2021版数学大一轮复习北京专用精练：4-3　三角函数的图象与性质（试题部分） WORD版含解析.docx

1、4.3三角函数的图象与性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.三角函数的性质及其应用了解三角函数的周期性理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等);理解正切函数的单调性2018北京,11三角函数的性质不等式恒成立问题2015北京,15三角函数的周期性及最值二倍角公式、辅助角公式2019北京文,6三角函数的奇偶性充分、必要条件的判断2.三角函数的图象及其变换能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象 了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响201

2、6北京,7三角函数图象的平移变换2014北京文,16根据三角函数图象求值三角函数的性质及其应用分析解读分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查以基础题为主,难度不大.要注意以下几点:1.研究三角函数时,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间时,要利用公式将三角函数式化为一个角的一种函数的形式,再利用整体换元的思想,通过解不等式组得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点,重点考查三角恒等变换及数形结合能力.破考点 练考向【考点集训】考点一三角函数的性质及其应用1.(2019北京延庆一模,4)函数f(x)=sin 2x-3cos 2x在

3、区间-2,2上的零点之和是()A.-3B.-6C.6D.3答案B2.(2019北京石景山一模文,7)已知f(x)=sin2x5,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)=()A.0B.505C.1 010D.2 020答案A3.(2020届北师大附中摸底,6)函数f(x)=sin 2x+3cos 2x的对称中心为()A.-6+k2,0(kZ)B.6+k2,0(kZ)C.-6+k,0(kZ)D.6+k,0(kZ)答案A4.(2020届北京通州期中,13)若函数f(x)=acos x+sin x在区间6,4上单调递减,则实数a的取值范围是.答案3,+)5.(2020届北京通州期中

4、,15)已知函数f(x)=3sin 2x+2cos2x-1.(1)求f512的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析(1)因为f(x)=3sin 2x+2cos2x-1=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6,所以f512=2sin2512+6=2sin =0.(2)由(1)得f(x)=2sin2x+6,所以f(x)的最小正周期T=22=.令2k-22x+62k+2(kZ),解得k-3xk+6(kZ),所以f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kZ).考点二三角函数的图象及其变换6.(2019北京朝阳期末,5)将函数y=sin 2x的图象向右平移(0)个单位后,图象经过

5、点3,32,则的最小值为()A.12B.6C.3D.56答案B7.(2019北京清华大学中学生标准学术能力测试,7)已知函数f(x)=sinx+3(0)的最小正周期为,若将函数f(x)的图象向左平移12个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为()A.g(x)=sin12x+6B.g(x)=sin12x-3C.g(x)=sin2x+6D.g(x)=cos 2x答案D8.(2019北京朝阳一模,5)如图,函数f(x)的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的,则f(x)的解析式可以是()A. f(x)=sin2x+3B. f(x)=sin4x+6C. f(x)=cos2x+3D.

6、f(x)=cos4x+6答案A9.(2019北京四中期中,3)函数y=cos x|tan x|-2x0,|0,0,|0,0,00,0,|0).若f(x)f4对任意的实数x都成立,则的最小值为.答案233.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0).若f(x)在区间6,2上具有单调性,且f2=f23=-f6,则f(x)的最小正周期为.答案4.(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解析(1)因为f(x)=2sin xcos x+cos 2x=

7、sin 2x+cos 2x=2sin2x+4,(3分)所以f(x)的最小正周期T=22=.(4分)依题意,得=,解得=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=2sin2x+4.函数y=sin x的单调递增区间为2k-2,2k+2(kZ).(8分)由2k-22x+42k+2(kZ),得k-38xk+8(kZ).(12分)所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8(kZ).(13分)评析本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.5.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=2sinx2cosx2-2sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间

8、-,0上的最小值.解析(1)因为f(x)=22sin x-22(1-cos x)=sinx+4-22,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为-x0,所以-34x+44.当x+4=-2,即x=-34时, f(x)取得最小值.所以f(x)在区间-,0上的最小值为f-34=-1-22.思路分析(1)先把函数f(x)化成正弦型函数,再求最小正周期;(2)利用三角函数的性质求最小值.考点二三角函数的图象及其变换1.(2016北京,7,5分)将函数y=sin2x-3图象上的点P4,t向左平移s(s0)个单位长度得到点P.若P位于函数y=sin 2x的图象上,则()A.t=12,s的最小值为6B.t=32

