2021高考数学文科（全国版）一轮复习考点考法精练：第十章 第二讲　双曲线 WORD版含解析.docx

1、第二讲双曲线1.2020山东名校联考已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点F向两条渐近线作垂线,垂足分别为M,N,若四边形OMFN的面积为3,其中O为坐标原点,则该双曲线的焦距为()A.2B.3C.3D.42.2020惠州市一调设双曲线的一条渐近线为直线y=2x,且一个焦点与抛物线 y2=4x的焦点相同,则此双曲线的方程为()A.54x2 - 5y2=1B.5y2 - 54x2=1 C.5x2 - 54y2=1D.54y2 - 5x2=13.2020石家庄市重点高中高三摸底测试设双曲线C:x2a2-y2b2=1(ab0)的两条渐近线的夹角为,且cos =13,则C

2、的离心率为()A.52B.62C.72D.24.2020陕西省部分学校摸底检测设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为()A.13B.12C.11D.105.2020南昌市测试圆C:x2+y2 - 10y+16=0上有且仅有两点到双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,5)B.(53,52) C.(54,52)D.(5,2+1)6.2020湖北部分重点中学高三测试如图10 - 2 - 1,点A为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b

3、0)的右顶点,点P为双曲线上一点,过点P作PBx轴,垂足为B,若点A为线段OB的中点,且以点A为圆心,AP为半径的圆与双曲线C恰有三个公共点,则双曲线C的离心率为()图10 - 2 - 1A.2B.3C.2D.57.2020大同市高三调研已知F1,F2是双曲线M:y24-x2m2=1的焦点,y=255x是双曲线M的一条渐近线,离心率等于34的椭圆E与双曲线M的焦点相同,点P是椭圆E与双曲线M的一个公共点,则|PF1|PF2|=()A.8B.6C.10D.128.2019四川省高三第一次测试中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x - 2)2+y2=1都相切,则双曲线C的离心

4、率是()A.2或233B.2或3 C.3或62D.233或629.2019温州三模已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)与双曲线C2:y24 - x2=1没有公共点,则双曲线C1的离心率的取值范围是()A.(1,3 B.3,+) C.(1,5D.5,+)10.2019安徽示范高中高三测试已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点M在双曲线E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=14,则双曲线E的离心率为()A.153B.32C.132D.211.2019福州市质检如图10 - 2 - 2,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右

5、焦点分别为F1,F2,过点F2作线段F2P与C的渐近线交于点P,若等腰三角形PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为()图10 - 2 - 2A.233B.23C.263D.3212.2020江西红色七校第一次联考双曲线C:x2 - y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上且tanF1PF2=43,O为坐标原点,则|OP|=.13.2020四川五校联考已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线与双曲线C交于A,B两点,若AF2B=60,ABF2的面积为3a2,则双曲线的渐近线方程为.14.2020陕西省百校第一次联考已

6、知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1与l2,A与B为l1上关于坐标原点对称的两点,M为l2上一点且kAMkBM=e(e为双曲线C的离心率),则e的值为()A.5B.5+12C.2D.215.2020成都高三摸底考试已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1( - c,0),F2(c,0),点N( - c,3b22a).若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|4b,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(133,5)B.(5,13)C.(1,133)(5,+) D.(1,5)(13,+)16.2020洛阳市第一次联考已

7、知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1( - c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1AF2B,则双曲线C的离心率为()A.2+73B.4+73 C.3+174D.5+17417.2019江西联考已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C上,若AF1F2的周长为10a,则AF1F2的面积为()A.215a2B.15a2 C.30a2 D.15a218.如图10 - 2 - 3,已知点F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦

8、点,平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A,B,且OAF=90,OBF=OFB,则C的离心率为()图10 - 2 - 3A.62B.72C.2D.319.2019广东百校联考已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点M( - a,0),N(0,b),点P为线段MN上的动点,当PF1PF2取得最小值和最大值时,PF1F2的面积分别为S1,S2,则S2S1=()A.4B.8C.23D.4320.2020安徽省示范高中名校联考已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F2A垂直于直线y=bax,垂足

9、为点A,与双曲线交于点B,若F2B=BA,则该双曲线的离心率为.21.2019河北廊坊省级示范高中联考已知点F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若AF2B=23,SAF2B=23,则双曲线C的虚轴长为.22.原创题已知双曲线:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的上、下焦点分别为F1,F2,过F1且垂直于y轴的直线与交于A,B两点,AF2,BF2分别交x轴于点C,D,若|CF2|+|DF2|=12,则过点M(a,b2),N( - 2,0)的直线的斜率的最大值为.23.2020惠州市二调新定义题我们把焦点相同,离心率互为倒数的椭圆和双

