1a0, f(x)递增.f(x)最小值=f(x)极小值=f1a=1-ln1a=3,a=e2,符合题意.11.已知f(x)=xex-ax2-x,若f(x)在(-,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,求f(x)的极小值.解析因为f(x)在(-,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,所以f (-1)=0.因为f (x)=(x+1)ex-2ax-1,所以2a-1=0,a=12.所以f (x)=(x+1)ex-x-1=(x+1)(ex-1),所以f(x)在(-,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(0), f(0)=0.12.已知

25、函数f(x)=x-1x-ln x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在1e,e上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).解析(1)f(x)=x-1x-ln x=1-1x-ln x,f(x)的定义域为(0,+).f (x)=1x2-1x=1-xx2,由f (x)0,得0x1,由f (x)1,f(x)=1-1x-ln x在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.(2)由(1)得f(x)在1e,1上单调递增,在(1,e上单调递减,f(x)在1e,e上的最大值为f(1), f(1)=1-1-ln 1=0.又f1e=1-e-ln1e=2-e, f(e)=1-1e-ln e=-1e

26、,且f1e0且a1B.a|a0C.a|a0或a=1D.a|a0,且x1e.设g(x)=x1+lnxx0,且x1e,得g(x)=lnx(1+lnx)2.当g(x)0时,得x1;当g(x)0时,得0x1e或1ex0,且x1e的图象有一个交点,所以a0或a=1.当a=1时, f (x)=(1+ln x)-x0恒成立,所以y=f(x)无极值,所以a|a0.故选D.2.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=-e-x(x-1)B.函数f(x)有2个零点C.f(x)0的解集为(-,-1)(0,1)D.x1,x2R,都有|f(x1)-f(x2)|0,则-x0,f(x)为R上的奇函数

27、,f(-x)=e-x(-x+1)=-f(x),f(x)=e-x(x-1),故A错误;易知f(x)有3个零点,故B错误;当x0时,由f(x)=ex(x+1)0,得x+10,即x0时,由f(x)=e-x(x-1)0,得x-10,即0x1,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1),故C正确;当x0时,f (x)=ex(x+2),易知当x-2时,f (x)0,当-2x0,f(x)在(-,-2)上单调递减,在(-2,0)上单调递增.x=-2时,f(x)取得最小值,最小值为-e-2,且当x-2时,f(x)0,f(x)f(0)=0,即-e-2f(x)0时,f(x)max=f(2)=e-2,且当x2时,f(x

28、)0,易知0xf(0)=0,0f(x)e-2,f(x)的值域为-e-2,e-2,x1,x2R,都有|f(x1)-f(x2)|0, f (x)=1x-1=1-xx.由f (x)0,得0x1,由f (x)1.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(2)g(x)=xf(x)+12x2+2x=x(ln x-x-1)+12x2+2x=xln x-12x2+x,则g(x)=ln x+1-x+1=ln x-x+2=f(x)+3.由(1)可知,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.又g1e2=-2-1e2+2=-1e20,所以g(x)在(0,1)上有且只有

29、一个零点,记为x1.又在(0,x1)上,g(x)0,g(x)在(x1,1)上单调递增.所以x1为极值点,此时m=0.又g(3)=ln 3-10,g(4)=2ln 2-20,g(x)在(3,x2)上单调递增;在(x2,4)上,g(x)0时,若f(x)在区间1,e上的最小值为-2,求a的取值范围.解析(1)当a=1时, f(x)=x2-3x+ln x(x0),所以f (x)=2x-3+1x=2x2-3x+1x,所以f (1)=0.又f(1)=-2,所以切线方程为y=-2.(2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x的定义域为(0,+),f (x)=2ax-(a+2)+1x=2ax2-(a+2)x+1x=(2x-1)(ax-1)x,令f (x)=0,解得x=12或x=1a.当01a1,即a1时, f(x)在1,e上单调递增.所以f(x)在1,e上的最小值为f(1)=-2,符合题意;当11ae,即1ea1时, f(x)在1,1a上单调递减,在1a,e上单调递增,所以f(x)在1,e上的最小值为f1af(1)=-2,不符合题意;当1ae,即0a1e时, f(x)在1,e上单调递减,所以f(x)在1,e上的最小值为f(e)f(1)=-2,不符合题意.综上,实数a的取值范围是1,+).