9、,s的最小值为6C.t=12,s的最小值为3D.t=32,s的最小值为3答案A2.(2014北京文,16,13分)函数f(x)=3sin2x+6的部分图象如图所示.(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;(2)求f(x)在区间-2,-12上的最大值和最小值.解析(1)f(x)的最小正周期为,y0是f(x)的最大值,因此y0=3.由f(x)取最大值时x满足sin2x+6=1,得x=k+6(kZ).由图象知x0是区间(0,+)中从小到大排列的第二个最大值点的横坐标,因此x0=76.(2)因为x-2,-12,所以2x+6-56,0.因为在区间-56,0上,y=3sin u分别在u=-2和

10、u=0处取得最小值和最大值,所以当2x+6=0,即x=-12时, f(x)取得最大值0;当2x+6=-2,即x=-3时, f(x)取得最小值-3.思路分析(1)由周期公式即可求出最小正周期;由解析式和图象可求出x0,y0的值.(2)由x-2,-12可得2x+6-56,0,由正弦函数的单调性可求出f(x)的最值.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一三角函数的性质及其应用1.(2019课标全国,9,5分)下列函数中,以2为周期且在区间4,2单调递增的是()A. f(x)=|cos 2x|B. f(x)=|sin 2x|C. f(x)=cos|x|D. f(x)=sin|x|答案A2.(2019课

11、标全国文,8,5分)若x1=4,x2=34是函数f(x)=sin x(0)两个相邻的极值点,则=()A.2B.32C.1D.12答案A3.(2019课标全国,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: f(x)是偶函数 f(x)在区间2,单调递增 f(x)在-,有4个零点 f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.答案C4.(2019课标全国,12,5分)设函数f(x)=sinx+5(0),已知f(x)在0,2有且仅有5个零点.下述四个结论:f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点f(x)在0,10单

12、调递增的取值范围是125,2910其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.答案D5.(2017课标全国,6,5分)设函数f(x)=cosx+3,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线x=83对称C.f(x+)的一个零点为x=6D.f(x)在2,单调递减答案D6.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|0,|2,x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在18,536单调,则的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B8.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(

13、A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=23时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A. f(2) f(-2) f(0)B. f(0) f(2) f(-2)C. f(-2) f(0) f(2)D. f(2) f(0) f(-2)答案A9.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+)-22的图象关于直线x=3对称,则的值是.答案-610.(2017课标全国,14,5分)函数f(x)=sin2x+3cos x-34x0,2的最大值是.答案111.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值;(2)求函数y=f

14、x+122+fx+42的值域.解析本题主要考查三角函数及三角恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.(1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sin xcos +cos xsin =-sin xcos +cos xsin ,故2sin xcos =0,所以cos =0.又0,2),因此=2或32.(2)y=fx+122+fx+42=sin2x+12+sin2x+4=1-cos2x+62+1-cos2x+22=1-1232cos2x-32sin2x=1-32cos2x+3.因

15、此,函数的值域是1-32,1+32.思路分析(1)根据偶函数的定义,知f(-x+)=f(x+)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos =0,从而求出的值.(2)将函数解析式化简为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式,利用三角函数的性质求值域.12.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f 23的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析本题主要考查三角函数的性质及其应用等基础知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin23=32,cos23=-12,f23=322-122-2332-12,得f

16、23=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+6.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2+2k2x+632+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ.所以, f(x)的单调递增区间是6+k,23+k(kZ).13.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos

17、 x=3sin x.若cos x=0,解得sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-33.又x0,所以x=56.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos x-3sin x=23cosx+6.因为x0,所以x+66,76,从而-1cosx+632.于是,当x+6=6,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+6=,即x=56时, f(x)取到最小值-23.14.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sinx-6+sinx-2,其中03.已知f 6=0.(1)求;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的

18、2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-4,34上的最小值.解析本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质.(1)因为f(x)=sinx-6+sinx-2,所以f(x)=32sin x-12cos x-cos x=32sin x-32cos x=312sinx-32cosx=3sinx-3.由题设知f6=0,所以6-3=k,kZ.故=6k+2,kZ,又00,0,|0,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为512,0,求的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=- 6.数据补全如下表:x+

19、02322X123712561312Asin(x+)050-50且函数表达式为f(x)=5sin2x-6.(2)由(1)知 f(x)=5sin2x-6,故g(x)=5sin2x+2-6.因为y=sin x的对称中心为(k,0),kZ.令2x+2-6=k,解得x=k2+12-,kZ.由于函数y=g(x)的图象关于点512,0成中心对称,令k2+12-=512,解得=k2-3,kZ.由0可知,当k=1时,取得最小值6.6.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cos12t-sin12t,t0,24).(1)求实验室这

20、一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)f(t)=10-232cos12t+12sin12t=10-2sin12t+3,因为0t24,所以312t+311时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin12t+3,故有10-2sin12t+311,即sin12t+3-12.又0t24,因此7612t+3116,即10t0)的形式是解题关键.9.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos xsinx+3-3cos2x+34,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间-4,4上的最大值和最小值.解析(1)由已知,