10、曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当F1PF2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.3B.2C.233D.224.新角度题已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,c为椭圆C的半焦距,过A1的直线与圆x2+y2=c2切于点N,与双曲线E:x2c2-y2b2=1在第一象限交于点M,满足MA1MA2,若椭圆C的离心率为e1,双曲线E的离心率为e2,则e2+1e1的值为()A.165B.5C.655D.2525.双空题在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程为2xy=0,且该双曲线经过点(54,

11、32),则该双曲线的标准方程为,焦点坐标为.第二讲双曲线1.D由双曲线的离心率为2可得c2a2=4,又a2+b2=c2,所以ba=3.因为F(c,0)到渐近线y=bax的距离d=|FM|=|FN|=bca2+b2=b,所以|OM|=|ON|=c2 - b2=a,故S四边形OMFN=2SOMF=212ab=3,解得ab=3.又ba=3,所以a=1,b=3,c=2,故该双曲线的焦距2c=4.故选D.2.C抛物线y2=4x的焦点为点(1,0),则双曲线的一个焦点为点(1,0),设双曲线的方程为x2a2 - y2b2=1(a0,b0),由题意可得ba=2,12=a2+b2,得a2=15,b2=45,所

12、以双曲线的方程为5x2 - 54y2=1,故选C.3.Bab0,渐近线y=bax的斜率大于0且小于1.两条渐近线的夹角为,且cos =13,cos2 2=23,sin2 2=13,tan2 2=12,b2a2=12,c2 - a2a2=12,e2=32,则e=62.故选B.4.C由题意得双曲线的实半轴长a=2,虚半轴长b=3.根据双曲线的定义得|AF2| - |AF1|=2a=4,|BF2| - |BF1|=2a=4,+得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+8=|AB|+8.易得|AB|min=2b2a=3,所以|AF2|+|BF2|的最小值为11,故选C.5.C不妨设该渐近线经过

13、第二、四象限,则该渐近线的方程为bx+ay=0.因为圆C:x2+(y - 5)2=9,所以圆C的圆心为(0,5),半径为3,所以2|5a|a2+b24,结合a2+b2=c2,得54ca|PF2|,根据椭圆与双曲线的定义有|PF1|+|PF2|=8,|PF1| - |PF2|=4,解得|PF1|=6,|PF2|=2,所以|PF1|PF2|=12,故选D.8.A设双曲线C的渐近线方程为y=kx.双曲线的渐近线与圆相切,|2k|k2+1=1,k=33,可得双曲线的一条渐近线的方程为y=33x.由题意知需分双曲线的焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论:当双曲线的焦点在x轴上时,有ba=33,即a=3

14、b,离心率e=ca=a2+b2a=233;当双曲线的焦点在y轴上时,有ab=33,即a=33b,离心率e=ca=a2+b2a=2.双曲线C的离心率为233或2.故选A.9.C由题意知双曲线C1的渐近线y=bax和双曲线C2无交点,根据双曲线的对称性知,只要双曲线C1的渐近线y=bax的斜率不大于双曲线C2的渐近线y=2x的斜率即可,即01,所以双曲线E的离心率为153.故选A.【解题关键】解决本题的关键是将齐次方程15c2 - 15a2 - 2ac=0转化为关于e的一元二次方程.11.C依题意,kOP=ba=c2 - a2a2=e2 - 1,在等腰三角形PF1F2中,cosPF2F1=|PF2

15、|2|F1F2|=c22c=14,所以|OP|2=c2+c2 - 2c2cosPF2F1=32c2,所以|OP|=62c,所以cosF2OP=|OP|2|OF2|=64,所以tanF2OP=153,所以e2 - 1=153,解得e=263,故选C.12.5因为tanF1PF2=43,所以sinF1PF2=437,cosF1PF2=17.由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 - 2|PF1|PF2|cosF1PF2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 - 27|PF1|PF2|=16,又|PF1| - |PF2|=2,所以|PF1|PF2|=7,则F1PF2的面积为

16、12|PF1|PF2|sinF1PF2=23.设P(x0,y0),因为F1PF2的面积为122c|y0|=23,所以|y0|=3,代入x2 - y23=1得x02=2,所以|OP|=x02+y02=2+3=5.13.y=3x解法一如图D 10 - 2 - 2,连接AF1,BF1,则四边形AF2BF1是平行四边形,设|AF2|=x,则|BF1|=x,|BF2|=x+2a,SABF2=12|AF2|BF2|sinAF2B=12x(x+2a)32=3a2,解得x=(5 - 1)a,则|BF2|=(5+1)a.在BF1F2中,由余弦定理得4c2=(5 - 1)2a2+(5+1)2a2 - 2(5 -

17、1)(5+1)a2( - 12),化简得c2=4a2,又c2=a2+b2,故b2=3a2,ba=3,所以双曲线的渐近线方程为y=3x.图D 10 - 2 - 2解法二如图D 10 - 2 - 2,连接AF1,BF1,则四边形AF2BF1是平行四边形,因为AF2B=60,所以F1AF2=120,易知SABF2=12S四边形AF2BF1=SAF1F2=b2tan60=3a2,故b2a2=3,ba=3,所以双曲线的渐近线方程为y=3x.14.B设M(x0,y0),A(x1,y1),则B( - x1, - y1).不妨设l1:y=bax,l2:y= - bax,则y0= - bax0,y1=bax1,

18、所以kAMkBM=y0 - y1x0 - x1y0+y1x0+x1=y02 - y12x02 - x12=b2a2.因为kAMkBM=e,所以b2a2=e,即c2 - a2a2=e,整理得e2 - e - 1=0,解得e=152.又e1,所以e=1+52,故选B.15.C由双曲线定义知|MF2| - |MF1|=2a,所以|MF2|=|MF1|+2a,因为|MF2|+|MN|4b恒成立,所以|MF1|+|MN|4b - 2a恒成立,即(|MF1|+|MN|)min4b - 2a.由题意易知点N在双曲线左支的上方,由平面几何知识知,当MF1x轴且点M在x轴上方时,|MF1|+|MN|取得最小值3

19、b22a,所以3b22a4b - 2a,即3(ba)2 - 8ba+40,解得0ba2.又e=ca=1+(ba)2 ,所以e(1,133)(5,+),故选C.16.C如图D 10 - 2 - 3,连接BF1,AF2,图D 10 - 2 - 3由双曲线的定义知,|AF2| - |AF1|=2a,|BF1| - |BF2|=2a,由|BF1|=|AF1|=2c,可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c - 2a,在AF1F2中,由余弦定理可得cosAF1F2=4c2+4c2 - (2a+2c)222c2c=c2 - 2ac - a22c2,在BF1F2中,由余弦定理可得cosBF2F1=4c2

20、+(2c - 2a)2 - 4c222c(2c - 2a)=c - a2c,由F1AF2B,可得BF2F1+AF1F2=,则有cosBF2F1+cosAF1F2=0,即c2 - 2ac - a22c2+c - a2c=0,整理得2c2 - 3ac - a2=0,可化为2e2 - 3e - 1=0,解得e=3+174或e=3 - 174(舍去),所以双曲线C的离心率为3+174.故选C.17.B不妨设点A在双曲线的右支上,由e=ca=2,得c=2a,所以AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+4a,又AF1F2的周长为10a,所以|AF1|+|AF2|=6

21、a.因为|AF1| - |AF2|=2a,所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,在AF1F2中,|F1F2|=4a,所以cosF1AF2=|AF1|2+|AF2|2 - |F1F2|22|AF1|AF2|=(4a)2+(2a)2 - (4a)224a2a=14,所以sinF1AF2=154,所以SAF1F2=12|AF1|AF2|sinF1AF2=124a2a154=15a2,故选B.18.C设B(m,n),由y=bax,y=n,解得A(anb,n).因为OAF=90,所以kAFkOA= - 1,即nanb - cba= - 1,得n=abc.又点B(m,n)在双曲线C上,所以m2a2 -

22、n2b2=1,将n=abc代入,得m2=a2c2+a4c2.又OBF=OFB,所以|OB|=|OF|,所以m2+n2=c2,即a2c2+a4c2+a2b2c2=c2,化简得2a2=c2,所以双曲线C的离心率e=ca=2,故选C.19.A由e=ca=2,得c=2a,b=3a,故线段MN所在直线的方程为y=3(x+a).又点P在线段MN上,所以可设P(m,3m+3a),其中m - a,0.由F1( - c,0),F2(c,0),即F1( - 2a,0),F2(2a,0),得PF1=( - 2a - m, - 3m - 3a),PF2=(2a - m, - 3m - 3a),所以PF1PF2=4m2