21、有f(x)=cos x12sinx+32cosx-3cos2x+34=12sin xcos x-32cos2x+34=14sin 2x-34(1+cos 2x)+34=14sin 2x-34cos 2x=12sin2x-3.所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)当x-4,4时,2x-3-56,6,当2x-3-56,-2,即x-4,-12时, f(x)单调递减,当2x-3-2,6,即x-12,4时, f(x)单调递增.又f-4=-14, f-12=-12, f4=14,所以函数f(x)在闭区间-4,4上的最大值为14,最小值为-12.评析本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公

22、式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2019北京海淀期末,7)已知函数f(x)=sin x-cos x,g(x)是f(x)的导函数,则下列结论中错误的是()A.函数f(x)的值域与g(x)的值域相同B.若x0是函数f(x)的极值点,则x0是函数g(x)的零点C.把函数f(x)的图象向右平移2个单位,就可以得到函数g(x)的图象D.函数f(x)和g(x)在区间-4,4上都是增函数答案C2.(2020届北京四中期中,8)已知函数f(x)=asin x-bcos x(a、b为常数,且a0)的图象关于直线x=4对称,则函数f

23、34-x是()A.偶函数且它的图象关于点(,0)对称B.偶函数且它的图象关于点32,0对称C.奇函数且它的图象关于点32,0对称D.奇函数且它的图象关于点(,0)对称答案D3.(2020届北京朝阳期中,4)关于函数f(x)=sin x+cos x有下述三个结论:函数f(x)的最小正周期为2;函数f(x)的最大值为2;函数f(x)在区间2,上单调递减.其中,所有正确结论的序号是()A.B.C.D.答案B二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2019北京西城一模,11)函数f(x)=sin 2x+cos 2x的最小正周期T=;如果对于任意的xR都有f(x)a,那么实数a的取值范围是.答案;2,+

24、)5.(2019北京东城二模,12)将函数y=sin 2x-3cos 2x的图象向左平移6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g56=.答案-36.(2018北京延庆一模,10)已知f(x)=2sin 2x的最小正周期为,则=;当x6,3时,函数f(x)的最大值为.答案1;2或-3三、解答题(共130分)7.(2018北京顺义二模,16)已知函数f(x)=2sin xcos x-3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=m没有公共点,求实数m的取值范围.解析(1)因为f(x)=2sin xcos x-3cos 2x=sin 2x-3cos 2x

25、=2sin2x-3,所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)由(1)知f(x)=2sin2x-3.“函数y=f(x)的图象与直线y=m没有公共点”等价于“方程2sin2x-3=m在xR内无解”.函数f(x)=2sin2x-3的值域是-2,2,实数m的取值范围为(-,-2)(2,+).8.(2018北京东城二模,16)已知函数f(x)=2sinx2-4+22cosx2.(1)求曲线y=f(x)的对称轴方程;(2)当x0,32时, f(x)m恒成立,求实数m的最大值.解析(1)f(x)=2sinx2-4+22cos x2=2sin x2+2cos x2=2sinx2+4.因为y=sin x的对称

26、轴方程为x=2+k(kZ),所以x2+4=2+k(kZ),即x=2+2k(kZ).所以曲线y=f(x)的对称轴方程为x=2+2k(kZ).(2)因为0x32,所以4x2+4.所以当x2+4=,即x=32时, f(x)的最小值为0.因为f(x)m恒成立,所以实数m的最大值为0.9.(2020届北京海淀期中,16)已知函数f(x)=2sin xcosx+3+32.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若f(x)+m0对x0,2恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)因为f(x)=2sin xcosx+3+32=2sin xcosxcos3-sinxsin3+32=2sin x12cosx-32si

27、nx+32=sin xcos x-3sin2x+32=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+3,所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)“f(x)+m0对x0,2恒成立”等价于“f(x)max+m0”.因为x0,2,所以2x+33,43.当2x+3=2,即x=12时,f(x)max=f12=1,所以1+m0,所以实数m的取值范围为(-,-1.10.(2019首师大附中一模,15)已知函数f(x)=sin56-2x-2sinx-4cosx+34.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)已知x1,x2是函数y=f(x)-12的两个零点,求|x1-x2|的最小值.解析(1)

28、f(x)=sin56-2x-2sinx-4cosx+34=sin 56cos 2x-cos 56sin 2x-2sinx-4cosx+-4=12cos 2x+32sin 2x+2sinx-4cosx-4=12cos 2x+32sin 2x+sin2x-2=12cos 2x+32sin 2x-cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6,则函数f(x)的最小正周期T=22=,由2k-22x-62k+2,kZ,得k-6xk+3,kZ,即函数的单调递增区间为k-6,k+3,kZ.(2)x1,x2是函数y=f(x)-12的两个零点,由y=f(x)-12=0得f(x)=12,则由si