23、+6ma - a2=4(m+34a)2 - 134a2.由m - a,0,可知当m= - 34a时,PF1PF2取得最小值,此时yP=34a,当m=0时,PF1PF2取得最大值,此时yP=3a,则S2S1=3a34a=4.故选A. 20.2解法一由题意知,直线F2A的方程为y= - ab(x - c),与y=bax联立解得交点A的坐标为(a2c,abc).又F2B=BA,所以点B为线段F2A的中点,所以B(c2+a22c,ab2c).因为点B在双曲线上,所以将点B的坐标代入双曲线方程得b2(c2+a2)24c2 - a2a2b24c2=a2b2,整理得c2=2a2,所以e=ca=2.解法二由题

24、意可知F2AOA(O为坐标原点),由于焦点到渐近线的距离为b,所以|AF2|=b,又|OF2|=c,所以|OA|=a,且cosOF2A=bc.由F2B=BA,知点B为线段F2A的中点,所以|BF2|=b2,又点B在双曲线上,所以|BF1| - |BF2|=2a,则|BF1|=2a+b2.在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|F1F2|2+|BF2|2 - 2|F1F2|BF2|cosOF2A,即(2a+b2)2=4c2+b24 - 22cb2bc,化简得a=b,所以e=2.21.22设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形,所以SAF1B=

25、23,F1AF2=3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,由余弦定理得4c2=r12+r22 - 2r1r2cos 3.又|r1 - r2|=2a,所以r1r2=4b2.又SAF1B=12r1r2sin 3=23,所以b2=2,则该双曲线的虚轴长为22.22.4依题意得,|CF2|=12|AF2|,|DF2|=12|BF2|,因为|CF2|+|DF2|=12,所以12|AF2|+12|BF2|=12,所以|AF2|+|BF2|=24.根据双曲线的定义,得(2a+|AF1|)+(2a+|BF1|)=24,所以4a+|AB|=24,所以4a+2b2a=24,所以b2=2a(6 - a)(0ay.

26、由椭圆、双曲线的定义得x+y=2a1,x - y=2a2,x=a1+a2,y=a1 - a2.在PF1F2中,由余弦定理得cosF1PF2=x2+y2 - (2c)22xy=cos 60,2(a12+a22) - 4c22(a12 - a22)=12,a12+3a22=4c2.e1e2=ca1ca2=1,c2=a1a2,a12+3a22=4a1a2,即(a1 - a2)(a1 - 3a2)=0,a1=3a2,3a22=c2,e2=ca2=3,即双曲线的离心率为3.故选A.24.D 如图D 10 - 2 - 4,图D 10 - 2 - 4由已知得,a2=b2+c2,则A1,A2分别为双曲线E:x

27、2c2 - y2b2=1的左、右焦点.连接ON,由直线A1M与圆x2+y2=c2切于点N,得|ON|=c,ONMA1,又MA1MA2,所以ONA2M,从而|A1N|=b,|A1M|=2b,|A2M|=2|ON|=2c.由双曲线的定义得|A1M| - |A2M|=2c,即2b - 2c=2c,b=2c,从而椭圆的离心率e1=ca=15,双曲线的离心率e2=ac=5,所以e2+1e1=25,故选D.【技巧点拨】在解决有关圆的问题时,要多注意结合几何图形,充分利用圆的几何性质;涉及双曲线定义的题目,要抓住“双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a(a为双曲线的实半轴长)”这个特征;涉及椭圆

28、定义的题目,要抓住“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2m(m为椭圆的长半轴长)”这个特征.【素养落地】试题将椭圆、双曲线、直线与圆等知识有机结合起来,引导考生要抓住解析几何问题的本质,在剖析问题本质的基础上,建立“数”与“形”的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 25.x2 - y24=1(5,0)解法一 (1)设双曲线的标准方程为x2a2 - y2b2=1(a0,b0),由双曲线的渐近线方程为2xy=0,知 b=2a,由b=2a,2516a2 - 94b2=1,得a2=1,b2=4,所以双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(5,0).(2)设双曲线的标准方

29、程为y2a2 - x2b2=1(a0,b0),由双曲线的渐近线方程为2xy=0,知 a=2b,由a=2b,94a2 - 2516b2=1,得b2= - 1,不合题意,舍去.综上,双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(5,0).解法二因为点(54,32)在渐近线y=2x的下方,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为x2a2 - y2b2=1(a0,b0),由双曲线的渐近线方程为2xy=0,知 b=2a,由b=2a,2516a2 - 94b2=1,得a2=1,b2=4,所以双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(5,0).解法三 由双曲线的渐近线方程为2xy=0,设双曲线的方程为4x2 - y2=,再将(54,32)代入双曲线的方程,得=4,所以双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(5,0).