29、n2x-6=12得2x1-6=2k1+6,k1Z,2x2-6=2k2+56,k2Z,则-得2(x2-x1)=2(k2-k1)+23,k1,k2Z,即x2-x1=(k2-k1)+3,k1,k2Z,则|x1-x2|=(k2-k1)+3,k1,k2Z,则当k1=k2时,|x1-x2|取得最小值,最小值为3.11.(2020届北京东直门中学期中,15)已知函数f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x-4,4时, f(x)-12.解析(1)f(x)=312cos2x+32sin2x-sin 2x=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+3

30、,f(x)的最小正周期T=22=.(2)证明:-4x4,-62x+356,sin2x+3sin-6=-12,当x-4,4时, f(x)-12.12.(2019北京海淀一模文,16)已知函数f(x)=22cos4-xcos x+a的图象经过点(0,1),部分图象如图所示.(1)求a的值;(2)求图中x0的值,并直接写出函数f(x)的单调递增区间.解析(1)由题意得f(0)=22cos4cos 0+a=1,所以a=-1.(2)f(x)=22cos4-xcos x-1=(2sin x+2cos x)cos x-1=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin2x+4

31、.由题图得2x0+4=2,所以x0=8.函数f(x)的单调增区间为k-38,k+8,kZ.13.(2019北京昌平二模,15)已知函数f(x)=cos x(3sin x-cos x)+12.(1)求f3的值;(2)当x0,2时,cf(x)c+2恒成立,求实数c的取值范围.解析(1)f(x)=3sin xcos x-cos2x+12=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6,所以f3=1.(2)因为0x2,所以-62x-656.所以-12sin2x-61.由cf(x)c+2恒成立,得c1,解得-1c0).(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)当x0,2时, f(x)的最小值是-2,

32、最大值是3,求实数a、b的值.解析(1)f(x)=asinxcosx-3cos2x+32+b=a12sin 2x-32cos 2x+b=asin2x-3+b,a0,令2k+22x-332+2k,kZ,解得k+512x1112+k,kZ,f(x)的单调递减区间是k+512,k+1112(kZ).(2)x0,2,2x-3-3,23,sin2x-3-32,1,函数f(x)的最小值是-32a+b=-2,最大值是a+b=3,解得a=2,b=3-2.15.(2019北京东城二模文,16)已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若对于任意的x0,m

33、, f(x)1恒成立,求m的最大值.解析(1)由题图可知,A=2.因为512-6=T4,所以T=.所以=2,解得=2.又因为函数f(x)的图象经过点6,2,所以2sin26+=2,解得=6+2k(kZ).又因为|2,所以=6.所以f(x)=2sin2x+6.(2)因为对任意的x0,m, f(x)1恒成立,所以sin2x+612恒成立,所以2k+62x+656+2k,kZ,解得kx3+k,kZ,因为x0,m,所以00,0,00,所以=1.因为00)的图象上相邻最高点与最低点的距离为2+16.(1)求函数f(x)的最小正周期及的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解析(1)f(x)=2sin

34、xcos x-23cos2x+3=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3,0,函数的最小正周期T=22=,振幅A=2,图象上相邻最高点与最低点的距离为2+16,A2+T42=2+1622,即4+T42=2+164=24+4,T42=24,即T4=2,得T=2=,得=12.故函数f(x)的最小正周期为2,=12.(2)由(1)知f(x)=2sinx-3,由2k-2x-32k+2,kZ,得2k-6x2k+56,kZ,即函数的单调递增区间为2k-6,2k+56,kZ.19.(2020届北京一零一中学开学考试,16)已知函数f(x)=3sin x-2sin2x2.(1)求函数f(x)的最小正周

35、期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在0,2内的所有零点.解析(1)f(x)=3sin x-2sin2x2=3sin x-(1-cos x)=2sinx+6-1,f(x)的最小正周期T=2,由2k-2x+62k+2,kZ,得2k-23x2k+3,kZ,函数f(x)的单调递增区间为2k-23,2k+3,kZ.(2)令2sinx+6-1=0,即sinx+6=12,x+6=2k+6,kZ或x+6=2k+56,kZ.可得函数f(x)在0,2内的所有零点为0,23,2.思路分析(1)利用二倍角公式、辅助角公式即可化简f(x),再利用单调性即可得出结果.(2)令2sinx+6-1=0,即sinx+6=12,可得x+6=2k+6,kZ或x+6=2k+56,kZ,即可得出函数f(x)在0,2内的所有零点.